增量式數(shù)字PID參數(shù)整定的頻域分析*

任震宇，段志榮，孫亞萍，李靜（杭州師范大學(xué)錢江學(xué)院，浙江杭州310036）

增量式數(shù)字PID參數(shù)整定的頻域分析*

任震宇，段志榮，孫亞萍，李靜
（杭州師范大學(xué)錢江學(xué)院，浙江杭州310036）

增量式數(shù)字PID是自動控制系統(tǒng)優(yōu)化過程中應(yīng)用廣泛的一種控制方法。分析了增量式PID參數(shù)調(diào)節(jié)對控制器性能以及系統(tǒng)環(huán)路性能的影響。MATLAB頻域仿真結(jié)果表明，Kp、Kd、Ki值的改變直接造成PID控制器零點的位置發(fā)生移動，從而使得控制系統(tǒng)動態(tài)性能得到改善。

增量式數(shù)字PID；參數(shù)調(diào)節(jié)；頻域分析

0 引言

計算機控制系統(tǒng)的核心是數(shù)字調(diào)節(jié)器，工程中常用的數(shù)字調(diào)節(jié)器控制方法有以下幾種：（1）直接數(shù)字控制：根據(jù)采樣理論和離散化后的數(shù)字模型設(shè)計數(shù)字控制器，該方法的前提是得到系統(tǒng)的數(shù)字模型；（2）比例-積分-微分（propotional-integral-derivative，PID）控制：調(diào)節(jié)器的輸出是其輸入的比例、積分和微分的函數(shù)，特點是不需要被控對象的數(shù)字模型，結(jié)構(gòu)簡單、穩(wěn)定可靠，故工程應(yīng)用廣泛；（3）最優(yōu)控制：基于性能指標(biāo)J最小的控制策略（燃料最省、路徑最短、時間最短），依賴于對象的數(shù)字模型；（4）智能控制：包括神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、模糊控制等，基于仿人類思維的模糊數(shù)據(jù)推理方法，不需要數(shù)字模型，但控制算法復(fù)雜。

1 增量式PID算法的數(shù)字實現(xiàn)

數(shù)字PID控制系統(tǒng)是時間的離散系統(tǒng)，Proportional（比例）、Integral（積分）、Differential（微分）可根據(jù)系統(tǒng)的要求，對輸入的偏差按比例、積分和微分的函數(shù)關(guān)系運算得到控制量，輸出到執(zhí)行器完成相應(yīng)的調(diào)節(jié)任務(wù)[1]。在PID調(diào)節(jié)中，由于PID算式可以靈活地改變其結(jié)構(gòu)，因此選擇不同的P、I、D會得到不同的控制效果，特別是當(dāng)算法中某些參數(shù)選擇不當(dāng)時，會引起控制系統(tǒng)的超調(diào)或振蕩，這對某些生產(chǎn)過程是十分有害的[2]。為了避免這種有害現(xiàn)象的發(fā)生，分析和研究PID算法，確定合理的PID參數(shù)是必要的，同時對PID控制技術(shù)的廣泛應(yīng)用具有重要的意義。

PID算法的模擬表達(dá)式如式（1）所示：

對積分項和微分項進(jìn)行離散化：

將式（2）和式（3）代入模擬表達(dá)式中得到離散PID表達(dá)式：

上式的輸出與系統(tǒng)位置一一對應(yīng)，也稱為位置型PID算式。用位置型PID算式計算C（K），需要用到各采樣時刻的偏差值，計算復(fù)雜，且需要占用內(nèi)存。

對于系統(tǒng)（k-1）時刻的輸出：

將式（4）、式（5）相減后得到如下表達(dá)式：

式（6）表示第k次輸出的信號增量，稱為增量型PID控制算式。

位置型算式不僅需要對E（j）進(jìn)行累加，而且計算機的任何故障都將引起C（k）的大幅度變化，對生產(chǎn)不利。增量型較位置型的優(yōu)點如下：（1）由于輸出的是增量，所以誤動作小；（2）易于實現(xiàn)手動/自動的無擾切換（位置型算法中，當(dāng)由手動切換到自動時，首先需要保證控制器的輸出等于實際的控制量；增量型算式只給出偏差，而與原來位置無關(guān)）；（3）不產(chǎn)生積分失控，容易獲得良好的調(diào)節(jié)品質(zhì)。

