稀疏貝葉斯假設(shè)檢驗準則下的二維波達方向估計

張文武,劉慶華

(桂林電子科技大學(xué)信息與通信學(xué)院,廣西桂林 541004)

稀疏貝葉斯假設(shè)檢驗準則下的二維波達方向估計

張文武,劉慶華

(桂林電子科技大學(xué)信息與通信學(xué)院,廣西桂林 541004)

為了降低均勻圓陣列二維波達方向估計的計算量,提出一種基于稀疏貝葉斯假設(shè)檢驗的波達方向估計算法。根據(jù)“粗掃描”+“細掃描”思想,將角度空間重新構(gòu)建新的冗余字典,運用貪婪類算法粗略構(gòu)造新的稀疏重構(gòu)模型,結(jié)合稀疏貝葉斯假設(shè)檢驗準則,快速求解超參數(shù),實現(xiàn)二維波達角的估計。實驗結(jié)果表明,該算法具有較高的估計精度以及較好的檢測性能。

二維波達方向估計;稀疏貝葉斯假設(shè)檢驗準則;超參數(shù)

波達方向(direction-of-arrival,簡稱DOA)估計是陣列信號處理的一個研究熱點,在雷達、通信和聲納等眾多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。相比于傳統(tǒng)的均勻線陣列(ULA),均勻圓陣列(UCA)不但可實現(xiàn)方位角360°覆蓋,也能夠正確估計輸入信號的俯仰角[1-2],因此,研究基于UCA的二維DOA估計算法具有實際意義。近年來,基于空間譜稀疏分布的特點,學(xué)者提出了大量的稀疏DOA估計方法,主要分為兩類:1)基于范數(shù)的稀疏DOA估計算法,如LISVD[3]和基于加權(quán)迭代的稀疏重構(gòu)FOCUSS[4-5]算法等,當它們應(yīng)用于二維DOA估計時,均存在計算量爆炸性增長的缺點;2)匹配追蹤算法,如正交匹配追蹤(OMP)[6-7]和稀疏度自適應(yīng)匹配追蹤(SAMP)[8-9],這類算法的輸出索引含有過多的冗余,從而影響角度估計的精度。

針對均勻圓陣列的二維DOA估計計算量大的缺點,提出稀疏貝葉斯假設(shè)檢驗的算法。該算法采用匹配追蹤算法對接收信號進行“粗掃描”,得到降維的初級支撐集,并依此構(gòu)造新的稀疏重構(gòu)模型;利用稀疏貝葉斯假設(shè)檢驗進行二次“細掃描”,通過求解超參數(shù)獲得輸入信號波達角信息。實驗結(jié)果表明,在相同的實驗條件下,本算法能有效地剔除冗余基下標,降低計算量,并保持良好的估計精度和檢測概率性能。

1 空間圓陣列窄帶信號模型

假設(shè)有K個遠場非相干窄帶信號入射到均勻圓陣列(UCA)上,如圖1所示。該圓陣列半徑為r,陣元數(shù)為M,半徑與入射信號波長的比值為dr=r/λ(λ為入射信號波長)。定義第k個來波信號的俯仰角和方位角為(θk,φk),k∈[1,K]。俯仰角θk為原點到信源的連線與Z軸正向之間的夾角,方位角φk是該連線在XOY平面上的投影與X軸正向之間的夾角,易知θk∈[0°,180°],φk∈[0°,360°]。方向矢量a(θk, φk)定義為

圖1 空間圓陣列(UCA)模型Fig.1 Model of space uniform circular array

則陣列接收數(shù)據(jù)模型可表示為

其中:Y(t)=[y1(t),y2(t),…,yM(t)]T為觀測矢量; s(t)=[s1(t),s2(t),…,sK(t)]T為信源信號矢量; A(θ,φ)=[a(θ1,φ1),a(θ2,φ2),…,a(θK,φK)]為導(dǎo)向流型矩陣;n(t)表示與輸入信號不相關(guān)的高斯白噪聲;t∈[1,T],T為總快拍數(shù)。

