基于相空間重構參數優化的風電功率混沌屬性判定

潘捷，陳丹霏，王凌云

(三峽大學 電氣與新能源學院，湖北 宜昌 443002)

基于相空間重構參數優化的風電功率混沌屬性判定

潘捷，陳丹霏，王凌云

(三峽大學 電氣與新能源學院，湖北 宜昌 443002)

基于風電功率時間序列是一組非線性的隨機序列，其內在規律復雜而多變，傳統的預測手段很難對風電功率做出高精度的預測。研究風電功率內在特性是做出高精度預測的先行條件。相空間重構法能有效地展示非線性時間序列的內在混沌屬性。采用C-C算法構造一個非線性時間序列的嵌入，有效減少計算的同時又保持了功率序列的非線性特性，并同步計算出嵌入維數和延遲時間。在重構的相空間基礎上通過小數據量法計算出風電功率序列的最大李雅普諾夫指數，揭示了風電功率的內在特性，說明了風電功率混沌屬性的判定原理和計算方法。

風功率預測；相空間重構；混沌屬性；C-C算法；李雅普諾夫指數

1 引言

時間序列是指將某種現象某一個統計指標在不同時間上的各個數值，按時間先后順序排1列而形成的序列，它是一組有序的隨機數據，既包含數據的順序，也包含數據的特性，可以通過對時間序列的分析，根據序列的過去值來預測未來值。時間序列不僅包含了所有變量過去的信息，而且還包含了參與系統演化的所有變量的大量信息。因此，對時間序列屬性進行研究是選擇合適的預測模型的基礎。而風電場的發電功率都是按照一定周期采樣和記錄的，所以風電功率數據本身就是一個時間序列。但風電場發電功率往往具有隨機性、不確定性和不可控性，傳統的預測技術很難對風電功率做出高精度的預測[1-2]。充分了解和掌握風電場發電功率時間序列的屬性則成為保證準確預測的前提。而理論上，更精確的預測方法應該用符合風電場發電功率特性的非線性動力學系統理論對其進行預測。

混沌時間序列分析是非線性時間序列分析的重要發展，其目前已經廣泛的應用于生物醫學、氣象學、金融學等方向[3-4]。混沌現象是非線性動力系統中特有的一種運動形式，它是既普遍又極其復雜的形式。混沌現象的發現開創了科學模型的一個典范：一方面，混沌現象所固有的不確定性表明許多隨機現象實際上是不可以預測的；另一方面，混沌現象對固有的對初值條件的敏感依賴性又意味著預測能力受到新的根本性的限制。所以混沌現象是短期可以預測，長期不可以預測的。因此，風電場發電功率內在混沌屬性的分析，即風電功率的混沌識別，對于風電功率的短期預測具有重要的現實意義。如果風電功率時間序列具有混沌屬性，則可借助于混沌動力學理論，應用混沌分析方法，建立基于混沌理論的風電場發電功率的預測模型，為風電場并網運行和調度提供依據。

本文基于我國某大型風電場的實際發電功率歷史數據，對相空間重構的參數計算進行優化處理，采用C-C算法對風電功率時間序列進行相空間重構，同時計算出重構相空間的延遲時間和嵌入維度。在相空間重構的基礎上采用小數據量法計算風電功率時間序列的最大Lyapunov指數，對Lyapunov指數曲線進行擬合，從而驗證風電功率內部所包含的混沌屬性。

2 風電功率時間序列的相空間重構

2.1 相空間概論

混沌系統內部的策動因素是相互影響的，在風功率時間序列上表現出先后產生的數據點是相關的，即任意時間點的功率值是由與之相互作用著的其他時間點的功率值所決定的。但傳統的研究風電功率時間序列的方法，往往并不能夠發現其中所蘊含的相關信息，出現這種情況的原因是非線性系統的相空間維數通常很高，在傳統的低維空間因噪聲干擾、測量手段的影響使非線性系統的軌跡出現混亂、復雜的特性，其內部所包含的信息不能被直接觀測[5]。

混沌時間序列的識別與預測都是以相空間重構為基礎。傳統的低維坐標系無法揭示混沌系統的復雜動力學特征，而對于給定的時間序列，將其擴展到三維或者更高維的空間，以便將時間序列蘊藏的信息充分顯露出來，這就是相空間狀態重構法。

2.2 相空間重構技術

混沌時間序列重構相空間的方法主要有兩種，一種是導數重構法，另一種則是坐標延遲重構法，而坐標延遲重構法在實際應用中比較普遍。相空間提出的最初目的是為了能在高維的相空間中把混沌吸引子恢復出來。混沌系統的特征之一就是混沌吸引子，指的是混沌系統運動軌跡最終會落入某一特定的軌道中，混沌吸引子就是這個軌道，體現了混沌系統具有規律性。

