基于能力立意的高考命題研究
——數學高考復習教學設計的視角

☉淮北師范大學數學科學學院 張昆

☉安徽省合肥市教育局教研室許曉天

基于能力立意的高考命題研究
——數學高考復習教學設計的視角

☉淮北師范大學數學科學學院 張昆

☉安徽省合肥市教育局教研室許曉天

一、試題能力立意的內涵

試題的命制過程，包括立意、情境、設問三個方面，立意體現試題的主觀考查目的（目標），情境是支持與實現主觀立意的材料和介質（即立意的載體），設問是試題的呈現形式.立意是數學高考命題者對數學知識教育價值的理解，高校各不同專業的學生對數學知識、數學方法與數學思想的不同層次的要求等，在命題者的觀念中的反映；情境是體現立意需要考查的知識、方法、思想所選擇出來的載體；設問是需要學生通過行動解決的問題.

以能力立意命題，首先要確定數學試題的能力考查目標.根據能力考查的要求，選擇適宜的數學內容，根據能力要求和知識內容選定試題表述（呈現）形式，立意是宗旨.情境與設問必須要體現能力立意的宗旨，服務于能力考查的立意.以能力立意的命題，首先在命題理念上要體現從學習能力測試來評價學生.

數學高考命題的能力立意，要在試卷框架結構上突出全面的能力因素、多元化的能力層次結構和合理的難度分布.在命題構思上要堅持用數學基本方法解決數學問題，強化能力點的設計，淡化煩瑣的運算和冗長的邏輯推理.在試卷設計上要突出創新題型，開發、拓展已有題型的功能，發揮各種題型的組合功能.本文就高考復習教學設計的視角，探究在新課程背景下，高考命題能力立意的現實情況與實現手段.

二、試題能力立意的特點

由于數學新課程的實施、新理念的引入，教學對象——學生的基本素質發生了變化，主要數學教育教學目標已經發生了變化，人們對新課標的理解也在實踐與理論的探索中不斷地加深.在數學教育教學目標中，利用數學資源實現創新能力培養的要求在提高，數學高考命題也呈現出新氣象，具體體現在如下幾種特點.

1.數式處理能力

雖然近幾年高考命題都力求壓縮計算的長度，但是作為數學知識總是繞不開計算的.運算能力的展開基于以下幾個方面：算理、算法、數式處理.算理是指在把握問題結構的基礎上，從格局上合理布置運算的各個環節，使運算承上啟下、有條不紊和結構緊湊，便于運算過程的自然展開；算法是一個將需要引入的運算法則、定理、公式組織成一個緊湊的系統，形成運算的一套程序；數式處理是指相關數的混合運算、式的變形等實際操作過程.

算理、算法與數式處理組成了運算結構的等級層次性，我們將整個運算過程比喻成動工建造一座大廈，其圖紙的設計制作猶如算理，采購尋找材料有如算法，砌墻架梁有如數式處理.因此，算理對算法與數式處理具有指導作用，算法是算理對具體的數式處理發揮指導作用的中介與橋梁，具體的數式處理則是算理與算法的體現.

運算能力體現在高考命題中具有相對隱蔽性，在命題者的立意中，往往體現得非常明確，但是在命題設計的情境、命題的設問中，都不會明確地提出來.因此，這種能力的實現，需要考生自己具有相應的素質，也是數學新課程教學與高考復習時，教師要注意的問題.請看下面的例子.

例1（2012年高考新課標卷理科壓軸題）已知函數f（x）滿足

（Ⅰ）求f（x）的解析式及單調區間；

分析：對于問題（Ⅰ），依據題設，能夠得到f（x）=ex-

研究函數的單調區間，當然需要借助導數來處理. f′（x）=ex+x-1.當x=0時，f′（x）=0；當x＜0時，f′（x）＜0；當x＞0時，f′（x）＞0.于是函數f（x）在區間（-∞，0）上是減函數；在區間（0，+∞）上是增函數.

