突出教材地位展現習題功能
——以一道拋物線問題為例

☉浙江省義烏市上溪中學 朱學軍

突出教材地位展現習題功能
——以一道拋物線問題為例

☉浙江省義烏市上溪中學 朱學軍

近幾年來的新課程高考數學試題，多數來源于課本，即使是綜合題也是課本例題、習題的組合、加工和拓展，充分體現教材的基礎作用，對課本上的例、習題不能孤立地對待，要抓重點，并且從各個方面精心挖掘其潛能，使課本中的每一個例、習題的作用發揮到極致，以達到最佳的教學效果，本文以一道拋物線的課本習題為例來進行說明.

題目（人教A版選修2-1第73頁練習A第5題）如圖1，M是拋物線y2=4x上一點，F是拋物線的焦點，以Fx為始邊，FM為終邊的∠xFM=60°，求|FM|.

解析：如圖2，過點M作MB垂直于準線x=-1于點B，過點F作FA垂直MB于點A，因為∠xFM=60°，所以∠AFM=30°，據拋物線的定義|MB|=|MF|，所以|AM|= |MB|-|AB|=|MF|-2，所以2（|MF|-2）=|MF|，所以|MF|=4.

評注：對圓錐曲線定義的考查，是高考對重要考點考查的視角之一，本解法從定義入手，使問題的解答回歸解析幾何問題的幾何本質，思路簡潔明了.

圖1

圖2

一、拓展探究，深化主題

變式1過拋物線y2=4x的焦點F作傾斜角為60°的直線與拋物線交于M、N兩點，點M在x軸上方，求|MF| |NF|的值.

解析：如圖3，分別過點M、N作MB、NC垂直準線l于點B、C，過點F作FA垂直MB于點A，過點N作NE垂直OF于點E.

據拋物線的定義知|MB|=|MF|，|AB|= 2，所以|MA|=|MB|-2=|MF|-2.

圖3

因為∠xFM=60°，所以∠AFM=30°，在Rt△AFM中|MF|，所以|MF|=4.同理

評注：拓展探究是以類比、歸納推理的數學思想方法為基礎，使用有目的性、規律性、適應性、參與性的原則進行有層次的各種引申與推廣；由一道題變為一類題，再由一類題變為多類題，題題相連，類類相連，形成一片，可以達到舉一反三的功效.

二、逆向應用，鍛煉能力

變式2（2013年新課標Ⅱ）設拋物線C：y2=4x的焦點為F，直線l過F且與拋物線C交于A、B兩點.若|AF|= 3|BF|，則l的方程為（）.

A.y=x-1或y=-x+1

解法1：如圖4所示，作出拋物線的準線l1及點A、B到準線的垂線段AA1、BB1，并設直線l交準線于點M.設|BF|=m，由拋物線的定義可知|BB1|=m，|AA1|=|AF|=3m.由BB1∥ AA1，可知，所以|MB|=2m，則|MA|=6m.故∠AMA1=30°，得∠AFx=∠MAA1=60°.故選C.

圖4

評注：本題主要考查拋物線的幾何性質、直線與拋物線的位置關系等知識，意在考查考生的運算求解能力及對知識綜合應用的能力.通過多種解題方法的訓練，學生的數學技能和思維在變式教學中得到了培養，通過對數學問題進行多角度、多方面的變式探索研究，有意識地引導學生從“變”的現象中發現“不變”的本質，從“不變”的本質中探索“變”的規律，從而優化學生的思維品質，培養發現問題和解決問題的能力及素質.

三、深入探究，回歸一般

變式3過拋物線y2=2px（p＞0）的焦點F作傾斜角為60°的直線，交拋物線于M、N兩點，點M在x軸的上方，求的值.

解析：如圖5，分別過點M、N作MB、NC垂直準線l于點B、C，過點N作NA垂直MB于點A.

