基于波動傳遞函數的電網擾動傳播頻率特性分析

燕躍豪 鮑 薇 李曉方 林 慧

(國網河南省電力公司鄭州供電公司 鄭州 450006)

0 引言

我國電網已成為超大機組、特高壓及交直流互聯電網，這在帶來規模化效益及互為備用等優勢的同時，也使得系統更易因局部擾動蔓延而造成嚴重后果［1］。近年來，世界各地頻繁發生的大停電事故也證實了這一點。事實上，電網擾動難以避免，如果能明晰擾動在系統中的傳播規律，并及時采取針對性的控制措施，就能有效降低擾動影響，保障大電網安全［2，3］。因此，研究揭示擾動傳播規律具有重要的理論和現實意義。

隨著互聯電網規模的擴大，擾動在電網中呈現出以近似機械波形式傳播的特點，世界多地都觀測到了這種現象［4，5］。J.S.Thorp［6］教授將其定義為機電波(Electromechanical Wave)，并嘗試引入波動力學理論，從空間和時間角度刻畫大電網中的擾動傳播規律，這為研究電網擾動傳播機理提供了新的思路［7，8］。

采用機電波理論，研究擾動在一維鏈式電網中的傳播規律是研究實際電網擾動傳播機理的基礎。目前，研究主要從連續體模型［9-11］和離散慣量模型［12，13］兩個角度展開。連續體模型假設發電機間距無窮小，將電網處理為發電機慣量及線路電抗連續分布的擾動傳播介質。然而實際電網中發電機間距難以忽略;而且僅在發電機處產生擾動反射的現象也與連續體模型的特征不符［14］。與連續體模型相比，離散慣量模型更加符合電網中發電機空間離散分布的特性，但離散慣量系統的研究方法一直是相關物理問題的難點［15，16］。

本文重點研究不同頻率的擾動在一維鏈式電網中的傳播特性。借鑒連續體模型中偏微分形式機電波方程的推導思路，在建立基于離散慣量模型的機電波傳播方程的基礎上，提出波動傳遞函數的概念，定量刻畫機電波波幅、相位在離散慣量模型中的變化規律;進一步通過分析不同頻率擾動信號的傳播特性，提出了擾動傳播轉折頻率的概念，定量分析了擾動傳播過程中的頻散效應和局部振蕩現象與轉折頻率的關系。

1 電網離散慣量模型的擾動傳播方程及波動傳遞函數

1.1 電網離散慣量模型的擾動傳播方程

以圖1所示一維鏈式電網為例，研究不同頻率擾動的傳播規律。假定所研究的電網中，忽略發電機的內阻抗，即認為發電機內電動勢的相角與所連母線電壓的相角一致;同時也忽略線路電阻和發電機阻尼，即認為電網是無損系統。

圖1 鏈式電網的離散慣量模型Fig.1 The discrete inertia model of chained power systems

將鏈式電網在穩態運行點附近進行線性化處理，發電機采用忽略阻尼的二階經典模型，負荷采用忽略動態過程的恒功率模型，則得到僅由發電機及相連線路構成的電網機電暫態增量系統。圖1中發電機Gj的增量轉子運動方程為

式中:Δδj為發電機Gj的轉子角在穩態值附近的增量;Jj為其轉動慣量;ΔPj，j－1、ΔPj，j+1分別為由發電機Gj傳輸至發電機Gj－1和Gj+1的電磁功率增量。假設整個系統各線路單位長度電抗z 均相等，以發電機G0位置為x 軸坐標原點，發電機Gj和Gj－1、Gj+1線路長度分別為Δxj，j－1和Δxj，j+1。由有功功率傳輸方程可得

互聯大電網中電壓等級較高，發電機間電氣距離較小。因此有sin(Δδj－Δδj－1)≈Δδj－Δδj－1及sin(Δδj－Δδj+1)≈Δδj－ Δδj+1成立，將式(2)帶入式(1)中，可得

式中K 為發電機間傳遞的功率。

為了便于闡明波動傳播問題的本質，假設該鏈式電網是完全均勻的，即各發電機的轉動慣量J 相同，各段線路電壓等級V 相等，線路參數及長度Δx 相等。則式(3)可化簡為

式中:j=0，1，…，n;c0為擾動在對應的連續體均勻鏈式電網中的傳播速度，由以上推導可知

1.2 電網離散慣量模型的波動傳遞函數

當發電機G0上施加正弦型有功功率擾動ΔP=P0eiωt時，設其在發電機G0上的轉子角增量為Δδ0=A0eiωt(其中A0為發電機G0轉子角增量的幅值，ω 為其變化頻率)，鏈式系統中其他發電機將產生同頻率變化的轉子角增量，但其幅值及相位各異。設發電機G0上的擾動在發電機Gj上產生的轉子角增量為Δδj=Ajeiωt，其中Aj表示發電機Gj轉子角增量的幅值。將Δδj－1、Δδj、Δδj+1以及式(6)代入式(5)，可得

