橢圓參數估計在光纖干涉?zhèn)鞲邢到y的應用

王凱 武帥 賀勝男 李丹丹 樊彥恩 陳信偉

摘 要：為解決小信號情況下相位生成載波光纖干涉?zhèn)鞲衅飨到y參數校準與估計問題，文章比較了基于誤差代數距離的最小二乘擬合方法、含橢圓約束的基于誤差代數距離最小二乘擬合方法、基于誤差幾何距離的最小二乘擬合方法三種橢圓參數擬合方法的性能，為系統參數校準能夠選擇相應的參數估計方法提供了依據。

關鍵詞：相位生成載波（Phase Generated Carrier，PGC）；光纖干涉型傳感器；橢圓參數估計；伴生調幅模型

1 背景

基于半導體激光器直接調制的PGC干涉信號分別乘以一倍頻載波和二倍頻載波信號并經過低通濾波器，可獲得存在正交偏差、幅值偏差以及零點偏移的調制信號的正余弦信號，該兩路檢波信號理論上滿足橢圓方程。通過橢圓曲線擬合方法可以估計出解調系統所有關鍵參數。

在某些實際場合，由于可用于傳感系統內校正的輸入被測量幅度小或者光纖傳感器本身的靈敏度低等原因，用于測系統參數的單頻相位調制信號幅值可能無法達到π弧度，這樣兩路檢波信號的李薩茹圖就無法張成一個完整的橢圓，而是橢圓的一部分，在系統噪聲影響下，幾種橢圓參數估計的精確度是否還可以滿足系統要求，是文章研究的主要內容。

2 PGC解調模型參數估計方法

伴生調幅干涉信號經過本地1倍頻載波，2倍頻載波相乘并經過低通濾波器后，得到兩路檢波信號[1]：

（1）

易知兩路檢波信號可構成橢圓方程，通過可以橢圓參數估計得到解調算法需要的三個關鍵參數，即：

（2）

基于殘差代數距離的最小二乘擬合方法（Algebraic Distance Least Square Method， ADLSM）數學模型描述為[2]：

min■[F（？茁，？錐i）]2=min||F（？茁，？錐）||22（3）

其中N為測量數據點數，||X||2表示向量X的2-范數，F（β， X）=（ F（ β， X1），…，F（ β， Xi），…，F（ β， XN））T。

基于代數距離的具有橢圓約束的最小二乘擬合稱為ERADLSM（Ellipse Restriction Algebraic Distance Least Square Method， ERADLSM），該方法保證擬合得到的方程是橢圓，而不是其他二次曲線，文章ERADLSM采用文獻[3]介紹的矩陣拆分方案得到滿足約束的橢圓代數方程系數向量。上述兩種方法都是基于誤差代數距離估計，屬于有偏估計。

將殘差定義為測量數據點到擬合橢圓最短的幾何距離，采用幾何距離最小二乘方法，理論上可以實現橢圓曲線的無偏估計。基于殘差幾何距離的最小二乘擬合方法（Geometric Distance Least Square Method， GDLSM），其數學模型為：

（4）

其中N為測量數據點數，橢圓曲線幾何參數為GP=（Xc，Yc，a，b，θ）T。

文章基于幾何距離的橢圓參數估計的方法采用文獻[157]報道的方法，該方法運用了高斯-牛頓（Guass-Newton）數值迭代計算。

3 相位調制信號幅值對參數估計精確度影響

文章通過仿真手段對該問題進行研究。仿真中設置系統噪聲：輸入電路噪聲為高斯白噪聲，單邊帶（0～fs/2）功率譜密度為-130dB ref：V2/Hz，其噪聲rms值為141.4μV；輸入相位噪聲為高斯白噪聲，單邊帶（0～fs/2）功率譜密度為-90dB ref： rad2/Hz，其噪聲rms值為14.1mrad；輸入光強RIN噪聲為高斯白噪聲，單邊帶（0～fs/2）功率譜密度為-140dB ref：1/Hz，其噪聲rms值為44.7×10-6。

