基于隨機矩陣特征值比的頻譜感知改進算法

徐家品 楊 智

基于隨機矩陣特征值比的頻譜感知改進算法

徐家品 楊 智

（四川大學電子信息學院，四川成都610065）

針對認知無線電中現有頻譜感知方法的不足，利用大維隨機矩陣理論分析了隨機矩陣的漸近譜特性，研究了接收信號樣本協方差矩陣平均特征值的分布特性，提出兩種基于隨機矩陣特征值比的頻譜感知改進算法.改進算法不需要知道主用戶信號的先驗信息，也不需要知道背景噪聲的功率，得到的判決閾值也具有十分簡單的閉式表達式.仿真結果表明，在低樣本點、低協作用戶數、低信噪比和低虛警概率的條件下，改進算法也可以獲得很好的感知性能.

頻譜感知；隨機矩陣理論；樣本協方差矩陣；平均特征值；特征值比

引 言

來自美國聯邦通訊委員會（Federal Communication Commission，FCC）的報告顯示［1］，由于當前固定的頻譜分配方式，使得有限的頻譜資源與低的頻譜利用率之間存在嚴重矛盾.1999年8月，Joseph Mitola等人進一步發展了軟件無線電的概念，在文獻［2］中全面詳細地闡述了認知無線電的思想.認知無線電概念的提出，引起了研究者們的極大興趣，被普遍認為是改進頻譜分配方式，實現頻譜資源共享，提高頻譜利用率的最佳途徑.

認知無線電技術中，頻譜感知是必需前提和關鍵技術.在認知無線電系統中，認知用戶（次用戶）通過實時偵測來搜尋頻譜空洞，伺機動態接入，利用授權用戶（主用戶）暫時沒有使用的頻譜資源進行通信.同時，為了不干擾主用戶的通信，次用戶必須在主用戶信號出現的時候能夠迅速察覺，并將其所占用的頻譜交還給主用戶使用.這個快速準確地檢測主用戶信號并在此基礎上判斷頻譜空洞是否存在的過程稱之為頻譜感知.

目前，現有的譜感知算法主要有：匹配濾波檢測［3］、循環平穩特征檢測［4］、能量檢測［5－6］和多用戶協作檢測［7－8］.相比匹配濾波檢測和循環平穩特征檢測來說，能量檢測屬于非相干檢測，不需要知道主用戶信號的先驗信息，且實現較為簡單，因此受到更為廣泛的關注與更加深入的研究.但是，能量檢測也存在缺陷，它對噪聲功率的準確性有較高的要求.當噪聲不確定性較大時，能量檢測存在信噪比門限效應［9］.當信噪比低于門限值時，能量檢測的方法將徹底喪失檢測功能.主用戶信號在實際信道中傳輸通常會發生畸變［10］，產生多徑衰落、陰影衰落、隱藏終端等問題，單用戶感知設備的檢測性能難以達到要求.數據融合［11］、雙門限判決［12－13］等多用戶協作檢測的頻譜感知方法，能夠在一定程度上降低這些現象造成的影響，提高感知性能，但依據的還是能量檢測的基本思想，對噪聲功率信息的準確性仍然有較大的依賴.在實際的通信環境中，噪聲往往具有不確定性，能量檢測所需要的特定條件并不能夠得到很好的滿足.

近年來，隨著隨機矩陣理論的發展，基于隨機矩陣理論的新型頻譜感知方法被提出，并迅速成為研究熱點.根據大維隨機矩陣理論，矩陣元素在滿足一定條件時，其經驗譜分布函數將表現出某些特殊的收斂性質.利用這些性質，可以巧妙地規避噪聲不確定性在頻譜感知過程中帶來的影響.隨機矩陣理論的引入，將頻譜感知技術的研究推向了一個新的階段.Leonardo S.Cardoso等人在文獻［14］中提出了適用于大系統的頻譜感知算法（下文簡稱LSC算法）.但是，LSC算法的判決閾值是固定的，無法根據實際情況進行調整.文獻［15］中提出了最大最小特征值（Maximum－Minimum Eigenvalue，MME）算法.MME算法利用最大特征值的分布規律，優化了系統在小樣本情況下的感知性能.同時得到的判決閾值是虛警概率的函數，使得判決閾值可以根據實際情況進行動態調整.但是，MME算法依據的是Tracy－Wisdom定理，其分布函數不明確，只能通過查表的方式獲取某些特定的數值，如表1所示［16］，F－11（0.95）＝0.98，F－11（0.99）＝2.02.文獻［17］提出了能量與最小特征值（Energy with Minimum Eigenvalue，EME）算法，該算法所采用的是常見的正態分布，有確定的分布函數，但性能較MME算法有所降低.

