拉伸-剪切耦合層合板優(yōu)化設(shè)計(jì)及其應(yīng)用*

李謹(jǐn)，唐國金(國防科技大學(xué)航天科學(xué)與工程學(xué)院，湖南長沙410073)

拉伸-剪切耦合層合板優(yōu)化設(shè)計(jì)及其應(yīng)用*

李謹(jǐn)，唐國金
(國防科技大學(xué)航天科學(xué)與工程學(xué)院，湖南長沙410073)

針對標(biāo)準(zhǔn)鋪層拉伸-剪切耦合層合板耦合效應(yīng)弱的缺點(diǎn)，提出利用優(yōu)化法的自由鋪層拉伸-剪切耦合層合板的設(shè)計(jì)方法。推導(dǎo)了只具有拉伸-剪切耦合效應(yīng)的層合板應(yīng)滿足的條件。優(yōu)化得到了7～14層的自由鋪層拉伸-剪切耦合對稱層合板。對比分析了自由與標(biāo)準(zhǔn)鋪層拉伸-剪切耦合層合板的屈曲強(qiáng)度與穩(wěn)定性。采用自由鋪層拉伸-剪切耦合層合板設(shè)計(jì)了拉伸-扭轉(zhuǎn)耦合結(jié)構(gòu)。研究表明:自由鋪層的拉伸-剪切耦合層合板的屈曲強(qiáng)度以及穩(wěn)定性要顯著弱于標(biāo)準(zhǔn)鋪層層合板，但具有更強(qiáng)的耦合效應(yīng)；隨著層數(shù)的增加，自由鋪層的拉伸-剪切耦合層合板的最大耦合效應(yīng)逐漸減小。

拉伸-剪切耦合效應(yīng)；層合板；優(yōu)化設(shè)計(jì)；屈曲強(qiáng)度；拉伸-扭轉(zhuǎn)耦合

圖1 拉伸-剪切耦合效應(yīng)Fig.1 Extension-shear coupling

利用復(fù)合材料層合板(以下簡稱層合板)的耦合效應(yīng)可以設(shè)計(jì)多種類型的耦合結(jié)構(gòu)［1-4］。其中，具有拉伸-剪切耦合效應(yīng)的層合板(如圖1所示)被廣泛用于各種拉伸-扭轉(zhuǎn)、彎曲-扭轉(zhuǎn)耦合結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)。Nixon［5］采用具有拉伸-剪切耦合效應(yīng)的對稱均衡層合板，設(shè)計(jì)了具有拉伸-扭轉(zhuǎn)耦合效應(yīng)的傾轉(zhuǎn)旋翼機(jī)槳葉；然而這種對稱均衡層合板不僅具有拉伸-剪切耦合效應(yīng)，還具有顯著的彎曲-扭轉(zhuǎn)耦合效應(yīng)，彎曲-扭轉(zhuǎn)耦合效應(yīng)不但會顯著降低層合板的屈曲強(qiáng)度［6］，還會使結(jié)構(gòu)的耦合行為變得復(fù)雜。Baker［7］采用對稱非均衡的拉伸-剪切耦合層合板，設(shè)計(jì)了具有彎曲-扭轉(zhuǎn)耦合效應(yīng)的機(jī)翼結(jié)構(gòu)；類似的，這種對稱非均衡的拉伸-剪切耦合層合板也具有顯著的彎曲-扭轉(zhuǎn)耦合效應(yīng)。針對上述不足，York［8］設(shè)計(jì)了一種采用標(biāo)準(zhǔn)鋪層(鋪層角為±45°，0°，90°)的拉伸-剪切耦合非對稱層合板，這種類型的層合板只具有拉伸-剪切耦合效應(yīng)而不具有其他耦合效應(yīng)，從而避免了彎曲-扭轉(zhuǎn)耦合效應(yīng)對層合板屈曲強(qiáng)度和結(jié)構(gòu)耦合行為的不良影響；然而此種類型層合板的拉伸-剪切耦合效應(yīng)較弱，制約了其在耦合結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用。

1 拉伸-剪切耦合層合板設(shè)計(jì)

基于經(jīng)典層合板理論，層合板的剛度方程可寫為

式中，Nx，Ny，Nxy與Mx，My，Mxy分別為層合板單位寬度的內(nèi)力以及內(nèi)力矩，εx，εy，γxy為層合板中面應(yīng)變，κx，κy，κxy為層合板中面彎曲曲率和扭曲率。Aij，Bij，Dij分別為拉伸剛度系數(shù)、耦合剛度系數(shù)和彎曲剛度系數(shù)。層合板的剛度系數(shù)可用兩組相互獨(dú)立的參數(shù)表示:僅與單層板材料屬性相關(guān)的材料常數(shù)(Ui)和僅與鋪層規(guī)律相關(guān)的幾何因子(ξi)［10］。如式(2)～(4)所示。

其中，幾何因子與材料常數(shù)的表達(dá)式如式(5)～ Qij為單層板材料主方向上的剛度系數(shù)，θk為第k層單層板的鋪層角，zk為第k層單層板到中面的距離(中面以上為負(fù)，中面以下為正)，H為層合板厚度。