光纖傳感解調系統仿真參數設置為干涉信號直流電壓相關項kI0=1.5V，相位載波調制深度C=2.6，干涉條紋襯比度ν=0.8，m=0.15，？漬m=3.4，載波頻率fc=40KHz，采樣率fs=10fc，參數估計所加相位調制信號頻率fsig=200Hz，干涉儀初相？漬0=0，干涉信號持續(xù)時間為3/fsig，采樣點數6000點。根據上述條件理論計算解調模型參數為：K1e/K2e=1.029；δ0=-0.192；δ1=0.123。檢波環(huán)節(jié)數字低通濾波器采用等波紋設計方法，通帶臨界頻率fpass=10KHz，阻帶臨界頻率fstop=30KHz，通帶紋波Apass=0.001 dB、阻帶衰減Astop=80dB，階數95階。各次仿真實驗測系統參數的調相信號幅度依次降低，分別為0.5π， 0.25π，0.2π，0.15π。GDLSM參數初值選用ADLSM的擬合結果，此外規(guī)定如果GDLSM橢圓幾何參數迭代次數超過21次視為不收斂，退出迭代計算，以當前值作為幾何參數輸出。每次實驗獨立重復仿真30組，參數估計統計結果以及解調結果見表1～3。擬合情況如圖1（a）～（d）。

表3 不同調制幅值D下，系統噪聲對橢圓參數估計獲取參數

進行解調THD均值比較

圖1（a） D=0.5π一組數據橢圓擬合

圖1（b） D=0.25π一組數據橢圓擬合

從仿真實驗中可見，由于輸入相位調制幅度D沒有超過π，兩路檢波信號構成的橢圓不完整，在噪聲影響下，不同橢圓擬合方法的準確度相差很大：當D為0.5π rad，GDLSM和ADLSM兩種方法參數估計準確度接近，尤其在估計參數K1e/K2e時，GDLSM和ADLSM估計準確度高出ERADLSM方法近一個數量級。當D為0.25π rad，GDLSM方法參數估計準確度最好，ADLSM次之，ERGDLSM方法得到的K1e/K2e參數估計相對誤差達到了13.61%。當D為0.2π rad，GDLSM方法參數估計準確度依然最好，ADLSM次之，ERGDLSM方法得到的K1e/K2e參數估計相對誤差達到了50.48%。然而當D進一步降低至0.15π rad時，幾種方法擬合準確性均很差，尤其是提供給GDLSM的初值不可靠，造成其迭代不收斂，擬合效果誤差很大，從而使得解調出錯。

4 結束語

文章研究表明，當系統參數估計測試條件沒有辦法保證外加相位調制信號幅值超過π時，幅值大于0.2π rad（即1/5橢圓曲線）情況下，應優(yōu)先選擇GDLSM方法進行參數估計，可以確保該方法得到的參數估計準確度滿足工程實驗的需要。

參考文獻

[1]Kai Wang，Min Zhang，Fajie Duan， et al. Measurement of the phase shift between intensity and frequency modulations within DFB-LD and its influences on PGC demodulation in fiber-optic sensor systeml[J].Appl.Opt，2013，52（29）：7194-7199.

[2]A.Fitzgibbon， M.Pilu， R.B.Fisher. Direct least square fitting of ellipses， IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence，1999，21：476-480.

[3]R.Halir， J.Flusser， NUMERICALLY STABLE DIRECT LEAST SQUARES FITTING OF ELLIPSES， Proc.6th International Conference in Central Europe，1998.

[4]S.J.Ahn， W.Rauh， M.Recknagel， Ellipse fitting and parameter assessment of circular object targets for robot vision， Intelligent Robots and Systems，IROS'99 Proceeding，1999，1：525-530.

作者簡介：王凱（1985-），男，安徽省蕪湖市人，現任中國電子科技集團公司第三十八研究所微波光子學研究中心工程師，博士學位，主要從事光纖傳感與解調技術、微波光子技術等方面研究。