2 增量型PID參數(shù)調(diào)節(jié)對控制器的性能影響

對于增量型PID數(shù)字控制策略，為了便于分析其對系統(tǒng)性能的影響，將差分方程進(jìn)行Z變換得到脈沖函數(shù)，如式7所示：

根據(jù)BackEuler公式：

得到增量型PID的S域傳遞函數(shù)模型：

從校正系統(tǒng)的傳遞函數(shù)中可以簡單地看出Kp、KI、KD、T均與控制器的零點相關(guān)。

2.1 Kp變化對幅值相位的影響分析

根據(jù)增量式PID的傳遞函數(shù)編寫MATLAB命令如下：

kp=0.002*32*1023/3.3*2.49/10.36/3300；

ki=0.002*32*1023/3.3*2.49/10.36/3300；

kd=0.002*32*1023/3.3*2.49/10.36/3300；

fs=（150e3）；

a=tf（[kd/fs kp ki*fs]，[10]）；

a1=tf（[kd/fs kp*100 ki*fs]，[1 0]）；

a2=tf（[kd/fs kp/100 ki*fs]，[1 0]）；

bode（a，′-′，a1，′--′，a2，′.-′）；

a中Kp采用標(biāo)準(zhǔn)值，a1中Kp值增大為a中Kp值的100倍，a2中Kp值減小為a中Kp值的百分之一。MATLAB仿真畫出PID校正裝置相應(yīng)的Bode圖，如圖1所示。

圖1 Kp變化時PID控制器的Bode圖

從圖1可以明顯看出，隨著Kp增大，PID控制器兩個零點逐漸分離，且起始增益無明顯變化；反之，Kp減小，兩個零點向中間靠攏。

2.2 KI變化對幅值相位的影響分析

MATLAB仿真時，a采用KI標(biāo)準(zhǔn)值，a1中KI值增大為a中KI值的100倍，a2中KI值減小為a中KI值的百分之一，相應(yīng)的Bode圖如圖2所示。

圖2 KI變化時PID控制器的Bode圖

從圖2可以明顯看出隨著KI增大（a2→a→a1），零極點右移，左邊零點右移，最終兩個零點同時右移，起始增益明顯增加；反之，KI減小（a1→a→a2），零極點左移，左邊零點左移，起始增益明顯減小。

2.3 KD變化對幅值相位的影響分析

MATLAB仿真時，a采用KD標(biāo)準(zhǔn)值，a1中KD值增大為a中KD值的100倍，a2中KD值減小為a中KD值的百分之一，相應(yīng)的Bode圖如圖3所示。

圖3 KD變化時PID控制器的Bode圖

從圖3可以明顯看出，隨著KD增大（a2→a→a1），右邊零點左移，最終兩個零點同時左移，起始增益無明顯變化；反之，KD減小（a1→a→a2），右邊零點右移。

3 PID參數(shù)調(diào)節(jié)對系統(tǒng)穩(wěn)定性能的影響分析

為了進(jìn)一步分析PID參數(shù)調(diào)節(jié)對系統(tǒng)性能的影響，本文以Buck變換器在電阻性負(fù)載下的傳遞函數(shù)模型為例進(jìn)行說明。

3.1 Buck變換器的小信號模型

Buck變換器閉環(huán)控制系統(tǒng)如圖4所示。

圖4 Buck變換器閉環(huán)控制系統(tǒng)原理圖

Buck變換器工作在連續(xù)電流模式（CCM）下，其小信號傳遞函數(shù)如式（10）所示：

式中，Vg為系統(tǒng)的輸入電壓，為電容C的等效串聯(lián)電阻RESR左半平面零點頻率為二階系統(tǒng)的左半平面雙極點頻率，為二階系統(tǒng)的品質(zhì)因數(shù)，RDCR為電感的直流電阻。傳遞函數(shù)的具體推導(dǎo)過程可參考文獻(xiàn)[3]。

3.2 Kp變化對系統(tǒng)性能的影響分析

帶PID控制器的Buck變換器系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：

MATLAB仿真時，Buck變換器取如下參數(shù)：Vg=50/4 V，L=0.24μH，RDCR=0.7Ω，C=330μF，RESR=0.1 mΩ，R=10Ω；G采用Kp標(biāo)準(zhǔn)值，G1中Kp值增大為G中Kp值的10倍，G2中Kp值減小為G中Kp值的十分之一，仿真得到系統(tǒng)的Bode圖如圖5所示。

