淺談高數中的極限思想

摘要：極限是學習高等數學的基礎，本文主要介紹了極限概念和教學中如何把握極限思想的傳遞，從而培養學生的數學思維。

文獻標識碼：A

文章編號：1671-864X（2015）03-0101-01

極限思想是近代數學的一種重要思想，高等數學就是以極限概念為基礎、極限理論為主要工具來研究函數的一門學科。極限思想在我國古代就出現了，例如春秋戰國時期，這個時期思想特別活躍，墨子提出過不少有深刻思想的命題，其中就有“莫不容尺，無窮也。”就是說，用尺永遠量不盡的量叫做“無窮”。莊子也提出了：“一尺之錘，日取其半，萬世不竭”。

古希臘也是學術思想特別活躍的時期。詭辯派代表人物芝諾，就提出一個悖論“阿基里斯永遠追不上烏龜”。阿基里斯是古希臘奧運會長跑冠軍，怎么會追不上烏龜呢？豈非荒謬！阿基里斯這樣解釋的，假設最開始，烏龜在阿基里斯前100米的位置，阿基里斯每分鐘走10米，烏龜走1米，這種情況下其就永遠不會追上烏龜，最主要的原因是當其走完了100米的時候，烏龜已經向前走了10米，而其向前再走10米，烏龜也向前走1米，當其向前走1米的時候，烏龜則向前走0.1米，其向前走0.1米，烏龜則向前走0.01米，如此循環，阿基里斯永遠也不會追上烏龜。通過這一例子可以看出，阿基里斯和無軌之間的距離越來越小，其追上烏龜一次的終點所消耗的時間則越來越短，但是無論如何不能夠完全追上烏龜，與其之間總是存在著一定的距離，保持著一種無限接近的狀態，這就是極限思想的射影。

課堂中，如何給學生傳遞極限的思想，這是一個難點，首先，對于所有微積分理論的初學者來講，極限是既簡單又存在一定困惑的問題，必須要對其進行深入分析。所謂極限，就是用來描述變量在一定變化過程中的終極狀態的量，在這個過程中，自變量在不斷變化，變量則會無限的接近一個確定的數值，而這個數值則被稱為此變化過程中的極限。

書中給出這樣的理論概念：設函數f(x)在點x 0的某一去心領域內有定義.如果存在常數A，對于任意給定的正數 (不論它多么小),總存在著正數,使得當x滿足不等式0< x? x 0< δ時，對應的函數值f(x)都滿足不等式f(x)? A< ε ,那么常數A就叫函數f(x)當x→ x 0時的極限,記作 xli

→m xf (x)= A 或f(x)→ A（當x→ x 0）。

0

設函數在點課堂中應該主要講解三點：1.在x 0處不一定要有定義，只要當x→ x 0時，有相應的函數值存在。2.存在一確定常量A 是f(x)以A為極限的條件。極限就是在函數變化過程中始終不能夠超越而只能接近的度。3.如果對任意給定的正數總存在一個正數，使得當x在滿足不等式0< x? x 0< δ時，f(x)? A< ε恒成立。其中ε刻畫f(x)與常數A接近程度，δ刻畫x與x 0的接近程度，ε是任意給定的，δ是隨ε而確定的。當x越來越靠近x 0時，ε越來越小，可以小到任意，或者說ε沒有盡頭，這樣才能體現f(x)無限接近于A的含義。另外x→ x 0漸變過程及f(x)→ A的漸變過程都是無限永不停止的過程，所以每一個x都還能想x 0靠近，但永遠取不到x 0。同理f(x)若趨近與A，則只能越來越近，永遠不可能到達A。

總之，極限思想是學習高等數學的基礎，在實際教學的過程中，老師能夠通過實例更多的去挖掘極限思想，并滲透在教學過程中，讓學生能夠更好的去感受這一數學思想，為其今后數學知識體系的構建奠定堅實的基礎，并更好的培養學生的數學思維能力。