切比雪夫多項(xiàng)式擬合GPS衛(wèi)星星歷精度分析

楊興躍，任超，呂東，孫建偉

(1.南陽市城鄉(xiāng)規(guī)劃測繪院，河南 南陽 473000;2.桂林理工大學(xué)，廣西 桂林 541004;3.廣西空間信息與測繪重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣西 桂林 541004)

1 引 言

GPS 精密星歷是由IGS(International GPS Service for Geodynamics)等國際組織發(fā)布，它給出了最終星歷(IGF)、快速星歷(IGR)、超快速星歷(IGU)三種類型的星歷［1］。他們的軌道采樣率都為15 min 或者5 min，而在實(shí)際的應(yīng)用中，接收機(jī)的采樣率一般為15 s、30 s［2］，甚至更加密集;這就需要對衛(wèi)星的軌道擬合或者內(nèi)插，以滿足不同的應(yīng)用需求。

基于GPS 精密星歷擬合的方法較多，目前最常用的是Chebyshev 多項(xiàng)式擬合［3］。但是在擬合時，插值節(jié)點(diǎn)的選擇對最大誤差有一定的影響。本文通過選擇切比雪夫點(diǎn)和任意選擇的時間節(jié)點(diǎn)(隨機(jī)節(jié)點(diǎn))對衛(wèi)星軌道進(jìn)行擬合，比較這兩種節(jié)點(diǎn)擬合的衛(wèi)星軌道精度，確定擬合節(jié)點(diǎn)的最佳選擇方案。

2 Chebyshev 多項(xiàng)式擬合的數(shù)學(xué)模型

由于chebyshev 多項(xiàng)式適用于［－1，1］的區(qū)間，因此在進(jìn)行星歷擬合時要先對插值區(qū)間進(jìn)行轉(zhuǎn)化。在［t0，t0+△t］內(nèi)采用n 階Chebyshev 多項(xiàng)式擬合時，利用式(1)完成轉(zhuǎn)化。

衛(wèi)星坐標(biāo)北方向可以表示為:

式中Ci為Chebyshev 多項(xiàng)式的待求的未知系數(shù)，而且擬合東方向和天頂方向坐標(biāo)的原理與擬合北方向坐標(biāo)的原理相同。

利用遞推關(guān)系:

在擬合時間內(nèi)［t0，t0+△t］選取m ＞n+1 個點(diǎn)，由式(2)可得m 個時刻的擬合坐標(biāo)x，將擬合坐標(biāo)x 和已知坐標(biāo)X 求差可得:

其中B 是T 的m×n 階矩陣。

根據(jù)最小二乘原理可知C=N－1BTPX，其中N=BTPB［4］。將求得的C 代回式(2)，即可求出任意時刻的GPS 衛(wèi)星的坐標(biāo)。

根據(jù)Chebyshev 多項(xiàng)式Tn(τ)結(jié)構(gòu)，可以看出在區(qū)間［－1，1］上多項(xiàng)式圖像和Y 軸的交點(diǎn)有n 個，也就是有n 個零點(diǎn):

和n+1 個極值點(diǎn)

這兩組點(diǎn)稱為切比雪夫點(diǎn)，他們在插值中有重要作用，是在單位圓上等距分布點(diǎn)的橫坐標(biāo)，也就是說關(guān)于插值區(qū)間的中點(diǎn)相互對稱［5］。利用切比雪夫點(diǎn)插值，可以使插值區(qū)間的最大偏差到達(dá)最小［6，7］。

3 實(shí)例分析

在IGS 網(wǎng)站上下載(．* SP3)精密星歷文件［7］。本文選取6 號衛(wèi)星2012年5月27日的igsl6900．sp3、igrl6900．sp3和igu16900．sp3精密星歷為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。

3.1 不同節(jié)點(diǎn)選取方法擬合坐標(biāo)

對IGF、IGR、IGU 三種星歷在6 h～12 h 時段內(nèi)的星歷數(shù)據(jù)進(jìn)行不同階次的切比雪夫多項(xiàng)式擬合。將各自的下載星歷每15 min的坐標(biāo)作為已知坐標(biāo)，采用隨機(jī)節(jié)點(diǎn)和切比雪夫點(diǎn)兩種節(jié)點(diǎn)選擇方法擬合坐標(biāo)，得到3種星歷11 階～16 階多項(xiàng)式擬合的坐標(biāo)最大殘差。

