基于勢概率假設(shè)密度平滑器的多目標(biāo)跟蹤算法

謝興祥,蔡如華,吳孫勇,閆青竹

(桂林電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,廣西桂林 541004)

基于勢概率假設(shè)密度平滑器的多目標(biāo)跟蹤算法

謝興祥,蔡如華,吳孫勇,閆青竹

(桂林電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,廣西桂林 541004)

針對概率假設(shè)密度(PHD)濾波在雜波環(huán)境下對機(jī)動多目標(biāo)進(jìn)行檢測與跟蹤時,易出現(xiàn)高階勢分布信息丟失,從而導(dǎo)致目標(biāo)檢測出現(xiàn)偏差的問題,提出一種將勢概率假設(shè)密度(CPHD)濾波與平滑算法相結(jié)合的多目標(biāo)跟蹤算法。從CPHD的預(yù)測與更新步驟出發(fā),結(jié)合后向平滑遞歸公式,推導(dǎo)CPHD平滑公式,并提出基于高斯混合實現(xiàn)的GM-CPHD平滑器。仿真實驗表明,GM-CPHD平滑器的檢測與跟蹤性能優(yōu)于未經(jīng)平滑處理的CPHD濾波器。

概率假設(shè)密度;勢概率假設(shè)密度;高斯混合;平滑器

Mahler于2003年在研究多目標(biāo)貝葉斯遞歸問題時提出概率假設(shè)密度(probability hypothesis density,簡稱PHD)濾波[1],該濾波是解決傳統(tǒng)多目標(biāo)跟蹤問題的一種有效方法,它通過傳播多目標(biāo)后驗概率密度的一階矩來近似多目標(biāo)跟蹤問題的最優(yōu)解,可應(yīng)用于目標(biāo)數(shù)未知的多目標(biāo)跟蹤問題[2]。其明顯優(yōu)勢是避免了直接計算后驗概率密度函數(shù),且無需關(guān)聯(lián)復(fù)雜的數(shù)據(jù)便可從量測數(shù)據(jù)中估計目標(biāo)數(shù)目和提取目標(biāo)狀態(tài)。Vo等[3-4]給出了PHD濾波的粒子濾波實現(xiàn)(SMC-PHD)和高斯混合實現(xiàn)(GM-PHD)。但在雜波環(huán)境下對多個運動目標(biāo)進(jìn)行檢測與跟蹤時,由于PHD濾波假設(shè)目標(biāo)數(shù)服從泊松分布,僅利用一階矩統(tǒng)計信息對目標(biāo)數(shù)目進(jìn)行估計,易出現(xiàn)高階勢分布信息丟失,從而限制了其跟蹤性能,導(dǎo)致對目標(biāo)的估計出現(xiàn)偏差,當(dāng)目標(biāo)數(shù)目較多時,這個偏差會更大。為解決此問題,Mahler在PHD濾波基礎(chǔ)上提出勢概率假設(shè)密度(cardinalized probability hypothesis density,簡稱CPHD)濾波[5-6]。CPHD濾波是一種廣義的遞歸PHD濾波,能夠聯(lián)合傳播后驗強(qiáng)度函數(shù)和后驗勢分布函數(shù),根據(jù)物理空間描述法推導(dǎo)出CPHD濾波的具體實現(xiàn)公式[7]。

文獻(xiàn)[8]在多目標(biāo)跟蹤問題中對CPHD濾波進(jìn)行高斯混合實現(xiàn),性能比傳統(tǒng)的PHD濾波要好,但計算仍十分復(fù)雜。Nandakumaran等[9-10]引入了平滑概念,其中文獻(xiàn)[9]根據(jù)PHD濾波提出基于粒子濾波實現(xiàn)的平滑算法,但其計算過程中需要大量粒子,增加了計算量,耗時多;文獻(xiàn)[10]對PHD平滑算法進(jìn)行高斯混合實現(xiàn),提出GM-PHD平滑算法,并在二維場景中對線性高斯模型進(jìn)行仿真實驗,結(jié)果顯示,雖然檢測目標(biāo)有滯后現(xiàn)象,但性能要比未經(jīng)平滑處理的GM-PHD濾波器好。鑒于此,將PHD濾波擴(kuò)展到CPHD濾波,基于文獻(xiàn)[10-11]推導(dǎo)出CPHD后向平滑遞歸公式,并將其進(jìn)行高斯混合實現(xiàn),得到GM-CPHD平滑器,有效地減少了計算量。

