基于灰色區間預測模型的軌道不平順狀態預測

王乃珍，王福田

（北京交通大學 軌道交通控制與安全國家重點實驗室，北京 100044）

研究與開發

基于灰色區間預測模型的軌道不平順狀態預測

王乃珍，王福田

（北京交通大學 軌道交通控制與安全國家重點實驗室，北京 100044）

軌道不平順狀態是影響行車安全的關鍵因素。軌道質量指數（TQI）是反映軌道幾何狀態變化的重要數據，是一個隨時間變化的時間序列，具有隨機性。為了更好地研究軌道狀態的變化趨勢，利用灰色區間預測模型，對單元區段范圍內隨時間變化的TQI進行建模，并與傳統的非等間距GM（1，1）預測模型相比較。為了說明預測模型的有效性，采用京九線K467.8～K468單元區段實際數據進行驗證，結果表明灰色區間模型的預測精度更高，對鐵路軌道養護維修工作起到指導作用。

軌道不平順；灰色區間模型；軌道質量指數（TQI）；預測

軌道不平順嚴重威脅列車運行安全，影響乘客旅行的舒適度、設備的使用壽命和軌道的養護費用。軌道質量指數（TQI）是由美國鐵路公司提出的評價軌道狀態的指數[1]。根據所測量的不同線路區段，如道岔、橋梁、曲線和隧道等，TQI值的等級不同，并根據不同的等級來反映軌道的狀態。計算公式為，式中 Ls表示區段的測量長度，L0表示區段的理論長度。目前工務部門利用軌檢車檢測數據來管理評價軌道質量狀況主要是超限管理，但隨著鐵路超限管理在諸多方面已經不能保證鐵路軌道維修養護工作的順利進行。因此，如何把握軌道狀態實時變化，有效管理軌道質量，保證行車安全同時延長軌道使用壽命已成為各國軌道養護工作的研究重點。

TQI預測主要是根據 TQI歷史數據進行建模分析，擬合軌道狀態劣化規律，預測未來時間的TQI變化量。國內外許多機構和學者在軌道狀態變化建模預測上做了大量的研究:如日本學者杉山德平提出的 S 式，內田雅夫新預測公式，森本藤等的指數平滑模型，加拿大學者提出的 PWMIS 線性預測模型等[2]。國內學者方面，許玉德等提出利用特性矩陣描述軌道變形并進行預測的方法[3]。劉仍奎、常歡等在軌道不平順周期性、多階段性、指數性特征的基 礎 上 提 出 多 階 段 軌 道 不 平 順 線 性 預 測 模 型[4]。 陳憲麥，王瀾等利用軌檢車檢測產生的波形數據，建立了以軌檢車檢測周期為時間單位對單里程點處的各項不平順進行預測的綜合因子模型[5]。

本文參考了國內外許多 TQI相關研究，將灰平面理論應用于 TQI的預測領域，建立基于非等間距GM（1，1）的灰色區間預測模型。用 R 語言進行計算，R是一套完整的數據處理、計算和制圖軟件系統。并與傳統的非等間距 GM（1，1）模型進行比較，通過分析它們的預測結果來驗證其預測效果。

1 基于非等間距GM（1，1）灰色區間預測模型

設原始 TQI 的時間序列為 X(0)(ti)={x(0)(t), x(0)(t2),…,x(0)(tn)}， 由 于 現 場 每 次 對 TQI 檢 測 時 間 不 同，TQI時間序列的間隔并不相同，因此采用非等間距GM(1,1)模型。由于一些擾動因素會隨著時間的推移進入系統當中，并對系統造成影響。因此，該模型對相隔較遠的數據只有大體規劃意義，只對已知數據列后的一兩個數據有較好的預測作用。考慮到未來不確定性，如新環境、新因素以及隨機擾動等對系統的影響，本文在 GM（1，1）預測模型的基礎上，采用灰平面理論來預測數據的取值范圍，再用權重系數進行修正，更好的反映數據的發展趨勢。

