多重時滯離散非線性系統的魯棒預測控制

周衛東，鄭 蘭，廖成毅，蔡佳楠

（哈爾濱工程大學 自動化學院，150001哈爾濱）

多重時滯離散非線性系統的魯棒預測控制

周衛東，鄭 蘭，廖成毅，蔡佳楠

（哈爾濱工程大學 自動化學院，150001哈爾濱）

為解決一類同時存在多重狀態時滯、輸入時滯和非線性擾動的不確定離散非線性系統的控制問題，提出一種具有狀態反饋控制結構的魯棒模型預測控制器設計方法.首先，充分利用時滯的上下界信息構造一個改進的二次Lyapunov-Krasovskii泛函；其次，利用線性矩陣不等式（LMI）方法將min-max最優化求解困難的問題轉化成具有LMI約束的凸優化問題，并給出魯棒預測控制器存在的充分條件及其表達式.理論證明該方法設計的控制器保證閉環系統魯棒漸進穩定.仿真算例驗證了所提出方法的有效性.

非線性擾動；時滯；不確定性；狀態反饋；模型預測控制；線性矩陣不等式

模型預測控制作為一類新型的計算機控制算法已被工業界廣泛應用［1］.魯棒預測控制不僅具有魯棒控制對不確定性的處理方法而且還具有預測控制的滾動優化思想，可以有效處理模型的不確定性與時滯問題.因此，得到學者們的極大重視［2］.當時滯系統中存在非線性擾動時，如何保證控制器的指定性能更是一個復雜的問題.因此，有關時滯系統的魯棒預測控制的研究具有一定的挑戰性.為了解決時滯系統的魯棒模型預測控制問題，基于LMI方法提出的 min-max魯棒預測控制得到了極大的關注［3-7］.文獻［3］研究了時滯為常數時的具有輸入約束的離散時滯系統的魯棒模型預測控制問題；文獻［4］應用預測控制解決時滯系統的控制問題，但是沒有考慮不確定性；文獻［5］研究了帶有區間時滯的離散非線性系統魯棒預測控制問題；文獻［6］針對一類多重狀態時滯不確定離散線性系統研究了其魯棒模型預測控制問題；文獻［7］針對一類不確定廣義系統研究了同時帶有狀態和輸入時滯的魯棒預測控制問題；文獻［8］在文獻［7］的基礎上，研究了具有非線性擾動的時滯不確定連續系統的魯棒預測控制問題；文獻［9］研究了一類同時具有狀態和輸入時滯的不確定離散線性系統的魯棒預測控制問題.然而，關于既具有非線性擾動又同時存在多重狀態和輸入時滯的不確定離散非線性系統的魯棒預測控制的研究還未見報道.本文在文獻［5，9］的基礎上，研究了此類系統的魯棒預測控制器設計問題.

1 問題描述

記Rn為n維歐幾里德空間，Rn×m為n×m維實矩陣的集合，In為n×n維單位矩陣，diag｛｝為對角塊矩陣.符號?表示相應的對稱塊矩陣.

考慮如下帶有非線性擾動且同時存在多重狀態和輸入時滯的不確定離散非線性系統為

其中：x（k）∈Rnx為系統狀態，u（k）∈Rnu為系統輸入，f（x（k），x（k-τ），x（k-τ1），…，x（k-τm））為非線性擾動.

為表述方便，令fk：=f（x（k），x（k-τ），x（kτ1），…，x（k-τm）），并且滿足

式中：0＜τ＜τ1＜… ＜τm為系統的時滯，x（k）= φ（k），-τm≤k≤0為系統的初始條件.系統（1）的系統矩陣是未知的，并且可以表示成凸組合形式，即

其中：Co為由L個頂點［A01A11…Am1B01B11］，…，［A0LA1L… AmLB0LB1L］構成的凸多面體集，即存在L個非負系數0≤λi（k）≤1（i=1，2，…，使得

針對不確定離散時滯系統（1），模型預測控制問題描述為如下的min-max優化問題：設計魯棒預測控制器使不確定系統魯棒穩定且獲取如下的魯棒性能指標，即需要考慮如下min-max優化問題，即

其中：Q1＞0，R＞0分別為性能指標中狀態和控制量的對稱加權矩陣.）為k時刻對k+j時刻輸入的預測，為k時刻對k+j時刻狀態的預測，并且有=x（k），-j），j≥1.在min-max優化問題（5）～（7）中，式（6）為未來控制輸入的無限時域和系統預測狀態的二次魯棒性能指標，式（7）為系統的狀態預測模型.

