導函數視角下函數零點問題的判定*

☉江蘇省如東高級中學 唐勇

導函數視角下函數零點問題的判定*

☉江蘇省如東高級中學 唐勇

高考試題中滲透零點知識的題型相當廣泛，常見的有：方程的根、函數的極值和最值、求參數的取值范圍、函數零點存在的條件等問題.本文以導數背景下零點的存在問題為例，進行分析研究.

一、零點的存在依賴于極值的正負

通常情況下：若函數f（x）在其定義域內單調，則至多有一個零點；若f（x）在其定義域上不單調：（1）當方程f′（x）=0有且僅有一個實數根，即函數f（x）有極大值f極大值（x）或極小值f極小值（x）時，若f極大值（x）＜0或f極小值（x）＞0，則沒有零點，若f極大值（x）=0或f極小值（x）=0，則有且僅有一個零點，若f極大值（x）＞0或f極小值（x）＜0，則有且僅有兩個零點；（2）當方程f′（x）=0有且僅有兩個實數根，且函數f（x）有極大值時：若f極大值（x）·f極小值（x）＞0，則有且僅有一個零點，若f極大值（x）=0或f極小值（x）=0，則有且僅有兩個零點，若

例1已知函數f（x）=ea-x，其中e是自然對數的底數，a∈R.

（1）求函數g（x）=xf（x）的單調區間；

（2）試確定函數h（x）=f（x）+x的零點個數，并說明理由.

解析：（1）略.

（2）h（x）=ea-x+x，h′（x）=1-ea-x.令h′（x）=0，得x=a．h（x）的單調遞增區間為（a，+∞），單調遞減區間為（-∞，a）．

所以h（x）的最小值為h（a）=1+a.

①當1+a＞0，即a＞-1時，函數h（x）不存在零點.

②當1+a=0，即a=-1時，函數h（x）有一個零點.

③當1+a＜0，即a＜-1時，h（0）=ea＞0，下證h（2a）＞0.

令m（x）=ex-2x，則m′（x）=ex-2.解m′（x）=ex-2=0，得x= ln2.當x＞ln2時，m′（x）＞0，所以函數m（x）在［ln2，+∞）上是增函數.取x=-a＞1＞ln2，得m（-a）=e-a+2a＞eln2-2ln2=2-2ln2＞0，所以h（2a）=e-a+2a=m（-a）＞0.結合函數h（x）的單調性，可知此時函數h（x）有兩個零點.

綜上所述，當a＞-1時，函數h（x）不存在零點；當a=-1時，函數h（x）有一個零點；當a＜-1時，函數h（x）有兩個零點.

評析：此法可視為判斷函數零點問題的“通法”，在分類思想的指導下，借助導數通過研究函數的單調性，通過最值（極值）的情況得到相應含參不等式（等式），以限制根的個數，進而得到參數范圍，使問題得到解決.

二、參變分離后轉化為確定函數值域問題

對于含參數的零點問題，若能將參數分離出來，則將未知的函數轉化為已知函數的值域問題，使問題得以簡潔解決.在參數分離的過程中若不能實現參數單獨分離，則可以考慮參數的整體分離.

例2已知函數f（x）=lnx-ax+1，a∈R是常數．討論函數y=f（x）零點的個數．

若a＞1，則f（x）無零點；若f（x）有零點，則a≤1．

若a=1，f（x）=lnx-ax+1=lnx-x+1，易知f（x）有且僅有一個零點x=1.

若a≤0，f（x）=lnx-ax+1單調遞增，易知f（x）有且僅有一個零點.

綜上所述，當a＞1時，f（x）無零點；當a=1或a≤0時，f（x）有且僅有一個零點；

當0＜a＜1時，f（x）有兩個零點.所以f（x）在單調遞增區間

評析：參變量完全分離的優點是圖像y=a更簡潔些，換言之問題可以轉化為確定函數值域問題，方程根的個數問題被直觀化為平行于x軸的直線與確定圖像的交點個數問題；困難則在于借助導數作稍復雜函數的圖像時，邊界（包括無窮遠或開區間端點附近）的函數值的確定亦即區間端點處函數的圖像走勢，處理辦法往往要借助于極限思想，而參變量分離的程度往往決定著解題的難易.

