五種版本高中數學教材函數概念的比較研究

☉中國人民大學附屬中學 吳中才

五種版本高中數學教材函數概念的比較研究

☉中國人民大學附屬中學 吳中才

一、函數在高中數學中的地位和作用

函數是描述客觀世界變化規律的重要數學模型，是由常量數學進入變量數學的轉折點，函數的思想方法貫穿高中數學課程和數學教學的始終．函數是聯系高中數學各板塊的紐帶，運用函數的思想和方法，可以研究幾何、三角、數列、統計等領域中的單調性、最值及變化趨勢等問題；通過建立函數模型，可以解決生產、生活中相關的實際問題．高中階段不僅把函數看成變量之間的依賴關系，同時還用集合與對應的語言刻畫函數．函數是繼續學習數學和其他學科的必備基礎.

二、五種版本高中數學教材對函數概念的處理

按照課程標準的“內容標準”，函數概念被安排在數學必修1中，因此，五種版本教材都是在必修1中呈現函數概念．下面，我們從章節設置、概念引入、概念表述、定義域與值域、對映射與函數相等概念的處理、教材編寫特點等方面進行比較研究．

三、分析與比較

1.章節設置

人教A版和湘教版都是把函數編排在第一章集合知識之后，另外三套教材則是從第二章另起一章．這兩種方式沒有本質區別，只是分段位置不同使得整個模塊的知識結構有所不同．人教A版和湘教版的編排方式很有道理，先用一個章節把集合及一般函數概念與性質作一交代，再研究具體基本初等函數．整個框架是由一般到特殊的設計，認知上強調下位學習．但若考慮到集合、函數、基本初等函數這三者的關系，似乎把集合單列一章，邏輯關系會更清晰些，且這種下位學習的結構不會因函數與集合的分開而受到隔離．所以，人教B版、北師大版、蘇教版采用的這種編排方式無論從知識結構還是從認知規律來看，都更合適．

2.概念引入

五個版本的教材都復習了初中函數的概念．人教A版、人教B版、蘇教版教材還從一些數學、物理實例出發幫助學生理解概念，這是學生的知識經驗和生活經驗．從學生已有的兩種經驗出發建構新知，形成概念，符合學生的認知規律和課程標準建議．北師大版和湘教版未借助實例引出概念．北師大版突出了生活中的變量關系，湘教版突出了映射的概念，而這兩方面在課程標準中的要求并不高．以前的人教版教材是先講映射的，并把映射講得較透徹，再講函數．而現在人教A版、人教B版、蘇教版對此已做出相應調整，更符合課程標準精神．

3.概念表述

五種版本的教材對函數概念的表述沒有太大區別，都強調了函數是兩個非空數集上的一種對應關系（或對應法則），抓住了函數概念的本質特征．但各版本教材的處理細節略有差異．

人教A版和北師大版的概念中只表述了存在唯一確定的數f（x）與之對應，以及映射符號f：A→B．但由于f（x）表示自變量x對應的函數值沒有交待，映射概念在這兩種版本教材中也都被置后，所以在概念中出現f（x）和符號f：A→B還是有點欠妥．

蘇教版指出“這種對應叫做A到B的一個函數”，湘教版稱“這樣的對應f叫作定義于A取值于B的函數”，人教B版則說“這種對應關系叫做集合A上的一個函數”．這三種版本都強調了“對應關系（或對應）是函數”這一本質．但蘇教版說“A到B的一個函數”似乎不妥，因為B不一定是值域．相比而言，湘教版說得很清楚但筆墨較多，人教B版則準確而簡潔，突出本質，比較符合學生的認知．

4.定義域與值域

五種版本的教材對定義域和值域的描述基本一致，人教B版強調了某點處的函數值的概念，這樣為學生理解f（x）做了鋪墊；蘇教版用的是“輸入值”和“輸出值”來描述定義域和值域，這種表述利用動態詞突出了x與f（x）之間的對應關系；湘教版則是利用象來描述值域，因為前面講了映射，以及象和原象的概念，顯得更明了．

5.對映射、函數相等概念的處理

對映射概念，只有湘教版安排在函數概念之前，其他四種版本皆置后處理．先講或后講關系不太大．先講映射，是由一般到特殊，屬下位學習；先講函數，是由特殊到一般，屬上位學習．這都是符合學生認知規律的．人教A版和北師大版都是在函數的表示方法之后講映射的，而蘇教版則更是放在了函數的性質之后．只有人教B版是在函數的概念與函數的表示方法之間專門用一個小標題講述映射與函數，充分且緊密，對學生建構概念很有好處．此外，對于映射與函數的關系，人教A版、北師大版、蘇教版（提了一個問題引導學生思考）都未作出分析和比較，也只有人教B版做得較充分．湘教版是先講映射的，由映射到函數直接由一般到特殊便可得到，屬于另一種處理方式，邏輯關系也很清晰．

對于函數相等的概念，人教A版在正文中給出了定義，湘教版在邊欄做了交代，其他三種版本均未提及．這一內容課程標準也未提及．從函數的三要素看，兩個函數相同，意思就是兩個函數相等，未必要增加一個新概念，才能讓學生真正理解函數的三要素．

