基于拋物方程的無線信道多徑傳輸參數估算

王滿喜，李永成，劉國柱，賈騰飛

（電子信息系統復雜電磁環境效應國家重點實驗室，河南 洛陽 471003）

基于拋物方程的無線信道多徑傳輸參數估算

王滿喜，李永成，劉國柱，賈騰飛

（電子信息系統復雜電磁環境效應國家重點實驗室，河南 洛陽 471003）

無線信道多徑傳輸特性是影響無線通信系統性能的重要因素之一。給出了利用拋物方程模型獲得無線傳輸信道的沖擊響應函數的方法，該方法具有計算簡單、精度較高的優點。利用2D拋物方程模型對不同場景下的多徑信道脈沖響應函數進行了預測仿真，仿真結果表明了基于拋物方程模型的多徑信道脈沖響應函數預測模型的可行性和精確性。

無線信道；多徑；拋物方程；信道脈沖響應函數

0 引言

無線信道多徑傳輸特性是影響無線通信系統性能的重要因素之一。靜態多徑環境通常會帶來接收干涉現象，即臨近位置之間接收信號強度呈現有規律波動，而移動多徑環境通常會帶來衰落現象，即接收信號強度在小尺度上的劇烈起伏變化，這些都會對無線通信系統的站址選擇、信號帶寬、移動速度等帶來限制和影響［1］，故一般在通信系統設計、覆蓋性能分析之前，都需要對無線信道的多徑參數進行測量和估算。

傳統的多徑信道參數計算方法都是基于大量的測量數據來建立無線信道的多徑模型，進而對無線信道的觀測統計特性進行分析；而近些年提出的基于射線追蹤的衰落信道分析方法［2］尚存在計算復雜、計算量大的缺點，在大尺度區域內很難保證實時性。在文獻［3］中，A．Barrios提出了基于標準拋物方程算法的寬帶波形傳輸信道的沖擊響應函數解算方法，該方法通過對拋物方程計算結果進行簡單處理即可得到傳輸信道的沖擊響應函數，具有計算簡單、精度較高的優點。

本文將文獻［3］中標準拋物方程（Parabolic Equation，PE）算法改進為寬角拋物方程算法，并利用分步傅里葉變換（Split-Step Fourier Transform，SSFT）實現了基于寬角拋物方程算法的無線多徑信道參數計算方法。該計算方法可用于外場試驗場區多徑傳播特性的理論估計和通信對抗內場仿真試驗系統信道模擬器信道沖擊響應函數的計算。

1 算法原理

1.1 拋物方程算法

拋物方程算法［4，5］是近年來興起的一種新型的電磁計算方法，它是從波動方程中推導出來的一種全波分析方法，一般被用來預測給定幾何關系后的單音信號源輻射場的幅度和相位。

拋物方程算法不需要極遠處的邊界條件，故可引進“行進解”，使拋物方程算法先在零距離處求解，然后用前一距離處的解作為初場，以小距離間隔向遠處求解。這樣只要確定了上部邊界條件和地面邊界條件，就可求出任意遠處的解，這種解比需要知道一閉域上大量未知邊界條件的求解容易計算。這樣，對流層中的傳播問題可以作為開域的邊界值問題求解。這一方法可以很好地解決折射率的水平不均勻問題，所以在解決對流層波導傳播問題和其他方法相比具有優越性。同時，由于拋物方程算法的下邊界條件是由大氣與地表分界面的形狀和電磁特性決定，大氣變化的影響在數值求解過程中體現，故其不僅能夠處理精確描述的復雜大氣結構，而且能夠處理復雜的地表起伏特性和電磁特性，故被認為是目前預測對流層大尺度電波傳播特性最準確的模型。

拋物方程算法由距離x和高度z的2D標量波動方程推導得到。假設空間電磁波波源具有頻率為ω的簡諧振蕩特性，則有

將其代入根據由麥克斯韋方程組推導出的電磁波齊次矢量波動方程，可得

此即自由空間中的亥姆霍茲（Helmholtz）矢量方程。

如果考慮到傳播媒介的折射效應，則在直角坐標系下，任意標量場分量ψ（x，z）滿足以下2D亥姆霍茲標量方程：

式中，假定了ψ（x，z）與y無關，對于水平極化波，只有Ey為非零的電場分量，此時ψ（x，z）＝Ey（x，z）；對于垂直極化波，只有Hy為非零的磁場分量，此時ψ（x，z）＝Hy（x，z）；k＝ω／c為波數，n（x，z）為隨距離（x）和高度（z）緩慢變化的傳播媒質折射指數。