據拋物線的定義知|MB|=|MF|，|NC|= |NF|=|AB|，所以|MA|=|MB|-|AB|=|MF|-|NF|.因為∠xFM=60°，所以∠ANM=30°，在Rt△ANM中整理得

圖5

評注：數學探究的核心是問題展示，探究過程需要把握以下幾方面：（1）變式問題要有明確的目標，要在學生已有的認識基礎上結合教學內容有目的地提出，有助于學生對學習內容的理解和掌握；（2）變式問題應關注學生的參與度，滿足課堂教學對象中各層次的現實需要；（3）變式問題要滲透數學思想方法，從特殊到一般，啟迪學生思維，開拓解題思路，讓學生能夠對數學問題有更深層次的理解.

四、條件改變，能力呈現

變式4（2012年安徽）過拋物線y2=4x的焦點F的直線交該拋物線于A、B兩點.若|AF|=3，則|BF|=________.

解析：拋物線y2=4x的準線為x=-1，焦點為F（1，0），設A（x1，y1），B（x2，y2）.由拋物線的定義可知|AF|=x1+1=3，所以x1=2，所以y1=±2.由拋物線關于x軸對稱，假設A（2，2），由A、F、B三點共線可知直線AB的方程為y-0=2（x-1），代入拋物線方程消去y得2x2-5x+2=0，求得x=2或

變式5（2013年重慶）過拋物線y2=2x的焦點F作直線交拋物線于A、B兩點，若則|AF|= ________.

變式6（2013年浙江）設F為拋物線C：y2=4x的焦點，過點P（-1，0）的直線l交拋物線C于A、B兩點，點Q為線段AB的中點.若|FQ|=2，則直線l的斜率等于________.

解法1：注意到|FQ|=2，正好是拋物線通徑的一半，所以點Q為通徑的一個端點，其坐標為（1，±2），這時A、B、Q三點重合，直線l的斜率為±1.

變式7（2013年大綱卷）已知拋物線C：y2=8x與點M（-2，2），過拋物線C的焦點且斜率為k的直線與拋物線C交于A、B兩點.若，則k=（）.

解析：如圖6所示，設F為焦點，取AB中點P，過A、B分別作準線的垂線，垂足分別為點G、H，連接MF，MP，由知 MA⊥MB，則所以MP為直角梯形BHGA的中位線，所以MP∥AG∥BH，所以∠GAM=∠AMP=∠MAP.又|AG|=|AF|，AM為公共邊，所以△AMG≌△AMF，所以∠AFM=∠AGM=90°，則MF⊥AB，所以故選D.

圖6

評注：這一組變式是在原題的基礎上進一步發散，題目的難度逐漸提高，解題方法注重基本知識、體現能力，試題的特點從特殊性到一般性的考查；貼近高考，讓學生提前進入高考的角色.

五、結論變換，收獲不斷

變式8（2012年北京）在直角坐標系xOy中，直線l過拋物線y2=4x的焦點F，且與該拋物線相交于A、B兩點，其中點A在x軸上方.若直線l的傾斜角為60°，則△OAF的面積為________.

變式9（2013年新課標Ⅱ）設拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點為F，點M在C上，|MF|=5.若以MF為直徑的圓過點（0，2），則拋物線C的方程為（）.

A.y2=4x或y2=8xB.y2=2x或y2=8x

C.y2=4x或y2=16xD.y2=2x或y2=16x

評注：改變例題的結論主要表現為：在數據相同的情況下設置不同的問題情景來考查學生對知識的掌握及靈活應用程度.在一題多變的發散思維中，學生可以看到同一道例題在不同情景下的相關性，也可以看到不同人思維的差異，還可以看到建立在獨立思考的基礎上的合作交流，意義重大.

總之，高考數學試題具有“源自教材，但高于教材；題在書外，但根在書里”的特點，因此，在課堂解題教學活動中，需要時刻立足教材，對課本中有潛質的習題進行變式；例題、習題的變式問題是對教材的合理補充和拓展，也是在學生思維水平“最近發展區”的教學，可以啟迪學生的思維，開拓解題思路，激活數學思維方法.FH