對于問題（Ⅱ），把③代入②，化簡，得不等式ex-（a+ 1）x-b≥0④.我們想由不等式④構造出（a+1）b的表達式，可以將④寫成ex≥（a+1）x+b⑤，具有兩種途徑：將不等式⑤的左右兩邊平方，或者審視⑤的右邊，利用基本不等式，都可以達到目的，可惜，雖然能夠構造出（a+ 1）b的表達式，但是后面的思路受阻，這種想法得不到執行.此時，我們又產生了一種想法，可否直接構造（a+1）b的一種表達式？由不等式④，知b≤ex-（a+1）x⑥，考慮將不等式⑥兩邊都乘以a+1，這需要進行區別對待.

（1）當a+1＞0時，則（a+1）b≤（a+1）ex-（a+1）2x.設g（x）=（a+1）ex-（a+1）2x.令g′（x）=（a+1）ex-（a+1）2=0，由于a+1＞0，則ex-（a+1）=0?x=ln（a+1）.當x∈（-∞，ln（a+1））時，g′（x）＜0，函數g（x）單調遞減；當x∈（ln（a+1），+∞）時，g′（x）＞0，函數g（x）單調遞增.

故函數g（x）有最小值g（ln（a+1））=（a+1）2-（a+1）2ln（a+ 1）.所以不等式④等價于（a+1）b≤（a+1）2-（a+1）2ln（a+ 1）⑦.于是只要獲得不等式⑦的右邊的最大值就行了.設h（t）=t2-t2lnt（t＞0）.令h′（t）=2t-2tlnt-t=t-2tlnt=t（1-2lnt） =0，得t=0（舍去）或）時，函數h（t）單調

（2）當a+1≤0時，請讀者自己驗證，此時都不能保證不等式⑥恒成立.

本例的問題（Ⅰ）難度不大，只要列出相關的方程就可以解決了.對于問題（Ⅱ），有許多手段可構造出（a+1）b的表達式，但是從不等式⑤中間接產生的不等式都難以達到目的，我們只得直接從不等式⑥中構造出（a+1）b的表達式，此時，對a+1的正負判斷也就水到渠成了.于是，構造所需要的目標式，使問題得以解決.

事實上，我們在聽課時，老師并沒有給出從不等式④，到不等式⑤，再到不等式⑥的一系列構造過程，而是直接針對不等式④設g（x）=ex-（a+1）x，求導數，再對a+1分正數與非正數加以討論.為什么要構造函數g（x）與求導？為什么要對a+1分這些情況進行討論？對學生而言，這些活動環節的取得都似乎是教師在變魔術，學生的心理是難以理解和承受的，學生可能要懷疑自己的智力是否低下，否則，為什么不能產生像老師講題時的那種奇思妙想呢？這些都是算理上要解決的問題.

2.邏輯思維能力

數學玩的是邏輯、關系與模式.從某種意義上說，數學是邏輯的代名詞.盡管對邏輯思維具有各種不同的認識，但是，邏輯過程要求褪盡鉛華，洗去塵滓，純而又純，簡練到一塵不染［1］.邏輯是表達思想、說服他人最為有力的手段.但是從數學解題教學設計的視角上看，必須將這種邏輯的表達過程轉化為滿足學生發生數學認識的心理活動過程，這是教師需要努力的關鍵之處.

例2（2012年高考湖北理科第22題）（Ⅰ）已知函數f（x）=rx-xr+（1-r）（x＞0），其中r為有理數，且0＜r＜1，求f（x）的最小值；

（Ⅱ）使用（Ⅰ）的結果證明如下命題：

設a1≥0，a2≥0，b1、b2為正有理數，若b1+b2=1，則≤a1b1+a2b2①；

（Ⅲ）請將（Ⅱ）的命題推廣到一般形式，并用數學歸納法證明你所推廣的結論.

注：當α為正有數時，其求導公式為（xα）′=αxα-1.

