模型化教學(xué)方法初探

張健

【摘要】筆者先闡述了模型化教學(xué)的相關(guān)概念，提出在幾何部分，教師開展模型化教學(xué)具有現(xiàn)實(shí)必要性。緊接著，筆者總結(jié)概括了兩個(gè)數(shù)學(xué)模型：長方體模型和三角形模型，通過對模型示例的分析，展現(xiàn)數(shù)學(xué)模型化教學(xué)的做法與體會(huì)。本文最后，筆者揭示了在教學(xué)中開展模型化教學(xué)的意義。

【關(guān)鍵詞】高中幾何 模型化教學(xué)

【中圖分類號】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2015）06-0123-01

高中幾何是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要內(nèi)容。它需要學(xué)生具有較高的分析問題和解決問題的能力，是培養(yǎng)學(xué)生思維的一個(gè)重要場所。在這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)中，文科學(xué)生往往憑借主觀的感性判斷解題。教師開展模型化教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)幾何中的常見解題模型，有助于幫助學(xué)生形成高度概括性的數(shù)學(xué)思維，將眾多普遍問題轉(zhuǎn)化為特殊問題，使之達(dá)到舉一反三的學(xué)習(xí)效果。

一、模型化教學(xué)概述

對于高中數(shù)學(xué)而言，數(shù)學(xué)模型化教學(xué)是指在學(xué)習(xí)的過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生對事物進(jìn)行高度概括、抽象，提煉事物的本質(zhì)聯(lián)系，再運(yùn)用數(shù)字化的語言，將這種特征與關(guān)系用數(shù)字結(jié)構(gòu)表示出來的教學(xué)方式。在幾何教學(xué)中，如果教師運(yùn)用得當(dāng)，數(shù)學(xué)模型就能夠成為幾何知識與浩如煙海的題庫之間的橋梁，成為把握自身發(fā)展的階梯。筆者總結(jié)概括了兩個(gè)具有典型意義的數(shù)學(xué)模型：長方體模型和三角形模型，通過對模型示例的分析，展現(xiàn)數(shù)學(xué)模型化教學(xué)的做法與體會(huì)。

二、幾何模型示例

高中幾何主要包括兩大部分：空間立體幾何與解析幾何。長方體模型和三角形模型，很好地概括了幾何中三視圖、空間位置關(guān)系、四面體問題、球的表面積與體積以及定點(diǎn)問題等知識的解題策略。

1.長方體模型

教師在教學(xué)中以長方體為載體，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識立體幾何的基本性質(zhì)與基本關(guān)系，更能夠突出其直觀性。

（1）在三視圖中的應(yīng)用

例1（2012年浙江省四校聯(lián)考）一個(gè)空間幾何體三視圖如圖1（1）所示，該幾何體的體積為_________.

【評述】高考數(shù)學(xué)對三視圖問題的考查主要有兩類：一是由幾何體確定三視圖；二是由三視圖還原成幾何體。在解決第二類問題時(shí)，快速而又準(zhǔn)確的找到幾何原形，成為學(xué)生解決問題的當(dāng)務(wù)之急。以長方體模型作為載體，在長方體ABCD-A1B1C1D1中找出三視圖中各關(guān)鍵點(diǎn)對應(yīng)的幾何體空間位置，學(xué)生便可高效處理此類問題。（如圖1（2））

2.永恒的“鐵三角”

在空間立體幾何和解析幾何中，巧妙的將圖形轉(zhuǎn)化為求三角形邊或角的問題，將使得學(xué)生在解決問題時(shí)獲得事半功倍的效果。

例2 （2012年蘇州調(diào)研卷）如圖3（1）所示，在四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是AC、BD的中點(diǎn)，若CD=2AB=2，EF⊥AB，則EF和CD所成的角等于________.

解析：過E點(diǎn)做CD的平行線如圖3（2），交AD與G，連接EF。由于E為AC中點(diǎn)，則EG∥CD，即G為AD中點(diǎn)。再由F為BD中點(diǎn)，可得GF∥AB。由于EF⊥AB，可得EF⊥GF。則EF和CD所成的角就轉(zhuǎn)化為∠GEF，由CD=2AB=2可得，∠GEF=30°，則EF和CD所成的角等于30°。

【評述】學(xué)生往往因?yàn)闊o法找到異面直線的夾角或者線面角，而使得解題陷入困境之中。利用平移法，將異面直線平移至共面，此類問題便迎刃而解。這種三角形模型，為解決空間線線關(guān)系、線面關(guān)系以及夾角問題提供了行之有效的方法。

（2）解析幾何的定值問題

例3 （2012年高考福建卷）如圖4（1），等邊三角形OAB的邊長為8，且其三個(gè)頂點(diǎn)均在拋物線上E：x2=2py（y>0）上.

（1）求拋物線E的方程；

（2）設(shè)動(dòng)直線l與拋物線E相切于點(diǎn)P，與直線y=-1相交于點(diǎn)Q.證明以PQ為直徑的圓恒過y軸上某定點(diǎn).

解析：（1）經(jīng)計(jì)算拋物線方程為：E：x2=4y。（2）設(shè)P（x0，y0）將直線l的方程與y=-1聯(lián)立，求得Q（，-1）。設(shè)M（0，y1），令·=0對滿足y0=xx0≠0）的x0，y0恒成立。經(jīng)計(jì)算，（y12+y1-2）+（1-y1）y0=0對滿足條件的y0恒成立，所以1-y1=0y12+y1-2=0，解得y1=1。所以過定點(diǎn)M（0，1）。

【評述】例3中的關(guān)鍵條件是以PQ為直徑的圓（如圖4（2））。由此，我們將解析幾何問題轉(zhuǎn)化為直角三角形MPQ，從而簡化我們的探究過程。

三、模型化教學(xué)的意義

初高中幾何的教學(xué)外，在數(shù)學(xué)的教學(xué)系統(tǒng)中，教師應(yīng)用模型化教學(xué)，可以大大提高文科生解決數(shù)學(xué)問題的能力。學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中，能夠?qū)⒘?xí)得的各種數(shù)學(xué)知識建立更加廣泛而牢固的聯(lián)系，使之概括化，系統(tǒng)化，形成具有穩(wěn)定性、清晰性和可利用性的數(shù)學(xué)模型。

參考文獻(xiàn)：

[1]宋玲玲.關(guān)于高中數(shù)學(xué)模型化教學(xué)方法的探析[J].教學(xué)方法.2011.03

[2]鄭毓信.數(shù)學(xué)方法論入門[M].浙江：浙江教育出版社.2006.3-4.