高考中一道“裂項求和”問題課本探源

☉廣東省興寧市第一中學 賴海波

高考中一道“裂項求和”問題課本探源

☉廣東省興寧市第一中學 賴海波

“裂項求和法”是數列求和問題中重要的一種方法，多次出現在全國各省市的高考命題中，其本質是“裂項相消”，即把數列的每一項裂分成兩項之差求和，正負相消之后剩下首尾若干項.本文以2014年高考山東卷中數列解答題為例，就裂項法在數列求和中的應用進行探究.

題目（2014年山東卷）已知等差數列｛an｝的公差為2，前n項和為Sn，且S1，S2，S4成等比數列.

（1）求數列｛an｝的通項公式；

由題意得（2a1+2）2=a1（4a1+12），解得a1=1，所以an= 2n-1.

所以Tn=

例1（2012年高考全國）已知等差數列｛an｝的前n項和為Sn，a5=5，S5=15，則數列的前100項和為（）.

解析：設數列｛an｝的公差為d.

a5=a1+4d=5，S5=5，解得a1=1，d=1，則an=

S100=

變式1：根式型

例2已知數列｛an｝滿足N*），則數列｛an｝的前n項和Sn=____________.

變式2：對數型

例3已知數列｛an｝滿足則數列｛an｝ 的前n項和Sn=______________.

Sn=（ln2-ln1）+（ln3-ln2）+…+［ln（n+1）-lnn］=ln（n+ 1）-ln1=ln（n+1）.

變式3：指數型

例4已知數列｛an｝的前n項和為Sn，a1=3，數列｛Sn+1｝是公比為4的等比數列.

（1）求數列｛an｝的通項公式an；

解析：（1）Sn+1=（S1+1）·4n-1=4n，則Sn=4n-1.

當n≥2時，an=Sn-Sn-1=3·4n-1.又a1=3滿足an=3·4n-1，故數列｛an｝的通項公式為an=3·4n-1.

變式4：放縮后裂項

例5（2013年高考廣東）設數列｛an｝的前n項和為Sn.

（1）求a2的值；

（2）求數列｛an｝的通項公式；

總之，裂項相消法是數列求和中應用最廣泛的一種方法，一些常見數列（包括等差和等比數列），都可以采用裂項相消法求和.對于不能直接裂項求和的數列，則可通過放縮變形，使其成為可裂項求和類型.