挖掘代數結構滲透數學思想
——2014年浙江高考數學文科第16題解法探究

☉浙江省杭州市余杭區教育局教研室 陳朝陽

挖掘代數結構滲透數學思想
——2014年浙江高考數學文科第16題解法探究

☉浙江省杭州市余杭區教育局教研室 陳朝陽

題不在大，有“神”則靈.試題的“神”體現在試題的結構上，體現在蘊含的數學思想上，體現在知識的背景上，體現在對數學思想方法合情合理的要求上.2014年浙江省高考數學文科第16題以其獨特的代數結構，豐富的知識內涵，可以多方面檢測學生對基礎知識、基本技能和基本數學思想的掌握情況.根據試題條件與結論之間代數結構的挖掘，多角度切入，全方位探究，可以得到多種不同的解法，從而培養或提升學生的數學思維能力.

題目：已知實數a、b、c滿足a+b+c=0，a2+b2+c2=1，則a的最大值為_________.

一、在消元思想支配下求解

解法1（主元法：構造為方程）：由a+b+c=0，得b+c= -a①.

將條件a2+b2+c2=1配方，得a2+（b+c）2-2bc=1.將①代

解法2（主元法：轉化為方程）：由a+b+c=0，得c=-（a+ b），代入a2+b2+c2=1，得

評析：此題最明顯的代數結構呈現是變量多，而多變量問題通常考慮“多變一”，選定一個變量作為主元，通過減元轉化.解法1中，轉化成韋達定理的形式，構造含a的一元二次方程，進而由判別式可得結果.解法2直接消去c后，得到a、b的二元形式，把它看成關于實數b的一元二次方程，再利用判別式也可得結果.

二、構造不等式思想支配下求解

因為（b+c）2≤2（b2+c2），所以a

解法4（利用不等式：基本不等式2）：由a+b+c=0，得c=-（a+b），代入a2+b2+c2=1，得

解法5（利用不等式：基本不等式3）：由a+b+c=0，a2+ b2+c2=1，得a=-b-c，1-a2=b2+c2≥

解法6（利用不等式：基本不等式4）：a2+b2+c2=（a+b+ c）2-2（ab+bc+ca）=-2（ab+bc+ca）=1?ab+bc+ca

解法7（利用不等式：基本不等式5）：實數a的最大值必然大于0.

利用不等式（x+y）2≤2（x2+y2），得：

解法8（利用不等式：柯西不等式）：由a+b+c=0，得c=-（a+b），代入a2+b2+c2=1，得

令a=x+y，b=x-y，則6x2+2y2=1.

評析：此題的條件中兩個等式的代數結構簡潔，可以利用基本不等式、柯西不等式來處理最值問題.如何充分挖掘題設條件，分析式子的代數結構特征，并合理利用基本不等式或柯西不等式得出等號成立的充要條件，是完成在“不等”中挖掘“等”這一解題模式的關鍵.

三、在變換思想支配下求解

解法9（代換：三角代換1）：由a+b+c=0，得c=-（a+b），代入a2+b2+c2=1，得

解法10（代換：三角代換2）：由a2+b2+c2=1，得b2+c2= 1-a2.

評析：1-a2=b2+c2，視點（b，c）在以原點為圓心為半徑的圓上，為三角變換打下基礎.利用三角換元是處理多元問題的常用手段，但解答本題過程較煩瑣，這也警示我們：在解題方法上不能墨守成規，應因地制宜選擇最佳解題方法，培養思維的敏捷性和靈活性.

四、在配方思想支配下求解

解法11（配方法）：由a+b+c=0，得c=-（a+b），代入a2+

五、在數列構造思想支配下求解

解法12（構造等差數列）：由a+b+c=0，可得-a=b+c，此式說明d，代入a2+b2+c2=1中，整理得0，則a

六、在解析幾何思想支配下求解

解法13（解析幾何思想）：令b=x，c=y，則x+y=-a，x2+ y2=1-a2.

評析：把條件a+b+c=0、a2+b2+c2=1中的b、c看成變量x、y，則是直線與圓的關系問題.聯想到圓心到直線的距離不大于半徑，能得到關于a的不等式，就可以求得a的最大值.這也需要有敏銳的眼光和解析幾何的功底，才能從式子中看出其特征.

七、在邏輯分析思想支配下求解

解法14（邏輯分析思想）：因a+b+c=0，所以a取最大值的必要條件是a＞0，故當且僅當b=c＜0時，a取最大值，

評析：由條件a+b+c=0及目標的挖掘，可知a取最大值的必要條件是a＞0，當且僅當b=c＜0時，a取得最大值，這需要應試者具有較好的邏輯思維能力，正是應用邏輯分析思想，使得原本的三變元問題化歸到二元方程求解，求解思維巧妙而深刻.

從試題的結構、背景、解法等方面進行探索，我們可以在高觀點下更透徹地理解高考數學試題的命題意圖，從一道題可以看到一類題；通過對高考數學試題的多角度的分析，可以溝通方程、函數、不等式、三角、幾何、邏輯等知識間的內在聯系，發現此類問題的規律，探求出解決它們的常用方法，從而形成解題模式，進而可達到快速“模式識別”.反思本題的多種解法，其思維是充分發散的，但問題的本質和結果卻高度聚焦，折射出試題的豐富內涵和數學本質！多種解法，揭示的仍是通性通法，以及其思維產生、發展和深化的過程，能歸納解題的方法、技巧、規律，從中領悟基礎知識、基本思想、基本方法的應用.

G.波利亞說得好：沒有任何一道題是徹底完成了的，總還會有些事情可以做，在充分進行研究和洞察后，我們可以將解題方法不斷加以改進，深化對答案的理解和感受，期待涌現出更多、更優、更美的解法.