整理式(7)可得

其中

為研究鏈式系統擾動傳播過程中各發電機轉子角增量的幅值和相位的變化規律，本文引入波動傳遞函數γ。對發電機Gj來說，其相關波動傳遞函數可定義為

式中ρ、φ分別為波動傳遞函數γ 的幅值譜和相位譜。

將式(11)代入式(8)，可知ρ 和φ 并非常數，其值主要受發電機G0產生的轉子角增量波Δδ0的頻率ω影響。當擾動源頻率ω 小于ωc時(即ω/ωc＜1)，求解式(8)可得

式中取0≤arcsin(ω/ωc)≤π/2。而當擾動源頻率ω 大于等于ωc時(即ω/ωc≥1)，可得

式(11)～式(13)給出了一維均勻電網離散慣量模型中波動傳遞函數的解。其中，發電機轉子角增量的波動傳遞函數γ 的幅值譜ρ 和相位譜φ 如圖2所示。

由圖2可知，在一維鏈式電網中當擾動信號頻率ω 小于ωc時，幅值不發生衰減。而當ω ＞ωc時，擾動沿傳播方向的幅值會迅速衰減，且相鄰節點上的相位角相差達到180°。當ω ＞3ωc時，擾動波的幅值幾乎衰減為零。

圖2 離散慣量模型波動傳遞函數的幅值譜和相位譜Fig.2 The amplitude and phase spectrum of wave transfer function for discrete inertia model

在此，定義ωc=2c0/Δx 為電網離散慣量模型中擾動傳播的轉折頻率。由以上分析可知，轉折頻率ωc是電網中擾動傳播過程中幅值變化的重要指標，且其完全由系統結構及參數決定。只有低于轉折頻率的擾動信號才能在電網中繼續傳播，大于轉折頻率的擾動信號在傳播過程中將迅速衰減。均勻離散慣量系統中的轉折頻率為固定值，仿真結果證明對于更具普遍性的網格狀電網其同樣存在擾動傳播的轉折頻率，然而對應的轉折頻率并不是固定值而是空間位置的函數，非均勻系統可以視為大量局部均勻系統的組合體，即其轉折頻率可以寫為ωc(x，y)=2c0(x，y)/Δx(x，y)。

2 電網離散慣量模型中的頻散效應

頻散效應是某些波動介質的固有特性，它使得不同頻率的擾動信號在介質中以不同速度傳播。因此，當擾動信號包含多個頻率分量時，擾動波形將在傳播過程中產生畸變。離散效應的研究有助于揭示擾動傳播過程中的波形變化規律。

以下將分析一維鏈式電網離散慣量模型中的頻散關系，即擾動信號頻率與傳播速度的函數關系。設沿x 軸正向傳播的轉子角增量波為

當轉子角增量入射波頻率ω 小于其轉折頻率ωc時，由式(11)和式(12)得

對比式(14)與式(15)，可得

式中k 為擾動入射波的波數。式(16)可寫成

依據波動學原理，電網離散慣量模型中轉子角增量入射波傳播的相速度cp和群速度cg可定義為

將式(17)帶入式(18)得

將式(16)帶入式(19)，可得用轉子角增量入射波頻率ω 表示的電網離散慣量模型頻散關系為

相速度cp和群速度cg與入射波頻率ω 的關系如圖3所示。

圖3 離散慣量模型中的相、群速度與擾動波頻率的關系Fig.3 The correlation between phase speed，group speed and frequency of incident wave in discrete inertia model

由圖3可知，在一維鏈式電網中當擾動信號頻率小于0.2 倍轉折頻率時，離散慣量模型中的相速度與群速度基本一致，即該頻段內擾動信號的傳播速度相等。擾動傳播過程中波形幾乎不變，頻散效應并不明顯。隨著擾動信號頻率的增加，相速度與群速度的偏差逐漸增大。當ω=ωc時，群速度cg=0。即當入射波頻率ω 達到轉折頻率ωc時，擾動能量幾乎不能在電網離散慣量模型中傳播。

對于網格型均勻電網，上述結論依然成立;對于網格型非均勻電網，由1.2 節結論可知，其轉折頻率是空間位置的函數，對應的頻散分界點0.2ωc也是空間位置的函數。由于不同位置的頻散分界點不同，頻散現象在非均勻電網中難以直接觀察。

3 電網離散慣量模型中的局部振蕩

在電網均勻連續體介質模型中，無論擾動信號頻率的高低，都將在電網各處產生同頻率、同振幅的響應。然而，對于電網離散慣量模型來說，當擾動信號頻率ω大于轉折頻率ωc時，按照式(11)和式(13)可推導得

由式(21)可知，電網離散慣量模型中各發電機轉子角增量的幅值并非恒定，而是關于擾動信號頻率ω和發電機位置j 的函數。圖4為發電機轉子角增量幅值比Aj/A0分別隨擾動信號頻率ω 和發電機位置j 的變化曲線。

圖4 發電機轉子角增量幅值比隨擾動信號頻率及發電機位置的變化曲線Fig.4 The amplitude of rotor angle increments with respect to disturbance frequencies and generator locations

