建構觀下“軌跡”教學的案例研究

蔡鈳金

1 提出問題

“知識不是被動吸收的，而是由認知主體主動建構的。”這個觀點的意思就是：知識不是單方面通過教師傳授得到的，而是學生在一定的情境中，運用已有的知識和經驗，并通過與他人（在教師指導和學習伙伴的幫助下）協作，主動建構而獲得的。這種教學模式強調以學生為中心，視學生為認知的主體，教師只對學生的意義建構起幫助和促進作用。筆者通過多年教學實踐認識到， 若遵循這個原則進行數學課堂教學，學生的學習將是一種饒有興趣的高效活動。

案例一：課題：軌跡的探求

教學過程：

教師按平時的教學方法，順利的講完了這節課的內容后，講了下面這個問題：已知D是定圓A上的點，C是圓A所在平面上一定點，線段CD中點為E，當D在圓A上運動時，求點E的軌跡。

我認為這個問題基本講清楚了，但第二天的作業，卻出現了共性問題，許多學生對如下題目仍不會做。

已知D是定圓A上的點，C是圓A所在平面上一定點，線段CD的垂直平分線與DA的交點為F，與CD的交點為E，當D在圓A上運動時，求點F的軌跡。

生甲：老師，這個題我不會做。

師：課堂上講的那道題你理解了嗎？

生乙：我們都會了，但這個題我們兩個人得出的結論都不同，我得的是雙曲線，他得的是橢圓，到底誰的對呢，應當怎么樣考慮？

師：你們的結果為什么不同呢？什么原因產生的？

生丁：我師：這就說明，這個題要對C點位置進行討論；

生乙：那還有沒有別的情況呢，怎么樣才能考慮全面呀；

生丙：那么今天上課的題目，當C點在不同位置時，又會怎么樣呢？

師：也要進行討論分析呀。

生丁：可我們如何才能知道，啥情況下要討論，啥情況下不討論呀？

學生提出的問題，確實是他們感到最困惑的。這還是肯動腦子的學生，其他學生，通過這堂課的教學，又明白了多少呢？

（二）對以上案例的反思

1、學生對知識的掌握還處于一種膚淺的認識，對難度大一點的題，還是不能較好的解決，究其原因，是由于教師給出定義過于唐突，缺少實驗、探討所至。由于教師在教學中只注意新概念強制性地注入學生腦中，置學生于被動地位，使思維呈依賴性，因而學生只能消極被動地接受這個定義而未能內化這個新知識，無法達到有意義的理解和靈活運用。

2、從問題結論的不確定性可以看出，傳統的教學方法，無法讓學生直觀發現動點變化的情況，更難以理解結論產生的原因，即使是教師在教學過程中反復強調，或引導學生思考，學生也僅僅只能記住教師所講的結論，沒有自己的探究和思考，知其然而不知其所以然。

總之，這些現象說明我們的教學存在著它的缺陷。多年來，我國基礎教育在培養學生基礎知識、基本能力上做出了一定貢獻，這是我國基礎教育的優勢所在。但也是這種優勢使我國基礎教育只強調書本知識的傳授，理解和掌握，強調解題能力的形成和提高，忽視學生綜合素質的提高和個性發展，特別是學生自主學習和自主發展的培養。

2 建構觀下的教學設計

1、案例二：用建構觀對案例一的改進教學：

已知D是定圓A上的點，C是圓A所在平面上一定點，線段CD中點為E，當D在圓A上運動時，求點E的軌跡。

教師用幾何畫版演示軌跡，當學生看清軌跡時，教師讓學生回答為什么？并引導學生進行論證。

當學生完成論證后，教師提出新的問題：在上面問題中，過E作CD的垂線，交DA于F，則當D在圓A上運動時，問點F的軌跡是什么圖形。

生：還是圓。師：是圓嗎，用幾何畫版試一試。（學生興趣高漲）

生：是橢圓。師：有不同意見嗎？

生：是雙曲線。師：還有不同意見嗎？

生：是一個點。師：把幾種意見總結一下。

生1：當C點在圓內不與A點重合時是橢圓，生2：當C點在圓外時是雙曲線；

生2：當C點在圓上時是A點；生4：當C點與A重合時是圓。

師：能證明嗎？

學生在教師的指導下，進行論證。教師要引導學生從不同的角度進行論證。

師：我們不僅要學會解決問題，積累解決問題的經驗，總結解決問題的方法 ，并運用這些經驗解決新的問題，更重要的是敢于提出問題，善于提出問題。從剛才的探求中可看出同學們掌握了基本的探求和論證的思維方法。

點評：我們知道，探求一個點的軌跡，思維的出發點主要是兩個，一是找出約束動點變動的幾何條件，二是找出影響動點變動的因素，而這一節課從一系列的問題的探究中，使學生明確了探求點的軌跡的途徑，初步理清了解決這類問題的思路，從整體上把握了這類問題的解決方法，看清了問題的本質。

2、反饋記錄

學生A：今天的課，用幾何畫版直觀的演示，感覺很容易懂，很美妙！學生B：想不到，在一次次的探討過程中，能得出這么多的結論，學到這么多東西，挺有成就感的！

學生C：這樣學起來，又輕松，又容易懂，自己發現的結論，就不易忘記了。

3、案例二對我們的啟示：

數學發展的歷史表明，每一個重要的數學概念的形成和發展，其中都有豐富的經歷，然而出現在數學教科書中時，卻掩蓋了其間人類探索的“火熱的思考”，而成“冰冷的美麗”。對學習者而言，數學的知識應該是一個數學化的過程，即通過對常識材料進行細致的觀察、思考，借助于分析、比較、綜合、抽象、概括等思維活動，對常識材料進行去粗取精、去偽存真的精加工。案例二正是從數學研究和數學實驗的過程中進行設計，學生的思維不一定真實的重演了人類對軌跡探索的全過程，但確確實實通過實驗、觀察、比較、分析、歸納、抽象、概括等思維活動，在探索中學習數學，從而才使學生有了對數學學習的樂趣；雖然學生要學的數學是歷史上前人已建構好了的，但對他們而言，仍是全新的、未知的，需要用他們自己的學習活動來再現類似的過程。案例二正是從創設問題情景作為教學設計的最重要的內容之一。教師的工作是把教學設計成學生動手操作、觀察猜想、揭示規律等一系列過程，側重于學生的探索、分析與思考，側重于過程的探究及在此過程中所形成的一般數學能力。

教師的地位應由主導者轉變為引導者。案例二正是在這個思想的指導下，在教學思想上，要求教師的教學思想由“教”轉向“學”，由“教師”轉向“學生”，使教學活動真正成為學生的活動。在教學過程中，把學習的主動權交給學生，在時間和空間上保證學生在教師的指導下，學生自己獨立自主的探究學習，在教學方法上，充分注意學生的差異性，加強課堂調控，使教學活動始終處于學生的“最近發展區”，使每一個學生通過自己的努力，在自己原有的基礎上都有所獲，都有提高，使教學活動充滿師生交流互動的氣氛。正是基于以上觀點，我較成功地上好了這一節課，同時學生在這樣的課堂上得到了原來很難得到的收獲。

通過案例研究，通過調整教學策略，能較好的優化了課堂教學，培養了學生探究學習與創新學習能力，收到了較好的效果。但教海茫茫，新的問題題還在不斷出現，我們將在今后的進一步研究和學習中繼續探究。