IGS 切比雪夫多項(xiàng)式擬合結(jié)果殘差 表1

分析表1 可知，隨著插值節(jié)點(diǎn)的增多IGF 和IGR隨機(jī)插值節(jié)點(diǎn)和切比雪夫點(diǎn)的擬合最大殘差的差值在縮小，即精度隨著階數(shù)的增大而增高。殘差的相對比值沒有隨著階數(shù)的增加而增加，大約保持在2∶1 左右。但是由于隨意插值節(jié)點(diǎn)選擇的隨機(jī)性，IGU 擬合軌道的最大殘差在15 階時X 坐標(biāo)為13.81 mm，Y 坐標(biāo)為12.81 mm產(chǎn)生了較大的差值，Z 坐標(biāo)偏差值相對較小。兩種方法的殘差相對比值也超出了2∶1，X 坐標(biāo)約為4∶1，Y 坐標(biāo)約為12∶1。Z 坐標(biāo)約為2∶1這說明在擬合時，節(jié)點(diǎn)選擇不恰當(dāng)會對X，Y 方向結(jié)果產(chǎn)生很大的影響，使擬合坐標(biāo)精度急劇下降。

由圖1、圖2 可以看出，切比雪夫點(diǎn)擬合的坐標(biāo)殘差比較密集，波動相對平穩(wěn)，在45 min節(jié)點(diǎn)時出現(xiàn)X方向的最大殘差值，小于2.5 mm。而隨機(jī)選取節(jié)點(diǎn)擬合的坐標(biāo)殘差在部點(diǎn)突出，波動較大。在345 min節(jié)點(diǎn)時X 方向的最大殘差接近5 mm。將兩種方案的X坐標(biāo)殘差進(jìn)行比較，從圖3 可以看出隨機(jī)選取節(jié)點(diǎn)的擬合結(jié)果不穩(wěn)定。

表2 是擬合坐標(biāo)與相應(yīng)的IGS 下載坐標(biāo)差值的RMS值。通過比較我們可以看出當(dāng)選擇隨機(jī)節(jié)點(diǎn)不恰當(dāng)時，擬合結(jié)果的RMS 和切比雪夫點(diǎn)擬合的結(jié)果相差很大。特別是IGU 的X，Y 坐標(biāo)，隨機(jī)節(jié)點(diǎn)和切比雪夫點(diǎn)擬合的RMS 值比值接近10∶1，使高階次的擬合精度迅速下降。

圖1 切比雪夫點(diǎn)擬合殘差分布曲線

圖2 隨機(jī)節(jié)點(diǎn)擬合殘差分布

圖3 兩種節(jié)點(diǎn)方案擬合的X 方向的殘差

15 階切比雪夫多項(xiàng)式擬合3 種精密星歷的RMS 表2

3.2 切比雪夫點(diǎn)擬合的坐標(biāo)精度的比較

選取IGS 星歷坐標(biāo)為已知坐標(biāo)，分別求出IGF，IGR，IGU 的15 階切比雪夫多項(xiàng)式擬合的坐標(biāo)精度。從表3 可以看IGF 和IGR 的精度在毫米級，而IGU 的精度都在5 cm的范圍以內(nèi)，比最終星歷和快速星歷的精度低了一個量級。從圖4 可知，選取IGU 中的切比雪夫點(diǎn)擬合的衛(wèi)星軌道，在X 方向最大殘差值小于4 cm，Y 方向最大殘差值小于8 cm，Z 方向的最大殘差值小于4 cm。

切比雪夫點(diǎn)擬合3 種精密星歷的精度對比 表3

圖4 IGU 的擬合精度

4 結(jié) 論

(1)在進(jìn)行擬合時選取切比雪夫點(diǎn)進(jìn)行擬合衛(wèi)星坐標(biāo)殘差相對隨機(jī)選取擬合節(jié)點(diǎn)得到的殘差分布更均勻，且擬合的最大殘差小，即選取切比雪夫點(diǎn)進(jìn)行多項(xiàng)式擬合可以使插值區(qū)間的最大誤差最小化。

(2)當(dāng)擬合的節(jié)點(diǎn)選取為非切比雪夫點(diǎn)時，擬合的坐標(biāo)在X，Y 方向上受到的影響比較大，精度急劇下降。

(3)運(yùn)用切比雪夫多項(xiàng)式擬合精密星歷階數(shù)的增多擬合的軌道精度就越高，15 階時IGF，IGR 的精度可以達(dá)到毫米級，IGU 的精度達(dá)到厘米級。

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［3］高周正，章紅平，彭軍還．GPS 衛(wèi)星星歷精度分析［J］．測繪通報，2012(2):1～3．

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