針對系統（1），設計如下的狀態反饋控制律：

控制目標是求得魯棒模型的預測控制器中的增益矩陣K，并要求控制輸入u（k+j｜k），j≥0，使得閉環系統漸進穩定.針對系統（1），構造如下的Lyapunov-Krasovskii函數：

其中：P=diag｛P0，Pτ，Pτ1，…，Pτm，In｝，Pj＞ 0，

假設在每一個k≥τ時刻是可測量的.在k時刻，假設對所有的

為了使 J∞(k)有界，令因此.將不等式（10）兩邊同時從j=0到j=∞求和得

因此

為了得到本文的主要定理，先給出下面的引理.

引理1［10］（Schur補）矩陣不等式其中：Q x()=QTx()，R x()=RTx()，S x()為關于x的仿射函數，則式（13）等價于

引理2［11］設W0（x）和W1（x）都是關于x∈Rn的二次函數，如果對任意的x∈ Rn-｛0｝，有W1（x）＜0，并且存在常數ρ＞0使得下式成立，則有W0（x） ＜0，且

2 主要結論

2.1 基于LMI的模型預測控制器設計

其中：

證明 由于式（9）是性能指標的上界，可以通過求解下面的問題把這個界減至最低

應用Schur補，式（18）可寫為

將式（19）分別左乘和右乘矩陣diag｛I，P｝，則有

則不等式（16）成立.下面將證明不等式（17）成立.

取Lyapunov-Krasovskii函數（9），求差分有

把式（22）～（24）代入到式（21），有

考慮式（10）和u（k）=Kx（k），設

其中：Θ2=diag｛Pτ-P0+Q1+KTRK，Pτ1-Pτ，Pτ2-Pτ1，…，-Pτm，0｝.

又因為式（2）可以寫成

根據引理 2，存在數 λ ＞ 0使得 W0（x） -λW1（x） ＜0成立，則W0（x） ＜0，即

將式（29）分別左乘和右乘矩陣 diag｛Q，Qτ，Qτ1，…，Qτm，In，In｝，并令Y=KQ，可得其中：

再利用Schur補有

其中：Γ11=U11，Γ22=U22，Γ33=M11，Γmm=Mmm.

又因為式關于系統矩陣滿足［A0（k） A1（k）…Am（k） B0（k）B1（k）］∈Ω，根據凸集的基本性質，式（31）成立當且僅當對凸包Ω的每個頂點都成立，換句話說，式（31）成立當且僅當式（17）成立.

2.2 控制算法

綜合上面的控制器設計過程，對應于定理1給出不確定離散時滯系統（1）的狀態反饋魯棒模型預測控制算法.

第1步 測量當前時刻系統的狀態x（k），并獲得過去時刻的狀態x（k-1），…，x（k-τ），x（kτ1），…，x（k-τm）.

第2步 令x（k｜k）=x（k），x（k-τ1｜k）=x（k -τ1），…x（k-τm｜k）=x（k-τm）.

第3步 選擇適當的對稱正定矩陣Q1和R.

第4步 定義優化問題（5）～（7）中的各個變量，標量γ（k） ＞ 0，ρ＞ 0，正定對稱矩陣 Q，Qτ，Qτi，P0，Pτ，Pτ1，…，Pτm和適當維數的矩陣Y.

第5步 用MATLAB中的LMI工具箱求解優化問題（5）～（7），得到最優解 γ（k），ρ，Y，Q，Qτ，Qτi，P0，Pτ，Pτ1，…，Pτm.

第6步 計算出狀態反饋預測控制控制器增益矩陣K=YQ-1.

第7步 將k時刻的控制器u（k）=Kx（k｜k）作用于被控系統（1）.

第8步 令k=k+1，重復第1步至第7步.

2.3 可行性與穩定性分析

引理3 定理1中k時刻任意的最優化的可行解對于t＞k時刻也是可行的.

證明 不難發現定理1中采樣時刻k的最優解是采樣時刻k+1可行的次最優解.這是由于δ=｛x∈Rnx｜xTPjx≤γ｝是預測狀態x的一個不變橢球.因此，在k+1時刻，最優化至少有一個可行解，同時由于集合是凸面的，此問題只有一個最優解.

定理2 由定理1得到的可行魯棒模型預測控制律使得閉環系統魯棒漸進穩定.

