“技巧”舞出的是“玄妙”“通俗”演繹的是“精彩”
——2014年高考福建卷數學壓軸題另解與思考

☉福建省福州華僑中學 李文明

“技巧”舞出的是“玄妙”“通俗”演繹的是“精彩”
——2014年高考福建卷數學壓軸題另解與思考

☉福建省福州華僑中學 李文明

數學解題彰顯數學本質是數學解題的根本所在，無技巧就是最好的技巧；解題方法追求渾然一體，而不是突發奇想，順勢而為，水到渠成.2014年福建高考數學壓軸題解法雖然多樣，但是每一種方法中都夾雜了解題者“超然”的“智慧”，令考生望塵莫及，望而生畏.到底有沒有解決問題的“通俗”方法呢？值得探究，值得挖掘.

一、試題呈現

已知函數f（x）=ex-ax（a為常數）的圖像與y軸交于點A，曲線y=f（x）在點A處的切線的斜率為-1.

（Ⅰ）求a的值及函數f（x）的極值；

（Ⅱ）證明：當x＞0時，x2＜ex；

（Ⅲ）證明：對任意給定的正數c，總存在x0，使得當x∈（x0，+∞）時，恒有x2＜cex.

二、命題目的

本題主要考查基本初等函數的導數、導數的運算及導數的應用、全稱量詞與存在量詞等基礎知識；考查運算求解能力、抽象概括能力、推理論證能力，考查函數與方程思想、有限與無限思想、化歸與轉化思想、分類與整合思想、特殊與一般思想.

三、官方解答

解法1：（Ⅰ）f′（x）=ex-a.

由f′（0）=1-a=-1，得a=2.

所以f（x）=ex-2x，f′（x）=ex-2.

令f′（x）=0，得x=ln2.

當x＜ln2時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減；當x＞ln2時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增.

所以當x=ln2時，f（x）取得極小值，且極小值為f（ln2）=2-ln4，無極大值.

（Ⅱ）令g（x）=ex-x2，則g′（x）=ex-2x.

由（Ⅰ）得g′（x）=f（x）≥f（ln2）＞0，因此，當x＞0時，g（x）＞g（0）＞0，即x2＜ex.

（Ⅲ）①若c≥1，則ex≤cex.

由（Ⅱ）知：當x＞0時，x2＜ex，則當x＞0時，x2＜cex.

取x0=0，當x∈（x0，+∞）時，恒有x2＜cex.

當x＞2時，h′（x）＞0，h（x）在（2，+∞）內單調遞增，取x0=16k＞16，所以h（x）在（x0，+∞）內單調遞增.

h（x0）=16k-2ln（16k）-lnk=8（k-ln2）+3（k-lnk）+5k.

易知k＞ln2，k＞lnk，5k＞0，所以h（x0）＞0，即存在x0=當x∈（x0，+∞）時，恒有x2＜cex.

綜上所述，對任意給定的正數c，總存在x0，當x∈（x0，+∞）時，恒有x2＜cex.

解法2：（Ⅰ）（Ⅱ）同解法1.

由（Ⅱ）知當x＞0時，x2＜ex，所以

當x＞x0時，

因此，對任意給定的正數c，總存在x0，當x∈（x0，+∞）時，恒有x2＜cex.

解法3：（Ⅰ）（Ⅱ）同解法1.

由（Ⅱ）知：當x＞0時，x2＜ex，從而h′（x）＜0，則h（x）在（0，+∞）內單調遞減，所以h（x）＜h（0）=-1＜0，即

當x＞x0時，有

因此，對任意給定的正數c，總存在x0，當x∈（x0，+∞）時，恒有x2＜cex.

四、剖析點評

1.點評

作為高考試題的壓軸題的第三問，毫無疑問是本卷最難的問題，具有極強的區分度和效度，最能體現高考的選拔功能，官方給出問題的三種解法，而且每一種解法都要借助于問題（Ⅱ）的結論，真的一定要如此進行嗎？難道問題（Ⅱ）是必經之路嗎？三種解法中，x0選取了三個不同的特殊值，它們之間有何關系？為什么要選取這樣三個不同的值？為什么這樣的特殊值就能夠達到證明目的？耐人尋味，發人深省！

2.剖析

要使不等式x2＜cex成立，只要2lnx＜lnc+x成立.設h（x）

當0＜x＜2時，h′（x）＜0；當x＞2時，h′（x）＞0.

所以h（x）min=h（2）=2-2ln2+lnc.

當c≥1時，h（x）min=h（2）≥2-2ln2＞0，即當x＞0時，恒有x2＜cex，于是命題（Ⅱ）得證.

因為h（x）min=h（2）≥2-2ln2＞0，所以h（x0）＞0，因此，當x∈（x0，+∞）時，h（x）＞0恒成立，即有x2＜cex.