1 問題描述

考慮目標(biāo)在一個二維運動場景中運動,目標(biāo)的狀態(tài)方程和量測方程分別描述為:

其中狀態(tài)模型f(·,·)和量測模型h(·,·)均為已知。根據(jù)量測方程,累積直到時刻k的量測序列Z1:k,然后從該序列中估計出目標(biāo)數(shù)目和目標(biāo)狀態(tài)。

Vo等在隨機(jī)有限集(RFS)理論的基礎(chǔ)上將多目標(biāo)跟蹤問題表述為對多目標(biāo)狀態(tài)Xk和量測Zk的濾波問題[4]。其中Xk為時刻k多個目標(biāo)狀態(tài)的集合, Zk為時刻k多個目標(biāo)量測的集合,分別記為:

不考慮衍生目標(biāo),通過Xk、Zk所建立的模型描述一個多目標(biāo)跟蹤系統(tǒng),有

其中:Skk-1為存活目標(biāo)RFS;Γk為自發(fā)出生目標(biāo)RFS。

其中:Kk為雜波集;Θk為一個目標(biāo)產(chǎn)生的量測。

上述多目標(biāo)跟蹤濾波問題可表述為尋找一個最優(yōu)多目標(biāo)后驗概率密度問題。假設(shè)時刻k-1的多目標(biāo)后驗概率密度pk-1(·Z1:k-1)已知,則時刻k的多目標(biāo)后驗概率密度可通過多目標(biāo)貝葉斯遞歸公式求得,

其中:fkk-1(XkX)為多目標(biāo)馬爾可夫狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率密度函數(shù);gk(ZkX)為似然函數(shù)。

平滑器包括前向濾波和后向平滑兩方面的內(nèi)容[12],因此平滑器實際上應(yīng)稱為“先前向濾波,接著后向平滑的平滑器”,簡稱“前向-后向平滑器”。前向濾波是指后驗概率密度通過貝葉斯遞歸公式向前傳播到時刻k,由CPHD遞歸公式執(zhí)行;后向平滑是指平滑后的后驗概率密度通過后向平滑遞歸公式[13]從時刻k向后傳播到時刻t(k＞t),后向平滑遞歸公式可通過有限集統(tǒng)計學(xué)和點過程理論推導(dǎo)得到。在多目標(biāo)跟蹤問題中,前向濾波的后驗概率密度通過多目標(biāo)貝葉斯遞歸公式(5)和(6)向前傳播到時刻k;而在后向平滑中,平滑后的后驗概率密度通過后向平滑遞歸公式(7)從時刻k向后傳播到時刻t,

與多目標(biāo)貝葉斯遞歸公式(5)和(6)傳播多目標(biāo)后驗概率密度函數(shù)不同,CPHD遞歸公式傳播的是多目標(biāo)后驗強(qiáng)度函數(shù)vk(x)。后驗強(qiáng)度比后驗概率密度更適合對目標(biāo)進(jìn)行檢測和跟蹤,因此利用CPHD遞歸公式替換式(5)和(6)計算多目標(biāo)后驗強(qiáng)度,使得計算簡化,并且從CPHD的預(yù)測與更新步驟出發(fā),結(jié)合后向平滑遞歸公式(7),可推導(dǎo)出CPHD后向平滑遞歸公式。

2 GM-CPHD平滑器

2.1 CPHD濾波器

Mahler在PHD濾波的基礎(chǔ)上提出CPHD濾波[1],其在傳播PHD函數(shù)的同時也在傳播后驗勢分布(目標(biāo)數(shù))概率密度函數(shù)。

CPHD預(yù)測步[8]:

1)預(yù)測勢分布為

2)預(yù)測強(qiáng)度為

pS,k(ζ)為時刻k目標(biāo)存在概率;fkk-1(·ζ)為時刻k的單一目標(biāo)轉(zhuǎn)移密度;γk(·)為時刻k自發(fā)出生目標(biāo)強(qiáng)度;ρΓ,k(·)為時刻k自發(fā)出生目標(biāo)勢分布。

CPHD更新步:

1)更新勢分布為

2)更新強(qiáng)度為

其中:

Zk為時刻k的量測集;gk(·x)為時刻k單一目標(biāo)的量測似然函數(shù);pD,k(x)為時刻k的目標(biāo)檢測概率;κk(·)為時刻k雜波量測強(qiáng)度;pK,k(·)為時刻k雜波勢分布。

1.2 臨床資料收集方法 通過病歷登記資料以及詢問家屬等方式獲得受試早產(chǎn)兒(腦癱組以及對照組)的基本信息。基本信息包括受試早產(chǎn)兒的基本情況以及腦癱患兒存在哪些伴隨癥狀等。

2.2 GM-CPHD平滑器的推導(dǎo)

結(jié)合文獻(xiàn)[7]、[10-11],推導(dǎo)并得到CPHD后向平滑遞歸公式:

其中:t=k-1,k-2,…,k-L(k＞t);L為平滑算法的滯后時間;vtt為t時刻CPHD濾波的強(qiáng)度函數(shù);vtk、vt+1k分別為t、t+1時刻的CPHD平滑強(qiáng)度函數(shù);vt+1t為t+1時刻CPHD濾波的預(yù)測強(qiáng)度函數(shù)。平滑公式中有積分運算,會導(dǎo)致計算十分復(fù)雜,因此運用高斯混合實現(xiàn)方法,將積分運算變?yōu)楦咚狗植枷碌那蠛瓦\算。

CPHD濾波的高斯混合實現(xiàn)依賴于有關(guān)單一目標(biāo)轉(zhuǎn)移和量測模型以及目標(biāo)出生、死亡和檢測的假設(shè)。

假設(shè)1 每個目標(biāo)都服從線性高斯動態(tài)模型,即

且其傳感器的線性高斯量測模型為

其中:Ν(·;m,P)為以m為均值、P為協(xié)方差的高斯密度分布;Fk-1為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣;Qk-1為過程噪聲協(xié)方差;Hk為觀測矩陣;Rk為觀測噪聲協(xié)方差。

假設(shè)2 多目標(biāo)的勢分布服從高斯分布,

假設(shè)3 目標(biāo)存活概率與目標(biāo)檢測概率相互獨立:

假設(shè)4 目標(biāo)出生RFS集的強(qiáng)度是高斯混合形式,

基于以上4個假設(shè),假設(shè)在k時刻,CPHD濾波的預(yù)測強(qiáng)度vkk-1、預(yù)測勢分布pkk-1(n)、更新強(qiáng)度vk(x)及更新勢分布pk(n)都已給定,且有:

則可得在t時刻和t+1時刻的CPHD更新強(qiáng)度分別為:

將式(25)、(26)代入CPHD后向平滑遞歸公式(16),整理后得:

式(27)中仍然包含積分運算,使得計算十分復(fù)雜,為此將積分中的用高斯混合形式式(17)替代。該高斯混合形式可看做一個平滑器的實現(xiàn),且該平滑器具有相對應(yīng)高斯分量的均值和方差,因此可得到:

其中:

高斯混合分量的權(quán)重為:

式(28)即為GM-CPHD濾波器的平滑公式。

在對后驗強(qiáng)度vk(x)用高斯混合形式表示時,多目標(biāo)狀態(tài)的提取比PHD濾波的粒子濾波實現(xiàn)算法容易,因為構(gòu)成高斯分量的均值實際上是后驗強(qiáng)度vk(x)的局部極大化值,但此時需利用“修剪”技術(shù)去除高斯混合形式中含有較低權(quán)重和方差的高斯分量,并利用“合并”技術(shù)將比較密集的高斯分量進(jìn)行合并,當(dāng)從個后驗強(qiáng)度vk(x)中提取多目標(biāo)狀態(tài)時,便可得到較近似的狀態(tài)估計值。與高斯混合強(qiáng)度vtk(x)相應(yīng)的目標(biāo)期望數(shù)可通過對目標(biāo)權(quán)重求和得到,