證明 為了證明漸進穩定性，建立Lyapunov函數V（x（k））=wT（k）Pw（k），其中P＞0是k時刻的最優解，由定理1的證明可知在閉環內這個函數是一個嚴格遞減的Lyapunov函數.根據離散Lyapunov穩定性理論可以說明閉環系統魯棒穩定.證畢.

定理1中依賴于系統狀態的線性矩陣不等式（16）必然可以使得所有狀態都在橢球δ內.因此，本文將狀態反饋u=YQ-1x應用于任意的不為零的狀態x（k）∈δ，從而確保實時

因此，x（k+i）∈δ，i≥0且x（k）→0時.

3 拓展情況

當不確定離散時間系統（1）不涉及輸入時滯，即B1（k）=0時結論如下.

推論1 考慮沒有輸入時滯的不確定離散時間系統（1）為

且Lyapunov-Krasovskii函數為

那么，如果存在對稱正定矩陣 Q，Qτi，P0，Pτ1，…，Pτm和適當維數的矩陣Y滿足式（34）～（36）形式的線性矩陣不等式，則存在一個狀態反饋控制律

滿足式 （10）性能.

其中：

證 明 證明類似定理1的證明，故略.

當系統（1）只有輸入延遲時，即B0（k）=0，有以下結果.

推論2 考慮具有輸入延遲的不確定離散時間系統（1），則

且Lyapunov-Krasovskii函數為

那么，如果存在對稱正定矩陣 Q，Qτi，P0，Pτ1，…，Pτm和適當維數的矩陣Y滿足式（39）～（41）形

式的線性矩陣不等式，則存在一個狀態反饋控制律

滿足式（10）性能.

其中：

證明 過程類似推論1的證明，故省略.

4 仿真結果

考慮如下具有非線性擾動且同時帶有狀態和輸入時滯的不確定離散非線性系統

假設初始狀態為x（-2）=［0.5 0 0］T，

根據式（2），取α1=0.3，α2=0.2，β1=0.4，非線性擾動滿足式（2），要求設計控制器滿足性能指標（5）.時滯τ1=4，τ=1，權重矩陣分別為 Q1= diag｛1，1，1｝，R=0.3，凸多面體中 λ1=0.4，λ2= 0.6，則可以得到γ（k）=41.706 4.圖1～3分別給出了狀態 x1（k），x2（k），x3（k）的變化曲線，圖 4為控制器曲線圖，可以看出在該控制器的作用下，系統是穩定的而且性能也很好.

圖1 狀態x1（k）的時間響應曲線

圖2 狀態x2（k）的時間響應曲線

圖3 狀態x3（k）的時間響應曲線

圖4 控制輸入曲線

5 結 論

1）提出一種基于LMI的時滯離散非線性系統的魯棒預測控制算法，解決了帶有非線性擾動和時滯的不確定離散非線性系統的控制器設計問題.

2）算法采用狀態反饋控制結構，應用LMI技術，將無限時域min-max優化問題轉化為具有LMI約束的凸優化問題，得到了反饋控制律存在的新判據，并且分析了控制算法的可行性，證明了系統的魯棒性.

3）通過仿真，結果表明了此方法的有效性.

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（編輯 魏希柱）

Robust prediction control for multiple time delay discrete nonlinear system

ZHOU Weidong，ZHENG Lan，LIAO Chengyi，CAI Jianan

（College of Automation，Harbin Engineering University，150001 Harbin，China）

In this paper，a robust model prediction controller with state-feedback structure is constructed for a class of uncertain discrete nonlinear systems with multiple states time-delay， inputs time-delay and nonlinear perturbation.Firstly，an improved quadratic Lyapunov-Krasovskii functional is constructed by making full use of the upper and lower bounds of the time-delay information，and then the difficulty of solving min-max optimization problem is transformed into convex optimization problem with linear matrix inequality（LMI）constraints by utilizing LMI technique.Simultaneously，the sufficient conditions for the existence of robust predictive controller and the expression of the controller are given.Theoretically，it is proved that the designed controller can guarantee the closed-loop system is asymptotically stable.Finally，simulation results demonstrate the feasibility of the proposed scheme.

time-delay；nonlinear perturbation；uncertain；state-feedback；model prediction control；liner matrix inequalities（LMIs）

TP273

A

0367-6234（2015）09-0024-07

10.11918／j.issn.0367-6234.2015.09.005

2014-02-28.

國家自然科學基金（61102107，61374208）.

周衛東（1966—），男，教授，博士生導師.

鄭 蘭，zhenglan000＠163.com.