分析：對于問題（Ⅰ），直接利用導數求函數f（x）的最小值就行了.f′（x）=r-rxr-1=r（1-xr-1）.令f′（x）=0，知x=1.當0＜x＜1時，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，1）上是增函數；當x＞1時，f（x）＜0，所以f（x）在（1，+∞）上是減函數.故函數f（x）在x=1處取得最小值f（1）=0.

對于問題（Ⅱ），由（Ⅰ）的結論知f（x）≥f（1）=0，即rx-xr+（1-r）≥0，即xr≤rx+（1-r）②.如何將a1≥0，a2≥0，b1、b2為正有理數，b1+b2=1等條件應用到不等式②中去？注意到不等式②，知只要證明不等式中的相關事實：r+（1-r）=1，對應于b1+b2=1，可設b1=r，則b2=1-r.現在主要問題是如何給x賦值.我們不能直接構造出不等式①的左端，它可以寫③，不等式①的右端為a1b1+④.關聯③、④、⑤成立就行了.取此時滿足a1≥0，a2≥0，b1、b2為正有理數，代入不等式①，知不等式⑤成立，化簡，知≤a1b1+a（21-b1），即≤a1b1+a2b2①.

本題中將不等式①構造成適合不等式②的形式，不是直接的，關鍵在于我們將不等式①轉換成可以適合不等式②的一種形式，這種解法就是：利用b1+b2=1這個等式減少變元的個數.

對于問題（Ⅲ），（Ⅱ）中的命題推廣的形式為：設a1≥0，a2≥0，…，an≥0，b1、b2、…、bn為正有理數，若b1+b2+…bn=1，則a1b1+a2b2+…+anbn⑥.現在用數學歸納法證明如下.

（1）當n=1時，b1=1，此時a1≤a1成立，即不等式⑥成立.

（2）假設當n=k時，不等式⑥成立，即若a1≥0，a2≥0，…，ak≥0，b1、b2、…、bk為正有理數，b1+b2+…+bk=1，則…·≤a1b1+a2b2+…+akbk.當n=k+1時，若a1≥0，a2≥0，…，ak≥0，ak+1≥0，b1、b2、…、bk、bk+1為正有理數，b1+b2+…+bk+bk+1= 1，則0＜bk+1＜1，1-bk+1＞0⑦，從而⑧.基于⑦、⑧，我們就是如此引導學生從，由歸納假設，知（1-bk+1）+ak+1bk+1=a1b1+a2b2+…+akbk+ak+1bk+1.故當n=k+1時，不等式⑥成立.

由（1）、（2）知：對一切正整數n，所推廣的命題成立.

說明：問題（Ⅱ）的解決中，不等式⑤的獲得只是要構造已經取得的不等式②，這一點對學生來說是比較好理解的.關鍵問題在于問題（Ⅲ）中的不等式⑧的取得，就給人以神來之筆的感覺，教學中的關鍵環節就應該是仔細研究不等式⑧在學生心理上是如何發生的.事實上，在實際教學中，學生向老師追問不等式⑧是怎樣想到的，這是教師在解題教學設計中必須要仔細考慮的，否則，在學生的思想中就會產生如波利亞所說的“從帽子里變出兔子”的感覺.

教學設計的修改：本例問題（Ⅲ）中的不等式⑧，構成了教師解決這道題的教學設計的關鍵環節.處理它的方法之一，就是審視問題的整體結構，在數學歸納法的“遞推步”中，如何處理題，我們想運用（Ⅱ）的結論不等式①這一知識框架來套用它，結合歸納條件，將式⑨寫成式⑩括號內的看成一個因式，即不等式①中的a就是不等式①中的ab22.由于b1+b2=1，因此，我們首賦予一個指數1-bk+1，從而構成bk+1+（1-bk+1） =1，于是根據冪的乘方法則，知心理上構造出了等式⑧，如此，就將⑩轉化成了等式⑧的右端，它就適應了知識框架不等式①.