由于來波信號在空間具有位置稀疏性,可將式(2)表示為如下的稀疏模型,

在對式(3)進行求解的過程中,由于字典ˉD(^θ, ^φ)中的原子個數(shù)大,且包含T個子模型,導(dǎo)致計算負擔大。對此,文獻[3]提出的L1-SVD方法采用奇異值分解,利用特征向量建立聯(lián)合稀疏重構(gòu)模型,這樣處理雖然在一定程度上降低了計算量,但每步迭代的計算復(fù)雜度仍然達到O(K3(η×q)3)。計算量過大是阻礙稀疏分解算法應(yīng)用到二維DOA估計的主要因素。

針對均勻圓陣列,采用“粗掃描+細掃描”的方法,對模型(3)進行分解和重組。通過粗掃描,舍棄冗余字典中的無效原子以減少原子數(shù)目,形成初級支撐集。利用貝葉斯假設(shè)檢驗?zāi)Ｐ蚚10-11],通過估計超參數(shù),在初級支撐集中找到信源角度值。這種方法不僅可降低計算量,還可避免快拍數(shù)對估計過程的影響,同時無需信源數(shù)目的先驗知識。

2 稀疏貝葉斯假設(shè)檢驗的二維DOA估計方法

2.1 稀疏模型構(gòu)造——粗掃描

根據(jù)稀疏度自適應(yīng)匹配追蹤(SAMP)算法[9],建立冗余字典集合。通過對輸入冗余字典和采樣向量Y(t)的匹配追蹤,獲得基于初始稀疏度K的輸入信號近似值^s(t)和角度空間索引候選集Ch,且滿足^s(t)=),其中,降維后的矩陣是包含所有信源位置信息的冗余字典,則初級空間角支撐集記為(k),(k)},k∈Ch。Ch的維數(shù)降為I,且I?K。在獲得)后,細掃描的稀疏模型表示為:

由此,DOA估計轉(zhuǎn)化為對重構(gòu)信號^s(t)中非零元素位置的估計。事實上,式(3)、(4)中的噪聲均可假設(shè)為零均值方差為的高斯白噪聲。根據(jù)其統(tǒng)計特性,由式(4)可得觀測信號的條件概率為[12]:

式(5)可采用最大似然法,通過經(jīng)驗風(fēng)險最小化求出^s(t),但易發(fā)生過學(xué)習(xí)的現(xiàn)象,導(dǎo)致空間分辨率不足。為了避免這種情況的出現(xiàn),引入超參數(shù)求解該稀疏模型的參數(shù)。

2.2 稀疏模型的超參數(shù)

假設(shè)待重構(gòu)的稀疏信號^s(t)滿足N(0,α-1I)(I為單位矩陣)的復(fù)高斯分布模型,則采用超參數(shù)α= diag(,,…)控制其先驗分布[12],即每一個信號入射角度均由一個超參數(shù)控制。若趨近于0,則說明對應(yīng)位置的角度空間無入射信號;若不為0,則說明有入射信號。顯然,入射信號的個數(shù)遠小于離散角度總數(shù),即超參數(shù)α中只有較少的非零值,從而表現(xiàn)出稀疏特性。這樣,DOA估計轉(zhuǎn)換為對超參數(shù)α中的非零元的求解。同理,噪聲信號方差可視為控制噪聲先驗分布的超參數(shù)。

定義^s(t)的先驗條件概率分布為:

其中:N(^si(t)|(0,))為零均值方差為的高斯密度函數(shù);p為^s(t)中零值出現(xiàn)的概率。根據(jù)文獻[14]中高斯噪聲環(huán)境下的稀疏高斯信源零值出現(xiàn)的概率大于0.5,有p＞0.5。

為了求得2個超參數(shù)的最大后驗概率估計值,同樣假設(shè)其他參數(shù)均為已知。由最大后驗概率估計的定義式:

可得超參數(shù)的后驗概率為:

α立,求導(dǎo)并置0后,得到超參數(shù)α的最大后驗概率估計值

即超參數(shù)的最大后驗概率是使得式(5)取最大值的情況,則對式(5)求導(dǎo)并取極值后,求得σ2n的最大后驗概率估計值為

由于稀疏性約束,超參數(shù)α中僅有少部分元素為較小值,而大部分均趨于0,這樣會給DOA估計帶來不確定性。為了解決這一問題,構(gòu)造一個基于零值概率p和超參數(shù)α和的后驗概率分布的判別準則。根據(jù)此判別準則,進一步剔除冗余字典中與DOA信息無關(guān)的冗余原子索引,實現(xiàn)“細掃描”。