6.教材編寫特點

五種版本教材的編寫都有一個共同特點：注重學生的知識經驗和生活經驗，從學生的年齡特征和認知規律出發，逐步展開概念之間的聯系和邏輯關系．這樣有助于學生形成概念，建構新的知識體系．

人教A版更注重函數的集合觀與變量觀之間的聯系，有利于學生在舊知的基礎上建立新知．教材比較淡化映射的概念，是在分段函數（函數的表示方法）之后將函數概念一般化得到映射的概念．接著，教材安排函數性質的學習，這種處理體現了螺旋上升的原則．

人教B版比較注重函數概念的多個層次及概念間的邏輯關系，概括起來呈現了三個層次：變量觀→集合觀→映射觀．此外，教材在函數和映射概念形成前、后都有舉例，這能較好地幫助學生建立和鞏固概念．

北師大版比較注重變量間的關系，還舉例說明加油站儲油罐的儲油量和油面寬度是有依賴關系的兩個變量，但它們之間并不是函數關系．教材還比較注重函數與映射的關系，由實例給出映射概念之后，組織了對函數與映射關系的思考交流，然后結合映射的概念重新描述了函數概念，也較好地體現了螺旋上升的原則．

蘇教版注重從對應關系引入函數概念．在舉出實例后，教材突出了兩點，一是提及每個問題都涉及兩個非空數集A和B；二是強調用“箭頭圖”可以清楚地表示這種對應關系，這種對應具有“一個輸入值對應到唯一的輸出值”的特征．教材比較強調用解析式表示函數定義域的理解，編寫篇幅不?。硗猓滩脑谥v映射概念時還提到函數與映射是單值對應，意圖可能是想突出函數概念的本質．

湘教版選擇的是由映射到函數的思路呈現函數概念．教材比較注重知識的內在聯系和邏輯關系，結合邊欄將整體思路到處理細節都交待得比較細致、到位，特別適合學生自學，以及新教師了解和掌握知識結構與函數各要素的作用．

四、思考與建議

函數是一個非常重要的概念，各套教材編寫時都認真設計了概念的形成過程．本文的比較研究雖是管窺函數概念的呈現，但從這一樣本也能看出各版本教材的編寫風格和大致特點，希望能給同行或教材編寫者一點參考，不當之處請大家指正．下面談些個人的思考與建議：

1.教材編寫的規范性

作為一套數學教材，它的規范性體現在用字、語言、作圖、符號、字體等方面．從五個版本教材函數概念部分的編寫來看，總體都比較規范，但有幾處并不一致．北師大用的是“像”和“原像”，其他版本教材用的是“象”和“原象”；人教B版和蘇教版用的是“惟一”，其他版本教材用的是“唯一”；在給定義域、值域下定義時，北師大版用的是“叫作”，而其他版本用的是“叫做”；“值域”的英文基本用的是“range”，湘教版在初中函數概念中用的是“co-domain”．建議各套教材采用統一出版標準．

2.課程標準的內容標準

課程標準是教材編寫的依據，也是課堂教學的依據，還是高考命題的依據，它是一本綱領性文件，具有很高的規范和指導作用．課程標準中列出的內容標準就是我們編寫教材、教學和命題的藍本．課程標準沒有提及相等函數、一一映射、單值對應，只要求了解映射的概念．這樣做是為了減少一些無關緊要的概念，突出主干概念，減少對主干概念的干擾和記憶負擔．從前面的分析看，沒有這些概念并不影響學生對函數概念的理解和掌握，因此，建議淡化無關概念．

3.考慮學習心理因素

“教材不是寫給教師教的，而是寫給學生學的．”新課改伊始，這種觀點就比較流行．因此，教材有了“問題提出”、“實例分析”、“抽象概括”、“思考交流”、“閱讀與思考”、“學而時習之”、“溫故而知新”等欄目，以及邊欄、旁白等形式．教材編寫不可忽視的因素就是學生的認知心理．皮亞杰的認知發展理論有一個核心概念是“認知圖式”．他認為，認知圖式包括動作圖式、符號圖式、運算圖式等．

在函數概念的形成和認識過程中，我們要幫助學生形成一些正確的認知圖式．對于用f（x）表示函數值，人教A版、蘇教版、湘教版都是直接使用的．北師大版在函數定義中也是直接使用的，只是在函數概念之后補了一段文字：“當x＝a時，我們用f（a）表示函數y＝f（x）的函數值．”而人教B版是在定義之后用了這樣的文字進行闡述：“如果自變量取值a，則由法則f確定的值y稱為函數在a處的函數值，記作y＝f（a）或y|x=a．”這種正確、及時的符號圖式在教材編寫時應當予以考慮．

1.中華人民共和國教育部．普通高中數學課程標準［M］．北京：人民教育出版社，2003．

2.普通高中課程標準實驗教科書·數學1必修A版［M］．北京：人民教育出版社，2004．

3.普通高中課程標準實驗教科書·數學1必修B版［M］．北京：人民教育出版社，2004．

4.普通高中課程標準實驗教科書·數學1必修［M］．北京：北京師范大學出版社，2004．

5.普通高中課程標準實驗教科書·數學1必修［M］．南京：江蘇教育出版社，2005．

6.普通高中課程標準實驗教科書（必修）·數學第一冊［M］．長沙：湖南教育出版社，2005．FH