萬(wàn)“變”不離其宗
——三角函數(shù)角的變換技巧

文/羅新軍

萬(wàn)“變”不離其宗
——三角函數(shù)角的變換技巧

文/羅新軍

三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是每年高考的必考內(nèi)容。它所占的比重約為15%，即22分左右。綜觀近年來(lái)全國(guó)各套高考數(shù)學(xué)試題，我們發(fā)現(xiàn)對(duì)三角函數(shù)的考查有以下一些知識(shí)類型與特點(diǎn):

考察的主要內(nèi)容有:三角函數(shù)的性質(zhì)、圖像及其變換、角的變換技巧、三角恒等變形。其考查的知識(shí)點(diǎn)以平面向量、解析幾何等為載體，用解三角形來(lái)考查學(xué)生對(duì)三角函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，其知識(shí)都來(lái)源于教材。在高考試題中，三角函數(shù)試題一般有選擇題或填空題1個(gè)，解答題1個(gè)，分值在16分—20分之間，屬中低檔題，一般不會(huì)出現(xiàn)較難題，更不會(huì)出現(xiàn)難題，因而對(duì)大多數(shù)學(xué)生來(lái)說(shuō)，三角函數(shù)試題是高考中的得分點(diǎn)。在解答三角高考題時(shí)要善于為發(fā)現(xiàn)角和函數(shù)運(yùn)算間的差異，努力運(yùn)用相關(guān)公式，找出差異之間的內(nèi)在聯(lián)系，選擇恰當(dāng)?shù)墓剑偈共町惖暮侠磙D(zhuǎn)化。通過(guò)我多年的高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐，本人在三角函數(shù)角的變換技巧方面總結(jié)歸納出了一些基本經(jīng)驗(yàn)。

1、常值代換;將特殊值還原成三角式進(jìn)行代換，特別是“1”的多種變形，是數(shù)值轉(zhuǎn)化為角的函數(shù)特例。在運(yùn)用和差角正切公式進(jìn)行化簡(jiǎn)和求值，注意公式的逆用和特殊角的變形。

2、降冪與升次:余弦二倍角公式正用升次，逆用降冪。降冪與擴(kuò)角可同時(shí)出現(xiàn)，兩者有一種需要，就可作降冪變形，升次則相反。遇到正弦、余弦的平方，往往要進(jìn)行降次，使用半角公式求解時(shí)，公式前的符號(hào)是由于所在的象限決定的。常用降冪公式有:

4、湊配式:二倍角正弦連續(xù)使用時(shí)要注意構(gòu)造余弦的二倍角關(guān)系，將一個(gè)式子看作分母為1的分式，再將分子分母乘以適當(dāng)?shù)氖阶樱员阊h(huán)使用正弦的二倍角公式求角。

5、平方:兩式的平方和或平方差來(lái)求兩角和與差的余弦值。

6、萬(wàn)能代換:對(duì)于形如asinθ+bcosθ的式子，要引入輔角并化成的形式，這里輔助角所在的象限由a、b的符號(hào)決定，的值由tan =確定。對(duì)于這種思想務(wù)必要強(qiáng)化訓(xùn)練，加深認(rèn)識(shí)。

由上述題型總結(jié)歸納出三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與求值的常用方法和技巧如下:

①三角函數(shù)的化簡(jiǎn)時(shí)，應(yīng)合理利用有關(guān)公式，盡量減少三角函數(shù)的種數(shù)，盡量化同角、化同名、切割化弦、高次化低次等。

②三角函數(shù)的求值問(wèn)題，主要是給角求值問(wèn)題和給值求角問(wèn)題。它們都是通過(guò)恰當(dāng)?shù)淖儞Q，與求值的三角函數(shù)式、特殊角的三角函數(shù)式、已知某值的三角函數(shù)之間建立起聯(lián)系。選用公式時(shí)請(qǐng)注意方向性、靈活性，以創(chuàng)造出消項(xiàng)或約項(xiàng)的機(jī)會(huì)，簡(jiǎn)化問(wèn)題。

(作者單位:新疆疏附縣第二中學(xué))