根據Takens的嵌入定理，對于任意時間序列，只要m≥2D+1(m是嵌入維數、D是動力系統的關聯維數)，在該m維重構空間里即可把吸引子恢復出來，重構空間中的相軌跡與原動力系統的微分同胚，重構空間與原動力系統拓撲等價。設時間序列為{x(i)},i=1,2,…,n，若嵌入維數為m，時間延遲為τ，則相空間重構為：

Ym(i)=[x(i)，x(i+τ)，…x(i+(m-1)τ)]i-1，2，…，N；N=n-(m-1)τ

(1)

其中，n為時間序列的長度;N表示重構后相空間的點數。

11月27日，云南省政府新聞辦舉行“壯闊東方潮 奮進新時代”云南省慶祝改革開放40周年系列新聞發布會經濟發展主題新聞發布會，介紹了改革開放40年以來，特別是黨的十八大以來，云南經濟體制改革和經濟發展方面的成就，一系列重大改革舉措推動云南經濟持續快速發展。

在相空間重構中，時間延遲τ和嵌入維數m為最重要的兩個參數。目前，對于嵌入維數和時間延遲的選取方法中主要持有兩種觀點[6]。一種觀念認為時間延遲τ和嵌入維數m是無關系的，可以各自進行獨立選取。時間延遲τ的求法有自相關法、改進自相關法和互信息法等；嵌入維數m的求法有G-P算法、鄰近點維數法、Cao方法等。通常情況下，時間延遲τ和嵌入維數m由上述的方法分別求取[7]。另外一種觀點認為時間延遲τ和嵌入維數m是相互影響、相互關聯的，可同時求取。經驗證，τ與m并非各自獨立的兩個量，嵌入窗寬揭示了二者間的相關性：

τw=(m-1)τ

(2)

式中，τw為嵌入時間窗的寬度。

相比較其他方法，C-C方法在計算量的大小和操作的難易程度方面更占優勢。C-C方法相對來說是比較簡單的，在計算機上也很容易實現，雖然C-C方法沒有比較堅實的理論基礎，但是在實際應用中還是取得比較好的效果，并且很多的實驗也表明C-C方法還具有抗噪的一面[8]。

3 C-C算法

依據公式(2)所給出的思路，本文采用能夠同步計算嵌入維數m和時間延遲τ的C-C法對風電功率時間序列進行相空間重構[9]。對重構相空間的嵌入維數m和時間延遲τ進行聯合計算。本文所采用某大型風電功率的采樣數據如圖1所示。

以m為嵌入維數，τ為時間延遲對時間序列x={x(i),i=1,2,…,n}進行相空間重構，先將混沌時間序列分解成長度為INT(N/t)的t個不相交的時間序列，INT為取整函數，t為一般的自然數。分解過程如下式：

圖1 某大型風電場的風電功率采樣數據

{x(1),x(t+1),x(2t+1),…}

{x(2),x(t+2),x(2t+2),…}

{x(t),x(t+t),x(2t+t),…}

(3)

其中每個子序列都為相空間中的一個m維相點，那么可以由以下公式來表示嵌入時間序列的關聯積分：

(4)

式中：m為嵌入維；N為時間序列的長度；r為計算中所選取的搜索半徑；τ為延遲時間；M=N-(m-1)τ，表示重構相空間后的相點個數；dij=||xi-xj||，表示一個無窮范數；θ是Heaviside函數，其表達式如下：

(5)

以上關聯積分為一個累計分布函數,先設定一個用于比較兩兩相空間矢量距離的較小的定值r，然后將r與dij作比較，當dij>r取0，反之取1，最后得出距離小于定值r的量所占的比例，此值越小越好，越小越能說明重構的相空間有較好的一致性，也越接近與原始動力系統的結構。時間序x={x(i),i=1,2,3,…,n}的檢驗統計量如下定義：

S(m,N,r,τ)=C(m,N,r,τ)-Cm(1,N,r,τ)

(6)

上式的實際計算過程基于分解后的每個子序列，采用分塊平均的方法，具體公式如下：

(7)

S(m,N,r,τ)反映了時間序列的自相關特性，最優時間延遲τ可取S(m,N,r,τ)的第1個零點，或者取S(m,N,r,τ)對所有半徑r相互差別最小的時間點，此時表示重構吸引子的軌跡在重構相空間中完全展開,即相空間的點最接近均勻分布。

我們選取最大和最小的兩個半徑r，定義差量如下：

ΔS(m,N,r,τ)=max[S(m,N,r,τ)]-min[S(m,N,r,τ)]

(8)

S(m,N,r,τ)度量了S(m,N,r,τ)對所用半徑r的最大偏差。由統計學的原理可知，r的取值在σ/2和2σ之間，m的取值在2和5之間。σ是時間序列的均方差。根據風電場的歷史數據，這里我們取N=3000、m=2,3,4,5、ri=iσ/2(i=1,2,3,4)。計算:

(9)

圖2 C-C算法結果

4 風電功率時間序列的混沌屬性判定

4.1 混沌屬性的概念

目前混沌的概念尚未形成明確的定義，因此混沌信號特性識別的方法只是判別該時間序列是否為混沌的必要條件，主要包括定性，定量和兩者結合三種方式。定性方法主要通過分析混沌信號在時域中的空間結構，以及在頻域中頻率特性，而與周期、準周期或隨機相區別，包括相圖法，功率譜法等。定性方法的優點是簡單直觀，但是過于籠統。定量方法則主要通過計算吸引子的特征量或其他參數來判定混沌時間序列，這些參數包括描述相鄰軌道發散率的Lyapunov指數，刻畫吸引子維數的關聯維數，以及反映信息產生頻率的Kolmogorov熵。本文將通過計算Lyapunov指數作為判定時間序列混沌屬性的判據。由混沌運動的特征可知，兩個相鄰的初值所產生的軌道，隨著時間推移將按指數分離，指數λ即用于定量描述這一現象，軌道的距離在相空間中分別表現為線度、面積與體積[10]。在時間序列的Lyapunov指數λ<0的方向，軌道運動穩定且相體積收縮，呈現出對初始條件不敏感；指數λ=0對應于穩定邊界，屬臨界情況；指數λ>0的方向軌道快速分離，體現出對初始條件敏感，軌道運動呈現出混沌狀態。所以，時間序列是否為混沌的一個判別依據就是該序列的Lyapunov指數是否大于零[11]。而在實際應用中，只需計算出時間序列的最大指數λ1，若其大于零則可判定該時間序列為混沌時間序列，進而可采用混沌理論進行分析和預測。

4.2 計算Lyapunov指數

通常計算最大Lyapunov指數的方法有Wolf法，Jacobian法，P-范數法，小數據量法等。為了減少人為因素影響和計算量，以及提高計算的效率和精度，本文將采用小數據量法。在前面C-C算法的結果基礎上對風電功率時間序列x={x(i),i=1,2,3,…,n}進行相空間重構：

Ym(i)=[x(i)，x(i+τ)，x(i+2τ)，…，x(i+(m-1)τ)] i=1，2，3，…，N；N=n-(m-1)τ

(10)

其中，m和τ分別為C-C法計算出的嵌入維數和延遲時間。

(11)

對相空間中的每個點Ym(t)，計算出該鄰域點對的i個離散時間步長后的距離：

(12)

最后相應于每一個i，對所有t的lndt(i)求平均值x(i)：

(13)

式中：q表示非零dt(i)的數目，Δt為樣本周期。并用最小二乘法做出回歸直線如圖3所示。

圖3 小數據量法計算李雅普諾夫指數的結果

圖中回歸直線的斜率即為最大的Lyapunov指數λ1=0.00067>0，據此論證得出風電功率時間序列內部具有混沌屬性。

5 結語

本文在matlab編程的基礎上運用C-C算法對風電功率時間序列進行相空間重構，計算出嵌入維數和延遲時間。相較于傳統的相空間重構法，對其參數的計算進行了優化，將時間序列蘊藏的信息一次性顯露出來。在此基礎上，用小數據量法計算出時間序列的最大Lyapunov指數，并證實其大于零，從而嚴格證明了風電功率時間序列具有混沌屬性。為風電功率的混沌研究理論提供了必要條件和先行理論基礎。

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Chaotic Property Determination of Wind Power on Parameter Optimization of the Phase Space Reconstruction

PANJie,CHENDan-fei,WANGLing-yun

(College of Electrical Engineering and New Energy,China Three Gorges University,Yichang 443002,China)

Wind power time series is a set of nonlinear random sequence,its inherent law is complex and changeable.It is difficult to make high precision prediction for wind power by the traditional prediction methods.It is the antecedent condition for the high precision prediction to research the wind power intrinsic characteristics.The chaotic properties of nonlinear time series can be effectively showed by the reconstruction method.In this paper,C-C algorithm is used to construct an embedding of the nonlinear time series,reducing the computation and keeping the nonlinear characteristic of the power sequence.The embedding dimension and the delay time are calculated synchronously.On the basis of the reconstruction,the small data quantity method is used to calculate the Lyapunov index,revealing the inherent characteristics of wind power and illustrating the judging principle of the wind power chaotic properties.

wind power prediction;phase space reconstruction;chaotic property;C-C algorithm;Lyapunov index

1004-289X(2015)02-0014-05

梯級水電站運行與控制湖北省重點實驗室(三峽大學)開放基金課題(2013KJX09)； 2014年三峽大學碩士學位論文培優基金項(2014PY033)

TM76

B

2014-12-18

潘捷，男，碩士研究生，研究方向為新能源發電技術。