1.1 灰平面

采用 GM(1,1)模型進行預測時，由于時間序列x(0)只包括了過去各項因素對系統的影響，而不能包含未來擾動因素對系統的影響。為了估計數據可能達到的范圍，灰色系統理論提出了灰平面的概念，灰平面預測是指預測值 X(t) 可能達到的范圍[6～7]。

未來預測值 X(t)與時間 t構成的灰平面示意圖如 圖 1 所 示， 預 測 值 的 上 界 為(max)， 下 界 為(min)。當前時刻為 N，則(max) 與(min) 可分別用曲線 f1=f1(t–N)和曲線 f2=f2(t–N)來表示，f1和 f2兩曲線之間的區域即為灰平面。建立灰平面，一般有 3 種方法[7]:（1）在模型中挑出發展幅值最大的GM（1，1）作為上限，發展幅值最小的 GM（1，1）作為下限，按上下限建立灰色區間。（2）按擬合或預測值的上界和下界建立灰色區間，或稱為極限區間。（3）根據原始數列的上界點與下界點，建立灰色區間。

1.2 灰色區間預測模型

本文在上述 3 種方法的基礎上建立 GM（1，1）模型，挑選每個點擬合結果中的最大值和最小值建立灰色區間，形成灰平面。

圖1 灰平面示意圖

設 x(0)為原始數據序列，其中 x(0)={x(0)(1), x(0)(2),…,x(0)(n)}，x(0)(n) 稱為全數據序列。從 x(0)中選取不同序列點，可組成若干個新的序列，這些序列稱為x(0)(n) 的子序列。根據預測需求的不同，可以選取不同的子序列建立不同的 GM（1,1）模型。為了提高預測精度，本文通過選取3種不同的序列建立模型:全數據 GM（1,1）；新息 GM（1,1）；等維新息 GM（1,1）。建立灰平面，再引入權重系數對區間預測值進行修正，得到最終的預測結果。

（1）全數據 GM（1,1）

全數據 GM（1,1）即非等間距 GM（1,1）模型。建模過程如下:

假 設 ti表 示 TQI 的 檢 查 日 期 ， 定 義 向 量 X(0)(ti)表示 TQI的歷史數據 :

該數據序列時距 Δti=titi1，i=2, 3,…,n。Δti不為恒定的常數。對該序列一次累加，弱化了原始序列的隨機性，使得序列呈現近似指數的增長規律。序列的時距 Δti作為乘子，生成序列 :

式（1）中，α為發展灰度，μ為內生控制灰數。

再求解微分方程，即可得預測出 ti時刻 TQI的值 :

GM（1,1）模型的精度可以采用后驗差和小概率的方式進行檢驗。后驗差檢驗是按照殘差的概率分布進行檢驗，一般采用后驗差比值C和小誤差概率P兩個指標來確定模型的精度等級。一般用C、P的值將模型的精度分為4級，如表1所示 :

表1 精度檢驗等級參照表

（2）新息 GM（1,1）模型

該模型指每獲得一個新信息，便將它補充到原始數列中，再按照新形成的數列進行建模。

（3）等維新息 GM（1,1）模型

該模型是指每增加一個新信息，同時就去掉一個老新息，再按照新形成的序列建立的模型，又稱為新陳代謝模型。

本文建立3種預測模型后，從3個模型中挑出擬合或預測值最大點以及最小點，可確定 TQI時間序列 的 預 測函 數 的 上下界，組 成 灰平面。(ti), i=1, 2,…, n 表示下界點。(ti), i=1, 2,…, n 表示上界點，當 i≤ n 時，得到模型的擬合值，當 i＞n 時，得到模型的預測值。即TQI預測函數的下界函數為 :

TQI預測函數的上界函數為 :

2 模型的仿真與計算

本文選取 了 2009 年 2 月～ 2010 年 7 月 京九線上行 K467.8 ～ K468 單元區段共 20 次時間序列進行模型仿真。全數據時間序列由 1～ 19序列點構成，2 ～ 20 序列點構成新息序列，1 ～ 20 序列點構成等維新息序列，分別建立非等間距 GM（1，1），對第21 個批次 2010 年 7 月 23 日的 TQI值進行預測，并與真實值進行比較來驗證模型預測的準確性。

