一類包含集值映射的H-半變分不等式解的存在性

林珍香，阮志毅，鐘一文

（1.福建農林大學計算機與信息學院，福建福州350002；2.海南師范大學數學與統計學院，海南海口571158）

一類包含集值映射的H-半變分不等式解的存在性

林珍香1，阮志毅2，鐘一文1

（1.福建農林大學計算機與信息學院，福建福州350002；2.海南師范大學數學與統計學院，海南海口571158）

考慮一類包含集值算子的H-半變分不等式問題，應用廣義的φ-α-穩定單調和著名的KKM定理證明這類問題解的存在性.

H-半變分不等式；KKM定理；Clarke方向導數

假設E為一個自反的Banach空間，E?為其共軛空間.并且假設K為E上的一個非空、有界、閉凸子集，T：E→Lp（Ω；Rk）為一個線性連續緊算子其共軛算子為T?：Lq（Ω；Rk）→E?，其中1＜p＜∞，1≤k，q為p的共軛指數.若設J：Lp（Ω；Rk）→R為任一局部Lipschitz泛函，則可引入廣義Clarke方向導數J°（u，v）和廣義的Clarke梯度

于是，可以定義如下這樣一個集合

本文主要研究此類包含集值映射的H-半變分不等式問題（P），具體描述如下：（P）找到一個u∈K，以及u?∈A（u）使得

利用KKM定理將得到問題（P）解的存在性定理.

定理1設K是一個實自反Banach空間E上的一個非空、有界、閉凸子集.假設如下條件成立：

（H1）h：E→R是一個非負弱連續泛函；

（H2）F：E→E?為一個算子并且滿足如下函數是弱下半連續的：

（H3）T：E→Lp（Ω；Rk）是一個線性緊映射；

（H4）J：Lp（Ω；Rk）→R為一個局部Lipschitz泛函；

（H5）A：E→P（E?）為下半連續并且關于集合W為φ-穩定擬單調的；

（H6）φ：E→R為一個真凸下半弱連續泛函.

那么，問題（P）至少存在一個解.

1 主要定義和引理

記P（E）為自反的Banach空間E上的所有非空子集合，同時定義集值算子A：E→P（E?），并且記co｛u1，u2，…，un｝為｛u1，u2，…，un｝的凸包.

定義1A：E→P（E?）是一個集值算子，兩個單值函數φ：E→R和α：E→R.如果對于任意的ξ∈W以及任意的u，v∈K都滿足……