3 數(shù)值仿真實驗與分析

3.1 實驗評價指標(biāo)

采用最優(yōu)子模式分配(optimal sub-pattern assignment,簡稱OSPA)度量作為仿真實驗的評價指標(biāo)。OSPA度量是指對2個有限集中的點進(jìn)行分配并求出這些點之間最小距離值的總和,再對總和求平均作為以隨機(jī)有限集(RFS)理論為基礎(chǔ)的目標(biāo)檢測與跟蹤性能的評價指標(biāo)。OSPA由Schuhmacher等[14]在2008年最先提出,近年來,OSPA在目標(biāo)檢測與跟蹤領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。其定義為:

其中:X={x1,x2,…,xm},Y={y1,y2,…,yn};Πn為{1,2,…,n}上所有排列的集合;d(c):=min[(c, d(x,y)];p為用于懲罰目標(biāo)狀態(tài)參數(shù)的估計偏差的階數(shù);c為用于懲罰目標(biāo)個數(shù)的估計偏差的截斷參數(shù)。

3.2 仿真實驗

為了驗證平滑器的性能,在一個雜波環(huán)境下含有4個目標(biāo)的二維目標(biāo)運動場景中進(jìn)行仿真實驗,實驗?zāi)Ｐ蜑橐粋€非線性非高斯運動模型,考慮一個有不同轉(zhuǎn)彎速率的勻速轉(zhuǎn)彎模型以及一個具有距離和方位的量測模型。設(shè)k時刻第n(n=1、2、3、4)個目標(biāo)的狀態(tài)向量為xk,n=[,,,]T,其中:)為目標(biāo)位置;)為目標(biāo)速度。目標(biāo)運動狀態(tài)方程為:

其中:F為目標(biāo)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣;vk為過程噪聲且為零均值高斯白噪聲,該噪聲轉(zhuǎn)移矩陣為G。設(shè)F、G分別為:

其中:ω為轉(zhuǎn)彎速率;傳感器采樣間隔T=1 s。測量時間長度為40 s,目標(biāo)的運動軌跡如圖1所示。其中目標(biāo)1出現(xiàn)于時刻1,消失于時刻7;目標(biāo)2出現(xiàn)于時刻8,消失于時刻25;目標(biāo)3出現(xiàn)于時刻12,消失于時刻37;目標(biāo)4出現(xiàn)于時刻26,消失于時刻40。傳感器量測模型由噪聲的距離和方位量測構(gòu)成,可表示為:

其中量測噪聲wk為零均值高斯白噪聲。目標(biāo)存活概率為0.99,目標(biāo)檢測概率為0.9。雜波為一個服從泊松分布的隨機(jī)有限集,且雜波平均數(shù)為3(m2)-1。

圖1 目標(biāo)真實運動軌跡Fig.1 Real target trajectories

圖2 目標(biāo)真實數(shù)目估計Fig.2 Estimation of real target numbers

圖3 OSPA對比圖Fig.3 Comparison of OSPA

3.3 算法性能分析

圖2為3種濾波器對目標(biāo)真實數(shù)目估計的對比。從圖2可看出,GM-CPHD平滑器估計目標(biāo)數(shù)目的性能優(yōu)于GM-CPHD,GM-PHD最差,這是因為PHD濾波易出現(xiàn)高階勢分布信息丟失,從而導(dǎo)致對目標(biāo)的估計出現(xiàn)偏差,當(dāng)目標(biāo)數(shù)目較多時,這個偏差會很大。另外,CPHD濾波結(jié)合平滑算法綜合利用了t時刻前后的PHD濾波估計信息,進(jìn)一步改善了平滑時對多個目標(biāo)的狀態(tài)估計,雖然對目標(biāo)的估計有滯后現(xiàn)象(在開始和結(jié)尾都存在),但總體來說,GM-CPHD平滑器的檢測性能仍比未經(jīng)平滑處理的GM-CPHD穩(wěn)定一些。