三、復合函數換元轉化為兩個函數圖像交點的個數

當復合函數y=f（g（x））不易具體化或簡化來分析它的零點個數時，常常通過整體換元轉化為方程f（m）=0與m=g（x）的根的個數，再進一步轉化為函數y=f（m）的零點個數以及直線y=m與y=g（x）的圖像交點的個數.

例3若函數y=f（x）在x=x0處取得極大值或極小值，則稱x0為函數y=f（x）的極值點.已知a、b是實數，1和-1是函數f（x）=x3+ax2+bx的兩個極值點.

（1）求a和b的值；

（2）設h（x）=f（f（x））-c，其中c∈［-2，2］，求函數y= h（x）的零點個數.

解析：（1）a=0，b=-3.

（2）當h（x）=f（f（x））-c=0時所得x的值為函數y=h（x）的零點.

令m=f（x），將方程f（f（x））=c等價轉化為f（m）=c，m=f（x）.

由導數知識很容易畫出f（x）= x3-3x的圖像，且f（-2）=f（1）=-2，f（-1）=f（2）=2.

①當c=-2時，由f（x）的圖像知f（m）=c有兩個解m1=1、m2=-2（即直線y=c與y=f（m）的圖像有兩個交點）.再看m=f（x）.當m1=1時，直線y=1與y=f（x）的圖像有3個交點；當m2=-2時，直線y=-2與y=f（x）的圖像有2個交點.

故此時方程f（f（x））=c共有5個不同的解.

②當c=2時，由f（x）的圖像知f（m）=c有兩個解m3=2、m4=-1（即直線y=c與y=f（m）的圖像有兩個交點）.再看m= f（x）.當m3=2時，直線y=2與y=f（x）的圖像有2個交點；當m4=-1時，直線y=-1與y=f（x）的圖像有3個交點.故此時方程f（f（x））=c共有5個不同的解.

③當-2＜c＜2時，由f（x）的圖像知f（m）=c有三個不同的解m5、m6、m7，滿足|mi|＜2，i=5、6、7.再看m=f（x）.y=m5、y= m6、y=m7這三條平行于x軸的直線與y=f（x）的圖像各有3個交點.

故此時方程f（f（x））=c共有9個不同的解.

綜上所述，當|c|=2時，函數y=h（x）有5個零點；當|c|＜2時，函數y=h（x）有9個零點.

評析：本題的解法凸顯學生的基本功和較復雜問題的處理能力，更重要的是它可以為一類問題的解決提供值得借鑒的問題解決經驗和解決模式.

四、零點的存在受所給區間端點的限制

針對閉區間內的零點問題，零點既可以在區間內取得，也可以在區間的端點處取得，解題中可結合零點的存在定理：如果函數y=f（x）在區間［a，b］上的圖像是連續不斷的一條曲線，且有f（a）·f（b）＜0，那么，函數y=f（x）在區間（a，b）內有零點，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，x=c也即為方程f（x）=0的根.

例4已知函數f（x）=ln（1+x）-mx.

（1）求函數f（x）的極值；

（2）若函數f（x）在區間［0，e2-1］上恰有兩個零點，求m的取值范圍.

當m≤0時，f′（x）≥0恒成立，f（x）在（-1，+∞）上單調遞增，無極值.

（2）由（1）可知：當m≤0時，f（x）在區間［0，e2-1］上單調遞增，所以f（x）在區間［0，e2-1］上不可能恰有兩個零點.

由f（0）=0，得0為f（x）的一個零點.

若f（x）在［0，e2-1］上恰有兩個零點，只需

評析：本題在定區間［0，e2-1］內零點的判斷中，f（0）=0是問題化繁為簡的關鍵，因此只要保證另外一個零點在所給區間內即可.零點的存在定理使問題得以簡潔解決.

綜上所述，同學們在學習中應對重點問題的常規考查題型進行深入的探究，理順思路，形成解決問題的通法，以不變應萬變.

*本文系江蘇省教育科學規劃“十二五”課題《高中數學微課題研學型課堂的構建研究》（編號D/2013/02/683）階段性成果.