在直角坐標系中，由于求解波動方程所用的時諧函數通常為e－ikx形式，因此，可定義沿x正向傳播的波函數u（x，z）為：

將其代入式（4）可得：

由于對于大氣為傳播媒介的情況，n（x，z）為隨距離（x）的變化更為緩慢，故可假設?（n2）／?x≈0，那么可將上式分解為：

這里，Q為偽微分算子，且

令式（7）的左邊第1項為0，可得前向傳播方程為：

令式（7）的左邊第2項為0，可得后向傳播方程為：

而我們所說的拋物方程即是式（9）表示的前向傳播方程，它是x的一階微分方程，是z的二階微分方程，故稱為拋物方程。如果對該拋物方程進行求解，則理論解為：

式（11）表明PE的求解是一個步進計算的過程，通過某一步進上的場分布就可以求出下一步進上的場。

但由于存在偽微分算子Q，因此上式在復雜的邊界條件下無法得到解析解，必須對Q做近似處理，通過數值解法來求解。對Q做不同形式的近似就得到了不同形式的拋物方程。令

利用不同的方法對偽微分算子Q進行近似，可以得到不同拋物方程算法：

①Taylor級數近似法。將Q按Taylor級數展開，取級數的前兩項，可得到所謂的標準PE，即SPE，

②Feit-Fleck近似法。由Feit和Fleck提出，即

將其代入式（9）即可得到Feit-Fleck型PE：

由Taylor級數近似導出的SPE是一個窄角拋物方程（NAPE），它在傳播仰角小于15°時具有很好的計算精度。SPE適合求解遠距離電波傳播問題，如著名的TPEM模型就是典型的基于SPE的電波傳播模型；由于Feit-Fleck所導出的PE模型在理論上可以計算仰角超過30°的傳播問題，因此稱為寬角拋物方程（WAPE）。Feit-Fleck型PE是目前最常用的寬角拋物方程（WAPE）算法，本文即采用的是該算法。

求解拋物方程目前常用的數值算法是分步傅里葉變換（SSFT）算法［5］。該算法的基本思想就是在PE的每一步進計算過程中，分離出偽微分算子Q，然后結合邊界條件，對其進行傅里葉變換運算，最后再與折射指數項相乘而求得最終解。SSFT算法對步長Δx的限制非常寬松，相對于有限差分（Finite Difference，FD）算法，Δx可以取很大，從而可以很快完成步進計算，而且SSFT采用FFT技術，不需要進行矩陣運算，因此SSFT求解速度很快，通常是FD算法的幾十倍。

文獻［5］給出了WAPE的SSFT解為：

式（16）可通過FFT技術實現快速求解。文獻［6］指出：式（16）中的傅里葉逆變換項等效為半空間中無限大導電屏對電波傳播的繞射效應。由此可以看出拋物方程SSFT解的意義［6］：在每一個步進上，指數項eik（n－2）Δx反映了傳播媒質對電波的折射效應，而指數項則反映了路徑上障礙物對電波的繞射效應，而所謂的分步傅里葉變換就是將折射指數項和繞射項分離，對每一步進處的繞射項進行傅里葉變換運算。

1.2 基于拋物方程算法的多徑信道參數計算方法

拋物方程模型能夠對電波傳播損耗進行準確預測，可滿足雷達性能評估、常規通信性能評估和布站規劃等方面的需求，可是它卻不能直接對多徑信道參數進行計算，這是因為拋物方程模型的每一次計算都是在單一頻率的條件下進行的，這對于易受多徑信道影響的采用跳頻和寬帶波形的通信現代通信系統而言，顯然僅考慮某一頻點（即使是中心頻點）上的傳播損耗來對通信系統性能進行評估是不充分的。文獻［1］給出了利用拋物方程算法進行多徑信道脈沖響應函數計算的方法。

根據式（16）可得到角頻率為ω的單頻信號源在高度z和距離x處的場u（ω，x，z）。那么從輻射源到接收機之間的通信信道的傳輸函數可表示為：

如果選定一定寬度的頻率帶寬和頻率間隔，那么通過式（17）可以得到一系列信道傳輸函數H（ωn，x，z），n為正整數。那么，對這些傳輸函數進行ω域上的傅里葉反變換即可得到信道的基帶脈沖響應函數：