表1 Tracy－Wisdom第一分布數值查詢表

為了克服以上算法的缺陷與不足，本文通過研究分析接收信號平均能量與樣本協方差矩陣平均特征值之間的關系及其分布規律，提出了兩種基于隨機矩陣特征值比的改進算法，并對改進算法的感知性能進行了理論分析與仿真驗證.

1 系統模型

1.1實際的頻譜感知場景

在實際通信環境中，認知無線電系統實現頻譜感知的關鍵是在噪聲、衰落、陰影等環境下檢測主用戶信號是否存在.如圖1所示［18］，在認知無線網絡中，主用戶（PU1，PU2，PU3，…）通過主基站（Primary Base Station，PBS）相互通信，次用戶（SU1，SU2，SU3，…）采用多用戶協作方式對主用戶信號進行檢測，并將檢測數據送至次基站（Secondary Base Station，SBS），進行相應的處理，從而判斷主用戶信號是否存在.

圖1 實際的頻譜感知場景

1.2頻譜感知的理論分析模型

單個次用戶對主用戶信號進行檢測的情況，可以用統計學中的二元假設模型表示為

式中：y（k）是在k時刻接收到的信號采樣值；n（k）是均值為0，方差為σ2的噪聲；h（k）是信道衰落因子；x（k）是E［｜x（k）｜2］≠0的待測主用戶信號；H0和H1分別表示只有噪聲和噪聲中混有信號的情況.

在這里，我們研究多用戶協作頻譜感知的情形，并假設滿足以下前提條件：

1）背景干擾噪聲服從高斯分布，且與主用戶信號相互獨立；

2）M個次用戶協作檢測同一主用戶信號的同一頻段；

3）次用戶通信的頻段與要分析的主用戶信號頻段不沖突；

4）檢測速度很快，檢測期間信道保持恒定.

將接收信號、噪聲及信道增益分別用向量形式表示如下：

于是，多用戶協作頻譜感知模型可以表示為

每個次用戶對接收到的信號采樣N次，yi（k）（i＝1，2，3，…，M；k＝1，2，3，…，N）表示第i個次用戶在k時刻采樣到的信號，則接收信號可以進一步表示成M×N維的矩陣：

2 算法的理論分析及閾值推導

2.1改進算法的理論基礎

2.1.1 M－P定律

定理（M－P律）［19］M×N維矩陣W中的元素滿足獨立同分布（實數或者復數），且均值為零，方差為σ2／N，則當M→∞，N→∞，且M／N→β時，WWT的經驗分布幾乎一定收斂到一個非隨機極限分布，即M－P律，它的概率密度函數為

依據大維隨機矩陣理論，當矩陣元素不再滿足上述條件（均值為零，方差為時，其最大特征值收斂到，其中

2.1.2 樣本協方差矩陣及其性質

對于接收信號，當樣本數N較大時，樣本協方差矩陣可以定義為

當只有噪聲存在時，接收信號的平均能量可以表示為

即

式（10）中：tr（RY（N））表示矩陣RY（N）的跡；λi表示矩陣RY（N）的第i個特征值；ˉλ表示矩陣RY（N）的平均特征值.

yi（k）是服從均值為零，方差為σ2的高斯噪聲分量，則服從自由度為1的卡方分布，其均值為1，方差為2，記為

由式（13）進一步得

對比式（11），將式（14）進一步表示為

于是得到ˉλ的分布規律，記為

2.2改進算法判決閾值的推導

改進算法一：

Q（·）定義為

因此，判決閾值可以表示為

判決規則表示為

改進算法二：

因此，判決閾值可以表示為

判決規則表示為

由式（19）和式（22）可以看出，與MME算法一樣，判決閾值γ1和γ2與噪聲功率無關.此外，不同于MME算法，改進算法采用的是常見的正態分布，而不是分布函數不明確的Tracy－Wisdom分布.

2.3改進算法判決閾值的有效性

圖2和圖3分別給出了協作用戶數為10，虛警概率為0.05時，在不同采樣點數的情況下，改進算法的判決閾值與只有噪聲情況下仿真比值之間的關系.在只有噪聲的情況下，根據判決規則式（20）和式（23）可以知道，仿真比值應當大于改進算法得到的判決閾值.觀察圖2與圖3，可以發現：一方面，仿真比值得到的曲線基本上位于算法閾值曲線的上方；另一方面，由于虛警概率的存在，也有極少的點位于算法判決閾值曲線的下方.同時隨著采樣點數的增加，判決閾值也在動態地發生變化，仿真結果驗證了改進算法判決閾值式（19）和式（22）的有效性.

圖2 改進算法一判決閾值的有效性

圖3 改進算法二判決閾值的有效性

3 算法性能仿真

3.1仿真環境及工具

接下來將從采樣點數、協作用戶數、信噪比及虛警概率四個方面與MME算法和EME算法進行仿真比較.實驗采用5 000次的Monte Carlo仿真，仿真平臺為Matlab 8.0.0.783（R2012b）.