2.3 稀疏貝葉斯假設(shè)檢驗準則——細掃描

其中:Wl=〈Y(t),)〉,=(t);=〉。

根據(jù)式(13)構(gòu)建如下假設(shè)檢驗事件:

由條件概率可知,若事件H1成立,則其后驗概率為P(H1|Wl)＞P(H0|Wl),反之若H0成立,則其后驗概率為P(H0|Wl)＞P(H1|Wl)。這樣,判斷是否為0(即超參數(shù)α中非零值的位置)問題轉(zhuǎn)化為條件概率事件。由于信號源稀疏矢量中零值概率p已知,故可得(以事件H1為例,事件H0亦然)

又有p=P(H 0),顯然,只需要求得P(Wl|H1)、P(Wl|H0)的大小即可。

若輸入信號和噪聲皆為高斯隨機變量,其估計誤差和線性運算顯然均滿足高斯分布。令?l=+(t)-(t)),有～N(0,),其中為超參數(shù)α和的線性組合。因此,式(14)可等價于

對式(15)兩邊同時取對數(shù)運算,有

其中Tdl是閾值參數(shù),且滿足:

由于p＞0.5,顯然,式(17)的右邊大于0。事實上,該閾值參數(shù)中涉及的參數(shù)均可用前面所得的先驗概率值代替,綜合式(7)、(10),可求得閾值參數(shù)。這樣可將式(16)視為剔除冗余字典中無效原子索引的一個準則。對于貝葉斯假設(shè)檢驗?zāi)Ｐ偷膬?yōu)化求解過程,實際上是一個添加或消除冗余字典中基向量并實時更新參數(shù)的過程。

2.4 SAMP算法步驟

基于稀疏貝葉斯假設(shè)檢驗的二維DOA估計算法的主要步驟歸納如下:

1)采用SAMP算法產(chǎn)生下標支撐集Ch,利用下標集在冗余字典中構(gòu)建新的冗余字典,輸出重構(gòu)信號^s(t)。

3)根據(jù)集合ξ即可估計出各個入射信號的DOA。

需要說明的是,由于經(jīng)過SAMP算法獲得的初始重構(gòu)信號比較接近真實的稀疏信號^s(t),角度空間不需再細化,直接構(gòu)建下一步的冗余字典。閾值參數(shù)取值范圍為0.8～1,對于SAMP算法的迭代停止參數(shù)取10-5量級的數(shù)值。

貝葉斯假設(shè)檢驗算法假定在平穩(wěn)信號模型下進行參數(shù)估計[12],通常情況下使用窄帶平穩(wěn)信號的匹配追蹤進行稀疏重構(gòu),均假定信源個數(shù)為已知,但在實際中很難準確確定目標個數(shù),而改進后的SAMP算法可在未知信源個數(shù)情況下對冗余字典進行“粗掃描”,再利用貝葉斯高斯假設(shè)檢驗進行“細掃描”,實現(xiàn)輸入信號的DOA精確估計,具有良好的性能。

3 仿真實驗和分析

算法假定在平穩(wěn)信號模型[13]下進行參數(shù)估計,并分別從估計精度、算法耗時、檢測誤差等方面考察本算法的性能。實驗中,輸入信號為服從高斯分布的遠場窄帶信號序列,噪聲為加性高斯白噪聲,與信源不相關(guān)。圓陣列結(jié)構(gòu)為圖1所示的UCA結(jié)構(gòu),其中陣元個數(shù)M=13,陣列半徑r與輸入信號波長λ之間滿足r=5λ,且信號波長λ=1 m。信源數(shù)為2,來波信號入射角度為(24°,110°)和(70°,20°)。信噪比為RSN=10 log10(Psi/),Psi=E(t)]為信源的平均功率。

圖2為本算法的DOA估計結(jié)果,其中信噪比RSN=10 dB,快拍數(shù)為64,角度分辨率取0.5°。2個估計角度分別為(24.5°,110.0°)和(69.5°,20.5°),估計值和真實值基本一致。

