抓住結構特征，巧解根式問題

黃開琴 高明

二次根式一直是競賽中的重點內容，它涵蓋的知識面較廣，通常與函數、方程、不等式、解析幾何等知識結合，靈活性較強，其解答過程中包含豐富的數學思想。“發現問題比解決問題更重要。”啟發我們在做題時應仔細觀察根式的結構特征，利用其信息特征“對癥下藥”。

一、構造模型，轉化視角

構造是數學解題的重要方法和技巧，在解一些與二次根式有關的題時，不可墨守成規，要善于抓住已知根式的結構特征，合理構造相應的數學模型，往往能減少運算量，簡化解題過程，起到出奇制勝的作用。

例1：函數?（x）=√x4-3x2-6x+13-√x4-x2+1的最大值為（ ?）。（1992年全國高中數學聯賽）

分析與解答：兩根式下都含x4，仔細觀察不難發現兩根式下都可以寫成平方和的形式，即，此時函數可看成點p（x，x2）與點A（3，2）的距離及點B（0，1）距離差的最大值，即把一個代數問題轉化成兩點間的距離這樣一個幾何模型（如圖1）。

圖1

易知P點軌跡是一條拋物線，其方程為y=x2，由于A、B兩點在拋物線兩側，故過這兩點的直線必與拋物線相交。對于拋物線上任意一點，到 兩點的距離差大于等于√10，故?（x）max=|AB|=√10，取最小值時如圖1所示。

例2：方程√4-2√3sinx+√10-4√3sinx-6cosx=2的解x為 ? ? ? ? ?（ ? ? ?）。（第12屆希望杯高中數學競賽試題）

分析與解答：該式為含根式的無理方程，涉及正余弦運算，化簡異常復雜，不易直接解出方程的解，解題思路受阻，不妨轉變角度，視該方程為一個整體，再構造結構類似的對偶式：

√4-2√3sinx+√10-4√3sinx-6cosx=2m，

將兩式進行和差運算，得：

從而有，解得m=0，

于是，，因此。

二、巧妙代換，化繁為簡

代換即是將題目整體或某一部分用另一個字母或符號來替換，通過代換，把復雜的根式去掉，使問題的條件和結論轉化，達到化繁為簡，化難為易的目的，代換是化簡的重要方法。

例3：若不等式，則k的取值范圍是（ ? ） ? ? ? ? ?。（2009年全國高中數學聯賽青海賽區初賽）

分析與解答：將不等式變形為：，并令，此題則轉變只需求u的最大值。而在u中，分子、分母都含根式，不妨把u拆分，使得

，觀察其結構特征和數量特征，易知，故此題可先配湊，再采用三角代換。令：

則可知，

即，故。

例4：若實數x、y滿足，則x的取值范圍是（ ? ） ? ? ? ? 。（2013年全國高中數學聯賽）

分析與解答：觀察其結構特征，是含根式的方程，不妨采用局部代換，令，，易知x=a2+b2，代入原方程可得：a2+b2-4a=2b，從而a、b滿足方程（a-2）2+（b-1）2=5（a，b≥0），其軌跡是以 （2，1）為圓心，√5為半徑的圓在a，b≥0的部分，而x=a2+b2的取值范圍可看成該圓上的點到原點距離平方的范圍。（如圖2）可知，從而，20]。

圖2

三、利用函數單調性，化簡根式

對于某些含二次根式的函數的值域問題，可借助函數單調性，利用其性質去解決相應問題。

例5：函數的值域是（ ? ）。（2014年全國高中數學聯賽）

分析與解答：易知?（x）的定義域為[5，8]，且?（x）在[5，8]上為增函數，故，。

二次根式問題具有極強的靈活性，能考察學生的觀察、類比、聯想、轉化、創新等多種能力，技巧性較強，做題時一定要抓住根式結構特征，采用合理的方法化難為易。

（作者單位：四川西華師范大學數學與信息學院）