按已知數據分別建立全數據 GM（1，1）、新息GM（1，1）模型和等維新息 GM（1，1）模型，經R語言編程計算，并且算出后驗差C和小誤差概率P對模型的精度進行檢驗。

各模型統計結果如表2所示 。

表2 各模型統計結果

在3個模型中，新息模型和等維新息模型的精度為二級，全數據模型精度為一級，說明預測模型基本可信。通過上面 3個模型求出第 21個批次預測值(ti) 和最高預測值(ti)，以預測誤差平方和最小為目標，通過數學規劃方法求解，得到最優的權重系數 a=0.6989 和 b=0.3011，將它們帶入修正函數，得到最后的擬合值以及預測值。第 21個批次的預測值 為 13.93， 實 際 值 13.92， 相 對 誤 差 0.07%。 將 灰色區間預測模型得到的擬合值進行匯總，并與非等間距 GM（1，1）模型進行比較， 結果如表 3 所示 。

從圖 2 可以看出，相比非等間距 GM(1，1)模型，灰色區間預測模型的大部分點更靠近真實值，擬合值的相對誤差較小。對最后一個批次進行預測的相對誤差僅為 0.07%，表明該預測模型能更好的模擬 TQI序列的發展變化。

表3 區段兩種預測模型的TQI時間序列擬合結果

3 結束語

本文通過建立 3 個 GM（1，1）模型，選取所有TQI時間序列點的擬合值和預測值的上下界函數，形成灰平面。并引入區間權重系數對預測結果進行修正。基于京九線的實測數據的模型進行了驗證，結果表明灰色區間模型相比于傳統的非等時間距 GM(1，1)模型，能夠較好描述 TQI序列的發展變化，可用于 TQI預測，對軌道不平順預測具有指導作用。

圖2 兩種預測模型和真實值對比圖

[1]徐 鵬 .鐵路線路軌道動態不平順變化特征研究 [D].北京 ：北京交通大學，2009.

[2] Kawaguchi A, Miwa M, Terada K.Actual data analysis of alignment irregularity growth and tis prediction model[J]. QR of RTRI, 2005, 46(7): 55-60.

[3]許玉德，李海峰，周 宇 . 鐵路軌道高低不平順的預測方法 [J].同濟大學學報 (自然科學版 )， 2003，31（3）：291-295.

[4]常 歡，劉仍奎，方 圓 .改進的軌道質量指數線性預測模型研究 [J].鐵路計算機應用，2010， 19（6）：1-3.

[5] 陳憲麥，王 瀾，楊鳳春，等 . 用于鐵路軌道不平順預測的綜合因子法 [J].中國鐵道科學，2006，27（6）：27-31.

[6]鄭雙忠，陳寶智 .基于灰平面的綜合事故率區間預測方法 [J].中國安全科學學報，2001， 11（2）：27-30.

[7]彭冬芝 .灰平面預測法在水電施工事故預測中的應用 [J].人民長江，2004，35（9）：56-58.

責任編輯 陳 蓉

Prediction for track irregularity based on gray interval prediction model

WANG Naizhen, WANG Futian
( State Key Lab of Rail Traf c Control & Safety, Beijing Jiaotong University, Beijing 100044, China )

Track irregularity status was a key factor affecting driving safety. Track Quality Index(TQI) could re ect the change of track geometry state. It was a time series changed with time and was with random characteristic. In order to study the change trend of track status better, the gray interval prediction model was developed to model over TQI which was changed with the range of the unit section of track, and compared with conventional non- equidistant GM(1,1) model. Effectiveness of the prediction model was validated by the actual data of Jingjiu Line K467.8～K468 unit section, The results showed that the gray zone model was with higher prediction accuracy.

track irregularity; gray interval model; track quality index(TQI); prediction

U213.2 ∶ TP39

：A

1005-8451（2015）01-0001-04

2014-07-24

王乃珍，在讀碩士研究生；王福田，副教授。