比較本算法與L1-SVD算法的計算量,其中快拍數(shù)為64,角度分辨率取1°,二維冗余字典長度為32 761。本算法耗時0.925 9 s,L1-SVD耗時為11.339 8 s。可見,采用“粗掃描”+“細掃描”的方法可大大減少計算時間,實時性大大提高。

選擇均方根誤差(RMSE)[15-16]考察本方法的估計性能。均方根誤差定義為:

仿真結(jié)果如圖3、4所示。圖3為本算法在2種快拍數(shù)下的均方根誤差曲線變化趨勢,從圖3可見,兩者變化基本一致,并且受快拍數(shù)影響較小。圖4為2種算法的均方根誤差,從圖4可見,本算法較L1-SVD具有更低的均方根誤差。其原因是貪婪類算法通過遞歸地對已選擇原子集合進行正交化以確保迭代達到最優(yōu),但該類算法最終是通過強制暫停迭代過程來調(diào)整重構(gòu)稀疏性;基于范數(shù)約束是利用可分離的罰函數(shù)實現(xiàn)優(yōu)化,但這些算法很難減小全局最小化誤差,甚至無法達到全局最小化;而本算法是在迭代優(yōu)化過程中自動剔除冗余向量基,從而調(diào)整重構(gòu)稀疏性,無需設(shè)置用于平衡稀疏性和重構(gòu)誤差的正則化參數(shù),所得優(yōu)化結(jié)果即為全局最優(yōu)解。

圖2 DOA估計的結(jié)果Fig.2 DOA estimation results

圖3 不同快拍數(shù)下均方根誤差Fig.3 RMSE under different snapshot numbers

圖4 2種算法的均方根誤差Fig.4 RMSE of L1-SVD method and the proposed approach

4 結(jié)束語

采用SAMP算法對輸入信號的DOA進行“粗掃描”,獲得候選集,構(gòu)建新的冗余字典,并以此構(gòu)造稀疏貝葉斯假設(shè)檢驗?zāi)Ｐ蛠硐氯哂嘧值渲械臒o效原子,選擇有效的冗余原子。本算法不僅降低了運算量,同時避免了對矩陣求逆,加快收斂速度。仿真結(jié)果表明,在低信噪比、快拍數(shù)較小的條件下,本算法對于信號空間DOA的分辨率優(yōu)于同類型的L1-SVD算法,具有較強的魯棒性,并能不受正則化參數(shù)選擇的約束。然而,本算法僅適合小快拍數(shù)情況,在快拍數(shù)比較大時仍然有一定的局限性。隨著快拍數(shù)增加,算法的計算量也會很大,這是下一步研究改進的方向。

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編輯:梁王歡

2D direction-of-arrival estimation by sparse Bayesian hypothesis testing criterion

Zhang Wenwu,Liu Qinghua
(School of Information and Communication Engineering,Guilin University of Electronic Technology,Guilin 541004,China)

In order to reduce the calculation cost on the circular array,a fast estimation method for 2D directions-of-arrival is proposed.The algorithm reconstructs the redundant dictionary based on the coarse scan and fine scan steps.It reconstructs the sparse model by the greedy algorithm.Then the sparse Bayesian hypothesis testing criterion is combined for solving the hyper parameters to get the impinge angels of sources.Experimental results show that this proposed algorithm is a kind of high estimation precision and detection performance algorithm.

2D direction-of-arrival estimation;sparse Bayesian hypothesis testing criterion;hyper parameter

TN911.7

A

1673-808X(2015)02-0110-06

2015-02-15

國家自然科學(xué)基金(61461012);廣西無線寬帶通信與信號處理重點實驗室主任基金(GXKL0614106);桂林電子科技大學(xué)研究生創(chuàng)新計劃(ZYC0815)

劉慶華(1974-),女,四川南江人,副教授,研究方向為自適應(yīng)信號處理。E-mail:qhliu@guet.edu.cn

張文武,劉慶華.稀疏貝葉斯假設(shè)檢驗準則下的二維波達方向估計[J].桂林電子科技大學(xué)學(xué)報,2015,35(2):110-115.