一個需要完善的經(jīng)典反例

☉浙江省桐鄉(xiāng)市鳳鳴高級中學 沈金興

一個需要完善的經(jīng)典反例

☉浙江省桐鄉(xiāng)市鳳鳴高級中學 沈金興

一、棱柱定義與經(jīng)典反例

文1中提到了棱柱概念的進化并提供了一個典型反例，筆者覺得這個反例值得商榷，有必要做進一步完善.

先看一下人教版教材《必修2》1.1.1節(jié)中對棱柱下的定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱.而作為一線教師，一定會同時給出一個辨析題：能否把棱柱定義為“有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱”.

絕大多數(shù)同學會認為可以，當然也有一部分同學覺得不可以，但理由會說：“如果可以這樣簡潔地定義，那教材為何還要這么啰嗦地下定義呢？”這顯然不是數(shù)學方面的理由，而是邏輯上的理由.其實，要否定它，只要一個反例就可以了，但要讓學生自己去獨立思考，可能會很難想到.因此，教師就會給出像文1中一樣的一個經(jīng)典反例，如圖1.

圖1

二、對反例的詰問

首先來看多面體的定義，以人教2004年版教材為例，多面體定義為“由若干個平面多邊形圍成的空間圖形”，并對多面體進行分類，“把一個多面體的任一個面伸展成平面，如果其余的面都位于這個平面的同一側，這樣的多面體叫做凸多面體”，而另一類便是凹多面體.

接著來看圖1這個反例，它雖然是辨析題中那個定義的反例，但顯然這個反例是凹多面體的.筆者以前在上《棱柱》這節(jié)課時，也是舉這個經(jīng)典反例的，可在最近一次上這節(jié)課時，有學生一下課就來追問：“老師，棱柱是多面體，而多面體有凹、凸之分，可剛才給出的反例是一個凹多面體，那在凸多面體中有沒有反例呢？如果沒有，則辨析題那個定義中的多面體只要改成凸多面體不就正確了”.最后該生又加了一句話：“反正老師您給出的這個反例不能讓我信服！”

面對學生的詰問，筆者也思索起來，覺得學生說得很有道理.這么說，以前我們舉的經(jīng)典反例是有問題的，那只不過是凹多面體中的一個反例，還缺少凸多面體中的反例.筆者一方面為學生有這樣的批判性思維而高興，另一方面自己也陷入了深思.

三、數(shù)學史上的棱柱定義

回頭再看一看在數(shù)學歷史發(fā)展過程中對棱柱下的定義.

早在古希臘數(shù)學家歐幾里得（約公元前330-275）著的《幾何原本》中，在其第Ⅺ卷有這樣一個定義：“一個棱柱是一個立體圖形，它是由一些平面構成的，其中有兩個面是相對的、相等的，相似且平行的，其他各面都是平行四邊形.”［2］這個定義不就是辨析題中的說法嗎？由此可見，棱柱的這種錯誤定義來源于影響了2000多年的《幾何原本》.古希臘先賢也犯了錯，難怪現(xiàn)在的學生會重蹈覆轍.這也進一步印證了“歷史發(fā)生原理”：學生對數(shù)學概念的理解過程與數(shù)學概念的歷史發(fā)展過程具有一定的相似性，歷史上數(shù)學家所遭遇的困難正是學生所經(jīng)歷的障礙.［3］

由于《幾何原本》是經(jīng)典幾何中的“圣經(jīng)”，故沒有數(shù)學家對棱柱定義提出懷疑，即使到了二十世紀初依舊如此.在1906年，數(shù)學家Failor對棱柱重新下了定義：棱柱是兩個面為全等且平行的多邊形，其他面為平行四邊形的多面體.在1913年，數(shù)學家Smith也把棱柱定義為：有兩個面為平行平面上的全等多邊形，其他面均為平行四邊形的多面體.顯然，這兩個定義還是《幾何原本》中棱柱定義的翻版，只是描述得簡潔一點而已，并無本質區(qū)別.這說明該定義的反例是很難找的，否則在歷經(jīng)2000多年的歷史長河中，到了上世紀初竟還無一位數(shù)學家提出修正，所以學生想不到反例也很正常.

四、完善反例并制作模型

由于平時舉的這個反例是屬于凹多面體的，故需要再舉一個凸多面體的反例，這樣才完整.當然，也不必重起爐灶，只要在原有反例的基礎上進行完善，把它變成凸多面體就可以了.

1.用“補形”方法來完善

原有的反例是凹的，那只要在凹進去的地方補上一個多面體，使之變成凸的不就行了，當然側面還是要保證平行四邊形的.為了更一般化，原來反例中的上、下底面可改成一般的四邊形，然后為了美觀，還可再“補形”，使上、下底面為平行四邊形，最后就得一個很漂亮的凸多面體反例.具體的“補形”過程見圖2.

2.用“切割”方法來制作

凸多面體的反例是在原有凹多面體反例的基礎上通過“補形”方法得來的，但在給學生說明時，還不太好辦，因為這個反例不容易畫.所以，最好能制作一個模型，直接給學生看，這樣就很有說服力了.

但要憑空制作這個反例的模型也有點困難，于是就聯(lián)想到立體幾何中常用的“切割”方法.由于反例有十二個面，取上、下相對的兩個有四條棱的頂點，則發(fā)現(xiàn)該頂點可看成一個四棱錐的頂點，即有4個側面，這樣上下就有8個側面，再加上中間四個面，就構成十二個面了.如此一來，就很自然地想到正八面體，然后取各條棱的中點，再把各中點相連就形成了圖2中的凸多面體反例.具體“切割”過程如圖3，最后再旋轉一下觀看，就誕生了一個完美的凸多面體反例模型，如圖4.

圖2

圖3

圖4

五、結束語

至此，針對棱柱錯誤定義的反例就完善了，從而讓學生更加明白了教材中對棱柱所下定義的正確性.由于流傳了2000多年的《幾何原本》中對棱柱下的錯誤定義，從而導致了學生對棱柱定義的誤解也屬正常，因為歷史上這么多大數(shù)學家都認為《幾何原本》中的棱柱定義是正確的，更何況學生.而教師舉的反例也不應只局限于凹多面體的，還要補充凸多面體的反例才完整.希望本文完善的反例能給一線教師在教學上帶來方便.

1.馮耀斌.HPM視角下高中數(shù)學若干“核心概念”的回歸［J］.中學數(shù)學（上），2014（3）.

2.歐幾里得，箸.幾何原本［M］.蘭紀正，朱恩寬，譯.南京：譯林出版社，2011.

3.汪曉勤，韓祥臨.中學數(shù)學中的數(shù)學史［M］.北京：科學出版社，2002.FH