三次函數(shù)

馮廣東

摘 要：近三年新課標全國Ⅱ卷中三次函數(shù)出現(xiàn)了兩次.2013年文科第11題與理科第10題為同一題目，其中涉及到一個冷門：三次函數(shù)的對稱中心；2014年文科第21題純粹考查三次函數(shù)。看來在高考中，尤其是文科數(shù)學中對導數(shù)的考查，三次函數(shù)是一個不錯的載體。在我們的文科數(shù)學課本選修1-1中，也大量的以三次函數(shù)為載體對導數(shù)的應用進行訓練，大小共出現(xiàn)了二十三題次。但這些訓練都是最基礎的，不足以應對高考的壓軸題。那么就應該把三次函數(shù)給學生做一個系統(tǒng)的歸納和適當?shù)耐卣埂?/p>

關鍵詞：三次函數(shù) 極值 單調性 零點 對稱性

中圖分類號：G634 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2015）02（a）-0250-02

1 背景

內蒙古自治區(qū)實施新課標以來，至今經歷了三次高考。該區(qū)所用的新課標全國Ⅱ卷中，三次函數(shù)出現(xiàn)了兩次。2013年文科第11題與理科第10題為同一題目，其中涉及到一個冷門：三次函數(shù)的對稱中心；2014年文科第21題純粹考查三次函數(shù)。看來在高考中，尤其是文科數(shù)學中對導數(shù)的考查，三次函數(shù)是一個不錯的載體。在文科數(shù)學課本選修1-1中，也大量的以三次函數(shù)為載體對導數(shù)的應用進行訓練，大小共出現(xiàn)了二十三題次。但這些訓練都是最基礎的，不足以應對高考的壓軸題。那么我們就應該把三次函數(shù)給學生做一個系統(tǒng)的歸納和適當?shù)耐卣埂?/p>

2 準備

學生先需要知道、掌握以下知識，（1）零點；（2）導數(shù)與極值；（3）導數(shù)與單調性；（4）導數(shù)與原函數(shù)圖象陡、緩的關系：無論遞增還是遞減，逐漸增大，的圖象就由緩平逐漸陡直；反之，逐漸減小，的圖象就由陡直逐漸緩平。

3 探究

（2）若，同理可得，的圖象。

時如圖3所示。把上面兩種時的圖象逐漸向下平移，連同上圖，各自零點個數(shù)的變化都依次為：“一個、二個、三個、二個、一個”五種情況（圖略）。顯然：一個零點（極值同號）、兩個零點（一個極值為0）、三個零點（極值異號）。

4 結語

由上面的圖象可以直觀的看出三次函數(shù)的一些性質：

（1）極值、單調性：略。

（2）零點的個數(shù)：

①或時，一個零點；

②時，兩個零點；

③時，三個零點。

（3）對稱性：看的圖象可知，圖象的變化規(guī)律在的兩側恰好相反，再結合圖象本身的特征，不難看出：的圖象關于點對稱。

下面給出這一定理的嚴格證明：

假設函數(shù)的對稱中心為，則將函數(shù)的圖象按向量平移后得到函數(shù)為奇函數(shù)。

綜上，在上有唯一實根。即，當時，曲線與直線只有一個交點。

點評：以上解答，主要受轉化以后的圖象啟發(fā)而得。

縱觀以上實例，只要深刻掌握三次函數(shù)的圖象特征和性質，就能找到明確的解題思路、拓寬解題思路。有助于提高我們對知識系統(tǒng)性的認識和理解水平。

參考文獻

[1] 徐建君.三次函數(shù)的對稱中心及其應用[J].考試（高考.物理版），2006（11）：17-19.

[2] 內蒙古教育招生考試中心.2014年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學答案[Z].