3.2仿真結果及分析

圖4給出了虛警概率為0.01，協作用戶數為5，信噪比為－8dB時，檢測概率與采樣點數之間的關系.由圖可知：隨著采樣點數的增加，四種算法的檢測性能都隨之提高；在采樣點數相同時，改進算法二性能最優，當采樣點數為200時，改進算法二的檢測概率已達到0.92，而MME算法為0.80，EME算法為0.13；在小樣本情況下，改進算法一的檢測性能較MME算法略有降低，但隨著采樣點數的增加，改進算法一的性能將迅速超過MME算法.

圖4 檢測概率與采樣點數之間的關系

圖5 給出了虛警概率為0.05，采樣點數為400，信噪比為－10dB時，檢測概率與協作用戶數之間的關系.隨著協作用戶數的增加，四種算法的檢測性能都隨之提高.當協作用戶數相同時，改進算法二表現最佳，當協作用戶數為5時，檢測概率已達到0.93，改近算法二為0.89，MME算法為0.86，EME算法為0.19.與圖4相似，在協作用戶數較小的情況下，改進算法一的檢測性能較MME算法略有降低，但隨著協作用戶數的增加，改進算法一的性能將迅速超過MME算法，并與改進算法二接近.

圖5 檢測概率與協作用戶數之間的關系

圖6 為虛警概率為0.01，采樣點數為500，協作用戶數為10時，檢測概率與信噪比之間的關系.由圖可知，信噪比的改善對算法檢測性能的提升影響很大，隨著信噪比的增加，四種算法的檢測性能都迅速提高，改進算法二提升速度最快，當信噪比為－13dB時，檢測概率已達0.95.隨著信噪比的繼續增加，改進算法一的檢測概率將逼近改進算法二.

圖6 檢測概率與信噪比之間的關系

由于Tracy－Wisdom分布的分布函數沒有明確的閉式表達式，只能通過查表的方式獲得一些離散值.所以，圖7只給出了EME算法、改進算法一和改進算法二在采樣點數為300，協作用戶數為5，信噪比為－10dB時，檢測概率與虛警概率之間的關系.隨著虛警概率的增加，三種算法的檢測概率都隨之增加.在虛警概率相同時，改進算法二的檢測概率最高，當虛警概率為0.01時，已達到0.75.隨著虛警概率的增加，改進算法一的檢測概率快速增長，而EME算法的檢測概率增長較為平緩.

圖7 檢測概率與虛警概率之間的關系

仿真結果表明，在不同采樣點數、協作用戶數、信噪比及虛警概率的條件下，兩種改進算法的檢測性能較MME算法和EME算法均有所提高.同時，通過比較以上的仿真結果，我們還可以進一步得出結論，改進算法二的檢測性能要優于改進算法一.

4 結 論

本文提出了兩種基于樣本協方差矩陣特征值比值的改進算法，與MME算法不同，改進算法不依賴于分布函數不明確的Tracy－Wisdom分布，推導出的判決閾值閉式表達式更加簡單.同時仿真結果表明，在相同條件下，提出的兩種改進算法的檢測性能要優于MME算法和EME算法.改進算法在低樣本點、低協作用戶數、低信噪比和低虛警概率下可以表現出更好的檢測性能.

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Improved spectrum sensing algorithms based on eigenvalue ratio of random matrix

XU Jiapin YANG Zhi
（College of Electronics and Information Engineering Sichuan University，Chengdu Sichuan 610065，China）

Aiming at the shortcomings of the existing spectrum sensing methods in cognitive radio，two improved algorithms based on the eigenvalue ratio of random matrix are proposed through using the property of asymptotic spectrum of random matrix by means of random matrix theory and researching distribution of average eigenvalue of the covariance matrix of the

signals.Improved algorithms not only need neither the prior knowledge of primary signal，nor the power of background noise，but also have quite simple closed form expressions.Simulation results show that the improved algorithms can get a good performance even under the situation of few samples，few collaborative users，low signal to noise ratio and low false alarm probability.

spectrum sensing；random matrix theory；sample covariance matrix；average eigenvalue；eigenvalue ratio

TN92

A

1005－0388（2015）02－0282－07

徐家品（1957－），男，四川人，教授，主要研究方向為通信與信息系統.

楊 智（1987－），男，湖南人，在讀碩士研究生，研究方向為通信與信息系統.

徐家品，楊 智.基于隨機矩陣特征值比的頻譜感知改進算法［J］.電波科學學報，2015，30（2）：282－288.

10.13443／j.cjors.2014042901 XU Jiapin，YANG Zhi.Improved spectrum sensing algorithms based on eigenvalue ratio of random matrix［J］.Chinese Journal of Radio Science，2015，30（2）：282－288.（in Chinese）.doi：10.13443／j.cjors.2014042901

2014－04－29

聯系人：楊智E－mail：youngtze＿2014＠163.com