圖5 Kp變化時Buck開環(huán)系統(tǒng)的Bode圖

從圖中可以明顯看出，隨著Kp減小（G1→G→G2），系統(tǒng)諧振峰值減小，有利于系統(tǒng)的平穩(wěn)性，但系統(tǒng)相位裕量會減小甚至出現(xiàn)負(fù)值，從而導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。

3.3 KI變化對系統(tǒng)穩(wěn)定性能的影響分析

G采用KI標(biāo)準(zhǔn)值，G1中KI值增大為G中KI值的10倍，G2中KI值減小為G中KI值的十分之一，仿真得到系統(tǒng)的Bode圖如圖6所示。

圖6 KI變化時Buck開環(huán)系統(tǒng)的Bode圖

從圖中可以明顯看出隨著KI增大（G2→G→G1），系統(tǒng)相位裕量明顯減小，并出現(xiàn)負(fù)值，導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定，故在PID設(shè)計中KI系數(shù)雖然有利于消除靜差，但仍不能取值太大。

3.4 KD變化對系統(tǒng)穩(wěn)定性能的影響分析

G采用KD標(biāo)準(zhǔn)值，G1中KD值增大為G中KD值的10倍，G2中KD值減小為G中KD值的十分之一，仿真得到系統(tǒng)的Bode圖如圖7所示。

圖7 KD變化時Buck開環(huán)系統(tǒng)的Bode圖

從圖中可以明顯看出，隨著KD減小（G1→G→G2），系統(tǒng)抗噪聲能力增強，但相位裕量會出現(xiàn)負(fù)值，從而導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。

4 結(jié)論

通過以上對數(shù)字增量式PID控制算法的分析與研究，可得出PID參數(shù)調(diào)節(jié)對控制器本身性能的影響如下：

（1）Kp對增益影響不大，且Kp的增大導(dǎo)致兩個零點頻率分離。

（2）KI對低端增益有影響操控，因為KI增大，零極點頻率增大。同時，KI增大，左邊的零點右移，當(dāng)左邊的零點達(dá)到右邊零點頻率時，兩個零點同時右移。

（3）KD對增益影響不大，且KD的增大導(dǎo)致右邊零點左移，當(dāng)右邊的零點達(dá)到左邊零點頻率時，兩個零點同時左移。

在對系統(tǒng)進(jìn)行增量式數(shù)字PID校正過程中，系統(tǒng)的穩(wěn)定性、快速性、平穩(wěn)性以及準(zhǔn)確性是相互矛盾、不能同時兼得的，故應(yīng)根據(jù)實際情況合理選擇Kp、KI、KD參數(shù)優(yōu)化系統(tǒng)性能。尤其當(dāng)Kp、KD變小或KI值增大時，系統(tǒng)相位裕量會出現(xiàn)負(fù)值，從而導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定，在實際設(shè)計中應(yīng)注意避免。

[1]胡壽松．自動控制原理[M]．北京：科學(xué)出版社，2013．

[2]劉光亞，彭維娜．PID參數(shù)性能分析及改進(jìn)[J]．湖北工業(yè)大學(xué)學(xué)報，2013，28（1）：60-63．

[3]ERICKSON R W，MAKSIMOVIC D．Fundamentals of Power Electronics[M]．USA：Kluwer Academic Publishers，2001.

Frequency domain analysis of incremental digital PID parameter tuning

Ren Zhenyu，Duan Zhirong，Sun Yaping，Li Jing
（Qianjiang College，Hangzhou Normal University，Hangzhou 310036，China）

Incremental digital propotional-integral-derivative（PID）controller is commonly used in optimization of automatic control system.The influence of incremental PID parameter tuning for controller and closed-loop system is analysed.Based on the characteristic frequency of the PID controller and the corresponding simulation results，the zeros of system will moved by the change of PID parameters，and the system will have better dynamic character.

incremental digital PID；parameter tuning；frequency domain analysis

TP273

A

1674-7720（2015）03-0092-03

2014-09-03）

任震宇（1992-），男，本科在讀，主要研究方向：電子信息工程。

浙江省科技廳重大科技專項重點工業(yè)項目（2012C01012-4）；浙江省大學(xué)生科技創(chuàng)新項目（2013R421049）

段志榮（1992-），女，本科在讀，主要研究方向：電子信息工程。

孫亞萍（1980-），通信作者，女，碩士研究生，講師，主要研究方向：電力電子研究，E-mail：ypsun2009@zju.edu.cn。