圖3用OSPA度量表征3種濾波器的性能差異。當(dāng)OSPA度量距離越小,表明濾波算法的精度越高,OSPA中的參數(shù)設(shè)為c=100,p=2。從圖3(a)可看出,GM-CPHD平滑器優(yōu)于GM-CPHD和GMPHD,這是因為CPHD充分利用了原始量測數(shù)據(jù),可更好地對目標(biāo)進(jìn)行檢測與跟蹤。從圖3(b)可看出, GM-CPHD平滑器的OSPA距離誤差總和要少于GM-CPHD和GM-PHD,這是因為GM-CPHD平滑器的后向平滑遞歸公式改進(jìn)了未經(jīng)平滑處理的CPHD遞歸公式,并基于高斯混合方法實現(xiàn),使得計算量減少。

4 結(jié)束語

GM-CPHD平滑器的實現(xiàn)不僅避免了傳統(tǒng)方法中的數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián),也提高了目標(biāo)狀態(tài)估計的精度。雖然濾波過程仍會出現(xiàn)跟蹤滯后現(xiàn)象,但將CPHD濾波與平滑算法相結(jié)合,綜合利用了t時刻前后的CPHD濾波估計信息,彌補(bǔ)了PHD濾波易丟失高階勢分布信息的缺點,進(jìn)一步改善了多目標(biāo)狀態(tài)的估計性能。考慮到實現(xiàn)過程中計算量十分龐大,因此對CPHD平滑器進(jìn)行高斯混合實現(xiàn),有效地減少了計算量,并提高了跟蹤性能。下一步的工作,可從以下幾個方面進(jìn)行研究:1)可將CPHD平滑算法基于粒子濾波方法實現(xiàn),并結(jié)合TBD技術(shù)應(yīng)用于低信噪比目標(biāo)檢測; 2)將該方法應(yīng)用于交互式機(jī)動多目標(biāo)模型;3)將伯努利濾波與平滑算法相結(jié)合,并基于粒子濾波或高斯混合,從而實現(xiàn)對機(jī)動多目標(biāo)進(jìn)行檢測與跟蹤。

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編輯:張所濱

Multi-target tracking algorithm based on cardinalized probability hypothesis density smoother

Xie Xingxiang,Cai Ruhua,Wu Sunyong,Yan Qingzhu
(School of Mathematics and Computational Science,Guilin University of Electronic Technology,Guilin 541004,China)

When multiple maneuvering targets are estimated and tracked with probability hypothesis density(PHD)filter in clutter,it is easy to lose higher order cardinality information which will result in the estimation deviation of multi-target.A multi-target tracking algorithm combined cardinalized probability hypothesis density(CPHD)filter with the smoothing algorithm is proposed.The formula of CPHD smoothing is deduced reasonably according to the prediction,update steps of CPHD and combined with the backward smoothing recursion formula.In addition,the CPHD smoother based on Gaussian mixture is also proposed.Simulation results show that the proposed solution is better than the CPHD filter without smoothing.

probability hypothesis density;cardinalized probability hypothesis density;Gaussian mixture;smoother

TN911

A

1673-808X(2015)02-0121-06

2014-12-09

國家自然科學(xué)基金(61261033,41201479,61062003,61162007);廣西自然科學(xué)基金(2013GXNSFBA019270);桂林電子科技大學(xué)研究生教育創(chuàng)新計劃(GDYCSZ201431)

蔡如華(1971-),男,廣西玉林人,副教授,研究方向為小波分析在信號處理中的應(yīng)用。E-mail:ruhuac@guet.edu.cn

謝興祥,蔡如華,吳孫勇,等.基于勢概率假設(shè)密度平滑器的多目標(biāo)跟蹤算法[J].桂林電子科技大學(xué)學(xué)報,2015,35(2):121-126.