圓錐曲線“焦點三角形”的命題視角

☉江蘇省南京市高淳高級中學 祝輝

圓錐曲線“焦點三角形”的命題視角

☉江蘇省南京市高淳高級中學 祝輝

教材中的例、習題具有典型性與代表性，能有效檢查學生對重點知識的掌握及靈活應用的程度，同時教材中的例、習題也是高考命題的重要來源之一，因此對教材例、習題的探究是高三數學備考的重要方式之一.下面以教材中一道關于焦點三角形面積的習題為例說明.

由橢圓的定義知|MF1|+|MF2|=6，兩邊平方得|MF1|2+|MF2|2+2|MF1|· |MF2|=36①.

在△F1MF2中，由余弦定理，得|MF1|2+|MF2|2-2|MF1|· |MF2|cos60°=16②.

圖1

焦點三角形的定義：橢圓（雙曲線）上一點（頂點除外）與其兩個焦點組成的三角形叫做焦點三角形.近幾年全國各地的高考或模擬試卷中，對焦點三角形有關性質的知識點考查越來越普遍，下面探究解決此類問題的一般結論.

一、探究一般結論

解析：在△MF1F2中，由余弦定理，得|MF1|2+|MF2|2-2|MF1|·|MF2|cosθ=|F1F2|2，則（|MF1|+|MF2）2-2|MF1|·|MF2|（1+ cosθ）=4c2，則2|MF1|·|MF2|（1+cosθ）=4b2，則|MF1|·|MF2|=

結論：若F1、F2是橢圓的兩個焦點，點M為橢圓上任一點，∠F1MF2=θ，b是橢圓的短半軸長，則△F1MF2的面

二、變式探究

將題目中的條件已知角∠F1MF2改為∠MF1F2.

由橢圓的定義知|MF1|+|MF2|=6，即|MF2|=6-|MF1|①.

在△F1MF2中，由余弦定理，得|MF1|2+|2c|2-2|MF1|· |2c|cos60°=|MF2|2②.

三、逆向探究

將已知條件改為焦點三角形面積已知，求∠F1MF2.

由橢圓的定義知|MF1|+|MF2|=6，兩邊平方得|MF1|2+|MF2|2+2|MF1|·|MF2|=36，則|MF1|2+|MF2|2=

在△F1MF2中，由余弦定理，得|MF1|2+|MF2|2-2|MF1|· |MF2|cos∠F1MF2=16，所以cos∠

四、橫向探究，由橢圓到雙曲線

解析：由雙曲線的定義得||MF1|-|MF2||=2a①.

由余弦定理，得|MF1|2+|MF2|2-2|MF1|·|MF2|·cosθ=（2c）2②.

②減去①的平方得2（1-cosθ）|MF1|·|MF2|=4c2-4a2= 4b2，所以

“紡紗工藝設計與質量控制”課程是一門在大學三年級第六學期開設的課程，學生經過紡紗學和新型紡紗學的學習后，有了一定分析和解決問題的能力，這時候學生離畢業還有1年時間，他們考慮畢業后將要從事的工作，因此很重視自己能力的培養，學習的積極性和主動性有所提高，此時， “紡紗工藝設計與質量控制”課程采用案例教學法，可以激發學生的潛能，能夠培養學生獨立思考和動手能力，提高創新能力和工程實踐能力，培養綜合能力，進一步鍛煉學生分析和解決生產實踐過程中出現的問題[5-6]。

結論：若F1、F2是雙曲線的兩個焦點，點M為雙曲線上任一點，∠F1MF2=θ，b是雙曲線的虛半軸長，則△F1MF2的面積

五、縱向探究焦點三角形的有關性質

性質1：△MF1F2的周長為定值：2a+2c.

由橢圓的定義知|MF1|+|MF2|=2a，所以周長C=2a+2c.

性質2：b2≤|MF1·||MF2|≤a2.

設M（x0，y0），則|MF1|=a+ex0，|MF2|=a-ex0，所以|MF1·| |MF2|=a2-e2

因為-a≤x0≤a，所以b2≤a2-e2≤a（2當且僅當x0=0時右邊取等號，x0=±a時左邊取等號），所以b2≤|MF1·| |MF2|≤a2.

在△MF1F2中，由正弦定理，得.因為|MF1|+

例5如圖2，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的兩點，動點P滿足：|PM|+|PN|=6.

（1）求點P的軌跡方程；

圖2

（2）設∠MPN=θ.因為cos∠MPN=cosθ≠1，所以P不為橢圓長軸的頂點，故P、M、N構成三角形.

例6（2014年高考全國卷）已知雙曲線C的離心率為2，焦點為F1、F2，點A在C上.若|F1A|=2|F2A|，則cos∠AF2F1=（）.

解析：根據題意|F1A|-|F2A|=2a.又|F1A|=2|F2A|，所以|F2A|=2a，|F1A|=4a.

在△AF1F2中，根據余弦定理，可得cos∠AF2F1=

綜上所述，有關橢圓（雙曲線）焦點三角形性質的應用問題，形式多樣，題目靈活，在具體的解題過程中，需要牢固掌握焦點三角形的基本性質，這樣才能快速找到問題的解決方法，從而提高解題能力.