我們通過對式⑩的結構分析，靈活地使用了框架不等式①，即將式⑩化歸成不等式①，就必然要構造出運用不等式①的重要條件b1+b2=1.在此觀念的指導下行動，進行了一系列的構造，完成了從解題過程中數學知識的邏輯性的發生，到學生數學知識心理過程的發生.

3.空間想象能力

培養學生的空間形象能力是立體幾何的真正價值之所在.在高考命題時，力爭鼓勵學生從具體、直觀的立體幾何圖形中，由自己依據問題的目標，操作作圖；依據圖形的主要特點，經由觀察、辨別、選擇合適的材料，構建決定問題結構的輪廓；經過類比、比較、試探等手段，使得聯想與想象的材料（線、面、體）進入問題的情境，將圖形已經具有的特點構成穩定的結構，這種穩定的結構是對圖形的深層次的把握.

例3（2009年高考安徽卷理科第19題）如圖1，四棱錐F-ABCD的底面ABCD是菱形，其對角線AC=2，AE、CF都與平面ABCD垂直，AE=1，CF=2.

圖1

（Ⅰ）求二面角B-AF-D的大小；

（Ⅱ）求四棱錐E-ABCD與四棱錐F-ABCD公共部分的體積.

在命題時，沒有畫出四棱錐E-ABCD的用意，不只是害怕學生在解決問題（Ⅰ）時，圖形中所出現的錯綜復雜的線條對學生造成干擾，更重要的是體現我們上述所論述的數學課程目標，引導教師在課程實施中如何實現數學課程目標.學生在尋找這道題的思路時，操作圖形時，便繞不過從圖2到圖3，再到圖4這一整套過程.

圖2

圖3

圖4

考生比較容易畫出圖2，在圖2中確定四棱錐E-ABCD與四棱錐F-ABCD的公共部分不是一件容易的事兒，他們必須首先確定圖形的遮掩，分別用實線與虛線加以區別；然后判斷圖形中線與線之間可能產生的交點，此時，一定會有學生產生圖3形式的錯誤，誤認為P、Q、S、R皆是所得到的線與線之間的交點，考生必須要從這種混亂的觀念中突破出來，否則，就不可能得到正確的問題解答思路.

此時，直觀感知就不能給我們以更多的幫助了，解題者必須要經由自己的想象能力與聯想能力的介入，才能去偽存真，排除掉魚目混珠的假交點.事實上，由于底邊四邊形是菱形，我們知道，面ADE與面ABE、面CDF與面BAF都是關于面AEFC鏡面對稱，稍作想象，我們就可以直觀地看出，面CDE與面CDF的相交線是CD，于是點S不是直線CE與直線DF的交點，同理可知點P不是直線DE與直線AF的交點，點Q不是直線BE與直線AF的交點；只有點R是直線AF與直線CE的交點.

我們命題的意旨就是促成考生經過如此的一系列探究，方能作出判斷與選擇，在所作的四棱錐E-ABCD中，最終確定了只有直線AF與直線CE相較于點R，于是，便能夠迅速地知道面CDE與面ADF相交于直線RD，面BCE與面ABF相交于直線RB，如此，四棱錐E-ABCD與四棱錐F-ABCD的公共部分為四棱錐R-ABCD，余下的只是求其體積就行了.

從設想與預計考生的解答思路中，我們發現，決定問題最終結論的計算只是一個簡單的平面圖形圖5，這就化歸到了數學基本知識的要求.然而解決問題的整個過程中探究活動的展開，基本圖形圖5的提取，由我們的分析知道，深刻地體現了數學新課程所設定的數學教育一系列的課程目標.命制這道高考數學題的創新之處正在于在所給定的題圖中不作出四棱錐E-ABCD，考生必須經過操作、猜想、想象、比較、辨別、選擇等智力投入，形成千回百轉的思想活動，才能獲得解決問題的思路.如此實現了新課程理念：實踐與應用，并且難度也控制得非常成功，誘導考生充分發揮現實問題與數學問題相互交替的作用，有效地考查學生的空間想象能力.