由圖4可知，在一維鏈式電網中當擾動信號頻率大于轉折頻率時，各發電機轉子角增量幅值均隨擾動信號頻率增加而衰減，且距離擾動源越遠的發電機的衰減程度越大。在此，定義這種擾動信號幅值在傳播過程中隨擾動信號頻率和發電機位置增加而迅速衰減的現象為離散慣量模型中的局部振蕩。

局部振蕩是離散慣量模型的特有現象，可以認為發電機具有對高頻擾動信號的“濾波作用”。當發生局部振蕩時，高頻擾動信號將不能在電網中大范圍傳播。距離擾動源較遠的發電機只能觀測到較低頻率的振蕩成分，且振幅遠小于擾動源附近發電機的振幅。

通過以上分析可以得出，擾動在一維鏈式電網中傳播的幅值變化規律不僅受與擾動點的距離影響，而且還與擾動頻率強相關。根據擾動源的不同頻率，擾動傳播過程中將發生不同的現象，擾動傳播過程中幅值變化規律也截然不同。轉折頻率ωc和0.2ωc是擾動傳播現象的分界點，可將電網離散慣量模型中的擾動按其頻率ω 與轉折頻率ωc的比例關系分為三類(見表1)。

表1 擾動入射波頻率與頻散和局部振蕩的關系Tab.1 The correlation between frequency dispersion，local oscillation and the frequency of incident waves

4 算例分析

在PSD-BPA 仿真軟件中建立如圖1所示的50 機鏈式電網，參數取實際電網中常見設備的典型參數。設發電機轉動慣量均為20 264 kg˙m2，線路電壓220 kV，單位長度電抗0.4 Ω/km，發電機間距100 km。穩態時有10 MW 有功從G0輸送到G49。經計算，該鏈式系統的轉折頻率ωc為27.57 Hz。在發電機G0上施加不同頻率的不平衡有功擾動，以驗證電網離散慣量模型中的頻散效應和局部振蕩效應。

4.1 頻散效應

根據上文分析可知，5.514 Hz(0.2ωc)是本系統頻散效應的門檻值。為驗證頻散現象與轉折頻率的關系，引入兩組頻率組合型的有功功率擾動信號P1和P2，分別表示為

P1中的兩個擾動頻率分別為1.4 Hz 和5.5 Hz，均小于0.2ωc;P2中的兩個擾動頻率分別為10 Hz 和25 Hz，均大于0.2ωc。仿真結果如圖5所示。

圖5 擾動傳播過程中的頻散效應Fig.5 The frequency dispersion of disturbance propagations

圖5中沿縱坐標從上至下分別為發電機G0～G49的轉子角變化曲線。由于P1中的擾動頻率均小于0.2ωc，盡管圖5a 中各發電機轉子角曲線變化周期較長，變化程度較大，擾動傳播過程中并未出現頻散效應。而P2中的擾動頻率均大于0.2ωc，圖5b 中在2 s時刻當初始擾動傳播至G12發電機時，已經開始出現頻散效應，波形在繼續傳播過程中發生了明顯的畸變(見圖5b 中的橢圓標記區域)。

4.2 局部振蕩

轉折頻率ωc是電網離散慣量模型中局部振蕩的門檻值。圖6為當擾動頻率與轉折頻率的比值分別為0.8、1.0 和1.2時，50 機鏈式電網的前5 臺發電機的轉子角增量曲線。

由圖6a 和圖6b 可得，當擾動信號頻率小于等于轉折頻率時，擾動傳播過程中各發電機轉子角增量幾乎沒有衰減，基本呈等幅振蕩。由圖6c 可得當擾動信號頻率大于轉折頻率時，沿擾動傳播方向上各發電機的轉子角增量幅值迅速衰減至穩態值，與本文所提出的局部振蕩現象一致。

圖6 擾動入射波的局部振蕩現象Fig.6 The local oscillations of incident wave of disturbances

5 結論

本文針對具有簡化發電機及線路模型的一維鏈式電網，從擾動頻率和電網參數角度入手研究了離散慣量系統中擾動傳播問題，提出了鏈式電網中用于判定擾動傳播過程中幅值變化規律的轉折頻率ωc的概念。按照轉折頻率可將電網擾動信號劃分為ω≤0.2ωc，0.2ωc＜ω ＜ωc和ω≥ωc三個頻段。指出當擾動信號頻率屬于不同頻段時，在擾動傳播過程中將發生不同現象。

擾動信號的高頻分量(ω≥ωc)在傳播過程中會迅速衰減，因而其影響范圍有限，說明發電機具有濾除高頻擾動信號的作用。中頻擾動信號(0.2ωc＜ω ＜ωc)能在電網中傳播，但會發生頻散效應，導致傳播過程中波形的畸變。低頻擾動信號(ω≤0.2ωc)則能持續在電網中傳播且保持波形不變。

雖然本文的研究對象是一維鏈式電網，但實際電網中的擾動傳播現象(如轉折頻率、頻散效應和局部振蕩現象等)有類似一維情形之處。本文闡明的機理有助于從根本上認識實際電網中擾動傳播規律，對于開展電網擾動影響預測及基于擾動傳播理論的電網安全控制方法研究具有的啟發意義。

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