式中，N為帶寬內選擇的頻率點的個數；Δf為頻率間隔；tm＝x／c＋mΔt，x為傳播距離，Δt為時域步進，即時域分辨率，m＝0，1，…，N－1，mΔt為脈沖響應函數窗口寬度。

2 參數選擇

在拋物方程計算中，為了提高計算有效性，利用FFT來將垂直空間Z域轉換到垂直空間頻率p域，其中，高度步進Δz由Nyquist準則來決定：

式中，θmax為每次算法運行時所選擇的PE仰角；c為光速；f為頻率。每次運行時，Δz可保持恒定以確保接收機在同一高度上。但是，固定了Δz，當f增加時θmax就需要減少。選擇合適的θmax需要考慮2個因素：①θmax需要足夠大來保證接收到的信號能夠盡可能地包括每一路多徑信號；②θmax也不能太大，以致PE算法的假設（在x方向上變化緩慢）得不到滿足。θmax的計算需要射線描跡法［2］進行計算，另外，由于θmax和頻率有關，因此，計算θmax實際上對感興趣帶寬的截至頻率進行了限定，從某種意義上說，這限制了能夠用這種拋物方程模型進行信道建模的帶寬。

除了θmax外，在進行脈沖響應函數計算前，還需要確定所欲預測信道的帶寬和頻率間隔，根據傅里葉變換的特性可知，傅里葉變換兩端的頻域參數和時域參數是密切相關。其中，信道脈沖響應函數的時域分辨率Δt等于帶寬的倒數，而信道脈沖響應函數的時間窗口mΔt則等于頻率步進的倒數，即

通常，時域分辨率Δt需要選擇盡量小以分辨盡可能小的多徑信號到達時間差，而時間窗口mΔt則需要盡量選擇長以確保每條多徑信號能夠在時間窗口內到達接收機，以免造成測量模糊。

例如，假設發射機高度為50 m，通信距離3 km，接收機高度分別為125 m、250 m、375 m和500 m，地面平坦且僅存在地面發射波。根據幾何位置關系，可算得到達4個接收機的直射波、反射波的到達時間以及兩者的到達時間如表1所示。

表1 接收機波達時間

根據表1中的計算結果，可選擇帶寬128 MHz，此時時間分辨率為7．8 ns，保證了對最小多徑時間差的分辨；頻率步進可選1 MHz，此時時間窗口為1 μs，可滿足164 ns的最大時差范圍。

3 仿真算例

3.1 平坦地面條件下的多徑信道脈沖響應函數計算

假設在平坦地面上，發射機高度為50 m，發射機波束寬度為10°，接收機位于距離發射機遠3 km遠的某一高度上，此時利用2D WAPE模型得到的傳播特性預測如圖1所示。

圖1 平坦地面條件下的傳播特性

根據表1中計算結果和參數選擇，假設通信信道頻帶中心是200 MHz，帶寬為128 MHz，即頻率范圍為136～264 MHz，此時時間分辨率為7．8 ns，頻率步進可選1 MHz，此時時間窗口為1 μs，通過式（21）計算可得到該信道的脈沖響應函數如2所示。

圖2 不同接收高度上的脈沖響應函數

圖2給出了接收機高度分別為125 m、250 m、375 m和500 m時的信道脈沖響應函數，圖中橫坐標的點位間距為時間分辨率（7．8 ns）。從圖2中可以看出，仿真結果清晰地展示了平坦地面條件下直射波和反射波的波達延時特性。通過仿真計算的波達延時特性和表1中理論結果的誤差如表2所示。從表2可以看出，利用基于拋物方程的多徑信道建模方法能夠準確地計算平坦地面條件下的通信信道脈沖響應函數，且精度較高，其誤差能夠保持在時間分辨率以內。

表2 接收機波達時間

3.2 不規則地形條件下的多徑信道脈沖響應函數計算

在上面的算例中，通過對平坦地面條件下的多徑信道脈沖響應函數解算，證明了利用基于拋物方程的多徑信道建模的可行性，本節將拋物方程的多徑信道脈沖響應函數解算方法應用到不規則地形條件下，以驗證其在復雜地形條件下的適應性。