4.創新能力

在有意無意中，高考數學命題被當成了實施數學課程的“指揮棒”，這是人人都不否認的，它反過來作用于數學課程目標與數學教育教學目標.因此，出現在高考數學真卷上的試題，就不僅僅只具有選拔功能的一面，更為重要的是它從反方向上制約著數學課程實施中數學教育教學目標的達成及其實現程度.因此，考查創新能力的命題也就因之而出了.

例4（2012年高考江西理科第21題）若函數h（x）滿足：（1）h（0）=1，h（1）=0；（2）對任意a∈［0，1］，有h（h（a））=a；（3）在（0，1）內單調遞減，則稱函數h（x）為補函數.已知函數

圖5

（Ⅰ）判斷函數h（x）是否為補函數，并證明你的結論.

（Ⅱ）若存在m∈［0，1］，使h（m）=m，稱m是函數h（x）的中介元.記時h（x）的中介元為xn，且Sn=若對任意的n∈N*，都有，求λ的取值范圍；

（Ⅲ）當λ=0，x∈［0，1］時，函數y=h（x）的圖像總在直線y=1-x的上方，求p的取值范圍.

分析：對于問題（Ⅰ），只要依照補函數的定義一項一項地驗證就行了.由補函數的定義，知（λ＞-1，p＞0）是補函數.

對于問題（Ⅲ），當λ=0時，由問題（Ⅱ）的解答，知函數h（x）的中介元為.（ⅰ）若0＜p≤1，知所以對中介元xp而言，而y=1-，則函數y=h（x）的圖像不總在直線y=1-x的上方.（ⅱ）當p＞1時，依據題意只須在x∈（0，1）時恒成立，化簡成xp+（1-x）p＜1在x∈（0，1）時恒成立.設k（x）=xp+（1-x）p，x∈（0，1），則k′（x）=p［xp-1-（1-x）p-1］.由 k′（x）=0，知時，k′（x）＜0；當x∈時，k′（x）＞0.又因為k（0）=k（1）=1，所以在x∈（0，1）時，k（x）＜1.

綜合（ⅰ）、（ⅱ），知p的取值范圍為（1，+∞）.

本例通過定義“補函數”與“中介元”，以此為基礎，形成了兩個方面的創新：其一，命題的創新，這些雖然是在命題者的要求下所進行的研究活動，而不是學生自發地進行研究的過程中自己產生的相關的觀念與思想，但是，也能使得考生真正感受像數學家一樣地理解數學、研究數學、為解決數學問題而開拓材料、方法等一整套的過程；其二，解題的創新，例如，由“中介元”的定義，生成了一個等比數列，“中介元”又是解決問題（Ⅲ）的必備條件，解題的創新在這一系列的過程中展示出來了.

三、試題能力立意的啟示

在高考命題從知識立意向能力立意轉變時，有部分教師認為：學生最薄弱的環節是閱讀理解能力比較差，影響了審題，乃至邏輯推理、運算等能力的發揮.其實不然，能力的考查中滲透著抽象、概括、數學聯結、數學交流等方面的能力，交織著對社會生活的體驗程度，對學習數學的情感、態度和價值觀的體悟，所有這些方面的實踐，現在都得到相應的強調（如同學生的運算能力差，是否都可以歸結為粗心大意的原因呢？），問題也暴露了，但是在理論上還沒有找到真正的原因.［2］

我們知道，客觀上可以如此說：高考是教學的指揮棒.希望在轉變教育觀念、更新評價理念和調整課程內容的變革中，使中學數學教學有所突破，使學生的數學素養更上一個臺階.高考命題的能力立意正在走向深入，我們將竭盡全力，去實踐能力立意的命題使命.我們相信高考命題全面落實能力立意之時，必將是研究性學習和創新教學產生良性互動作用、一代新人的數學素養全面提高之日.

1.張昆.滲透目標觀念駕馭數學高考［J］.中學數學（上），2013（6）.

2.陳嘉駒，查建國.高考命題體現能力立意的策略［J］，數學通報，2003（8）.Y