五、創新再解

令y=c（c＞0，c是常數）.

當x＜0時，g′（x）＜0，g（x）單調遞減；當0＜x＜2時，g′（x）＞0，g（x）單調遞增；當x＞2時，g′（x）＜0，g（x）單調遞減.

所以當x=0時，g（x）取得極小值g（0）=0；當x=2時，g（x）取得極大值因此g（x）的值域是［0，+∞），如圖1所示.

圖1

圖2

所以當x＞0時，x2＜ex，即問題（Ⅱ）得證.

圖3

兩個交點的橫坐標分別是x1、2（x1＜2）.

令x0≥2，當x∈（x0，+∞）時，恒有x2＜cex.

圖4

三個交點的橫坐標分別是x1＜x2＜x0（x1＜0，0＜x2＜2，x0＞2）.

綜上所述，當x＞0時，x2＜ex；對任意給定的正數c，總存在x0，使得當x∈（x0，+∞）時，恒有x2＜cex.

六、感悟反思

（1）《2014年高等學校全國統一考試福建考試說明》中明確指出了數學高考命題所要考查的函數與方程思想、數形結合思想、分類與整合思想、化歸與轉化思想、特殊與一般思想、有限與無限思想、必然與或然思想這7個重要的數學思想方法，由此可見這道理科數學壓軸題所要承載的使命是沉重的，令人費解的是本題考查了7種數學思想中的5種之多，沒有考查必然與或然數學思想在情理之中，但是函數問題不考查數形結合思想實屬罕見.數形結合思想不僅是非常重要的數學思想，更是解決函數問題的利器！函數的解析式與函數圖像是函數問題的兩個最重要的支撐，是“數”與“形”和諧統一的重要標志，函數、方程、不等式三者關系中，函數是“根”，函數是“魂”，函數是現實世界客觀事物不斷運動變化規律的高度概括與抽象，而方程、不等式只是函數的兩種特殊狀態！我們解決問題不能舍本求末，更不要本末倒置.恰當運用數形結合，起到了化繁為簡，化難為易的作用.數學解題最重要的是彰顯數學本質，因勢利導，順勢而為，不能虛張聲勢，更不能欲蓋彌彰，尤其是高考標準答案更應有利于中學數學教學，有利于培養學生的思維能力.

（2）《2014年高等學校全國統一考試福建考試說明》中明確闡述了高考試題的命題指導思想是：貫徹課程理念推進素質教育，立足基礎知識注重整體設計，淡化特殊技巧強調思想方法，彰顯能力立意突出問題解決，堅持學以致用強化應用意識，倡導開放探索關注創新意識，體現層次要求控制試卷難度這7個重要的指導思想，這7種思想是一個有機的整體，要真正貫徹落實到高考命題和“參考答案”制定的每一個環節.高考命題是“提出問題”的過程，而“參考答案”是“解決問題”的過程.高考試題所承載的命題目的和命題思想主要是通過“問題解決”才能得到落實和展現！說的好不如做得好，要淡化特殊技巧強調思想方法，數學思想和方法是數學知識在更高層次上的抽象和概括，它蘊含在數學知識發生、發展和應用的過程中．因此，對數學思想和方法的考查必然要與數學知識的考查結合進行，通過對數學知識的考查，反映考生對數學思想、方法的理解和掌握程度．考查時，要從學科整體意義和思想含義上立意，注重通性通法，淡化特殊技巧，有效地檢測考生對中學數學知識中所蘊含的數學思想和方法的掌握程度．我們的數學教育和數學教學并不反對“數學技巧”的運用，但是我們不能有意或無意地過分夸張和渲染“技巧”的作用.數學教育教學要返璞歸真，數學教育教學要回歸自然.高考數學題的“參考答案”理應是數學解題的典范，我們的數學解題決不能為解題而解題，一定要在問題的引領下，幫助學生開拓思維空間，使我們的不懈努力豐富學生的數學理解，激發學生的數學潛能，啟迪學生的數學思維，培養學生的數學智慧.通過問題探究與解決，為學生開啟解決同類問題的一道門戶，開辟通往數學美妙世界的一個通道，盡可能讓學生在數學問題的解決過程中享受和體驗數學的簡潔之美，自然之美，和諧之美，“盡可能少用“技巧”舞弄“玄妙”，多用“通俗”演繹“精彩”.

1.蔡小雄.啟迪思維是數學習題教學的首要［J］.中學數學（上），2013（8）.

2.李文明.問非所答答非所問［J］.數學通報，2011（2）.

3.李文明.同源三省壓軸題通法再解顧大局［J］.（廣東）中學數學研究（高中版），2014（9）.