仿真中仍然采用上面的假設條件，即發射機高度為50 m，通信距離3 km，接收機高度分別為125 m、250 m、375 m和500 m，但地形剖面采用的是3座連綿山峰，山峰高度按照正弦函數變化，山峰高度分別為20 m、30 m和50 m。在該條件下，由于直射波和反射波的時延范圍和表1計算結果相近，故仍采用頻率為136～264 MHz，頻率步進可選1 MHz，即時時間分辨率為7．8 ns，時間窗口為1 μs的計算設置。

圖3 不規則地形條件下的傳播特性

圖3給出了該條件下的電波傳播特性預測圖，從圖中可以看出，由于山峰的存在，在3 km距離上的不同高度的接收機所接收到的電磁波除了直射波以外，還將有不同斜率的山體的反射波，由于山峰的高度、距離和斜率不同，顯然將會有多個反射波出現。

圖4給出了接收機高度分別為125 m、250 m、375 m和500 m時的信道脈沖響應函數，同樣圖中橫坐標的點位間距為時間分辨率（7．8 ns），從圖4中可以看出，當接收機高度為125 m，由于地形的抬升，使得地面直射波、反射波之間的時延減小，故此時用7．8 ns的時間分辨率并不能將多徑信號區分開來；當接收機高度為250 m時，多徑時差漸漸拉大，通過圖示已經能夠看出共存在4路入射波，它們之間的時差約為2×7．8 ns＝15．6 ns；當接收機高度為375 m時，4路入射波的時差和幅值關系已經能夠得到清晰的展現，它們之間的時差分別為4×7．8＝31．8 ns、5×7．8＝39 ns和7×7．8＝54．6 ns；當接收機高度為500 m時，由于地形的不規則反射，此時共有3路主要的入射電波到達接收機，它們之間的時延分別為6×7．8＝46．8 ns和10×7．8＝78 ns，而相對時延為14×7．8＝109．2 ns的第4路入射波的強度已經非常微弱，該現象通過圖4也能夠看出來，而第4路入射波應該是第3座山峰的反射波。

圖4 不同接收高度上的脈沖響應函數

4 結束語

針對電波傳播領域中常見的多徑信道脈沖響應函數預測問題進行研究，重點研究了基于拋物方程的多徑信道脈沖響應函數預測算法及其實現，并利用2D拋物方程模型對不同場景下的多徑信道脈沖響應函數進行了預測仿真，仿真結果表明了基于拋物方程模型的多徑信道脈沖響應函數預測模型的適用性。

多徑信道脈沖響應函數預測是基于拋物方程的電波傳播預測模型的拓展應用。早期的多徑信道測量以實測和基于射線最終算法預測為主，但是隨著對拋物方程算法應用的逐步深入，利用拋物方程傳播模型來預測多徑信道參數現已日趨成熟，但目前仍限于2DPE方程的適用范圍，由于多徑信號的空間分布特性，故僅基于2DPE算法模型在一定程度上保留了預測結果的固有誤差。下一步的重要研究方向是考慮了垂直于傳播方向的側向障礙物的3DPE算法的多徑信道脈沖響應函數預測。

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Estimation on Multi-path Parameters of Wireless Channel Based on Parabolic Equation

WANG Man-xi，LI Yong-cheng，LIU Guo-zhu，JIA Teng-fei
（State Key Laboratory of Complex Electromagnetic Environment Effects on Electronics and Information System，Luoyang He’nan，471003，China）

The multipath propagation is one of the most important factors which can impact the performance of wireless communi-cation system．The method is proposed to get the impulse response function of propagation channel just from the results of parabolic equation models．The method has such advantages as simple computation and high accuracy．The predictive simulation is performed for multipath channel impulse response function in different scenarios by using 2D parabolic equation model．The simulation results prove the feasibility and accuracy of multipath channel impulse response function predictive model based on parabolic equation model．

wireless channel；multi-path；parabolic equation；channel impulse response function

TN011．3

A

1003－3106（2015）07－0001－05

10．3969／j．issn．1003－3106．2015．07．01

王滿喜，李永成，劉國柱，等．基于拋物方程的無線信道多徑傳輸參數估算［J］．無線電工程，2015，45（7）：1－5，26．

王滿喜男，（1979—），博士，助理研究員。主要研究方向：通信與電波傳播、電磁環境效應機理等。

2015-04-18

電子信息系統復雜電磁環境效應國家重點實驗室基礎研究項目（CEMEE2014Z0210B）。

李永成男，（1978—），碩士，工程師。主要研究方向：無線信道建模、認知無線電等。