根據(jù)定義，拉伸-剪切耦合層合板的剛度系數(shù)應(yīng)滿足:拉伸剛度矩陣A中的所有元素都不為零，耦合剛度矩陣B等于零，彎曲剛度矩陣D中的彎曲-扭轉(zhuǎn)耦合項(xiàng)(D16，D26)等于零。即拉伸-剪切耦合層合板的剛度方程應(yīng)滿足

依據(jù)式(2)～(4)，可以得到拉伸-剪切耦合層合板的鋪層規(guī)律應(yīng)滿足的充要條件為

根據(jù)式(5)幾何因子的定義，式(9)可以表示為

理論上，求解式(10)所列的由6個(gè)方程組成的方程組就可以得到拉伸-剪切耦合層合板的鋪層規(guī)律。但這要求方程組中未知量(即每一層單層板的鋪層角度)的個(gè)數(shù)必須不超過6個(gè)，否則方程難以求解。顯然，在實(shí)際設(shè)計(jì)過程中難以通過直接求解方程的方法來得到滿足設(shè)計(jì)要求的拉伸-剪切耦合層合板。

考慮到自由鋪層層合板的鋪層角度是區(qū)間(-90°，90°］上的連續(xù)變量，引入優(yōu)化設(shè)計(jì)的方法來求解拉伸-剪切耦合層合板的鋪層規(guī)律。以層合板每一層的鋪層角度作為優(yōu)化設(shè)計(jì)變量，以拉伸-剪切耦合效應(yīng)最大作為優(yōu)化目標(biāo)，以式(9)所示的拉伸-剪切耦合層合板應(yīng)滿足的條件作為優(yōu)化約束條件，將層合板的鋪層設(shè)計(jì)問題轉(zhuǎn)化為帶約束的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題。層合板的拉伸-剪切耦合效應(yīng)最大可等效為其拉伸-剪切耦合柔度系數(shù)最大。故此優(yōu)化問題可表示為

其中，a16為層合板的拉伸-剪切耦合柔度系數(shù)，可以由式(12)求得。需要說明的是，在此優(yōu)化過程中僅以層合板的耦合效應(yīng)為優(yōu)化目標(biāo)，但在實(shí)際結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)還應(yīng)根據(jù)需要引入其他設(shè)計(jì)指標(biāo)，例如屈曲強(qiáng)度、剛度等，以確保得到的鋪層規(guī)律滿足結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)要求。

為了減少優(yōu)化變量，將優(yōu)化對象限定為對稱層合板。采用序列二次規(guī)劃法求解此優(yōu)化問題。序列二次規(guī)劃法是一種依賴于目標(biāo)梯度的優(yōu)化算法，而作為優(yōu)化目標(biāo)的拉伸-剪切耦合柔度系數(shù)并不是一個(gè)單峰函數(shù)。為了避免優(yōu)化得到的僅是局部最優(yōu)解，采用隨機(jī)生成初值進(jìn)行多次優(yōu)化，再從多次優(yōu)化的結(jié)果中選取最優(yōu)解的方法來確保最終得到的優(yōu)化結(jié)果是全局最優(yōu)解。求解過程中選用的單層板材料參數(shù)見表1。

表1 材料參數(shù)Tab.1 Material properties

表2給出了優(yōu)化得到的7～14層自由鋪層拉伸-剪切耦合對稱層合板的鋪層規(guī)律。考慮到實(shí)際工藝的精度，將表2中所列鋪層的鋪層角圓整到小數(shù)點(diǎn)后1位，圓整的結(jié)果見表3。需要說明的是，由于對優(yōu)化得到的精確結(jié)果進(jìn)行了圓整處理，表3中的部分鋪層規(guī)律并不能嚴(yán)格滿足拉伸-剪切耦合層合板的條件。從表3中可以看出，隨著層數(shù)的增加，自由鋪層拉伸-剪切耦合層合板的最大拉伸-剪切耦合效應(yīng)在逐漸減小。這是由于隨著層合板的厚度增加，層合板的剪切剛度也在逐漸增大。

表2 自由鋪層拉伸-剪切耦合層合板Tab.2 Free-form laminates with extension-shear coupling

表3 圓整后的自由鋪層拉伸-剪切耦合層合板Tab.3 Rounding free-form laminates with extension-shear coupling

文獻(xiàn)［8］得到了4種14層的標(biāo)準(zhǔn)鋪層拉伸-剪切耦合非對稱層合板，見表4。計(jì)算發(fā)現(xiàn)，表4中編號1，2和編號3，4的標(biāo)準(zhǔn)鋪層層合板分別具有相同的剛度系數(shù)，分別將其命名為S1和S2。對比表3與表4可以發(fā)現(xiàn)，自由鋪層層合板的拉伸-剪切耦合效應(yīng)要顯著強(qiáng)于標(biāo)準(zhǔn)鋪層層合板。

表4 標(biāo)準(zhǔn)鋪層拉伸-剪切耦合層合板Tab.4 Standard-form laminateswith extension-shear coupling

2 屈曲強(qiáng)度分析

為了對比自由與標(biāo)準(zhǔn)鋪層拉伸-剪切耦合層合板的屈曲強(qiáng)度，選取表3中的自由鋪層拉伸-剪切耦合層合板與表4中的標(biāo)準(zhǔn)鋪層拉伸-剪切耦合層合板進(jìn)行分析。

考慮均布單向平面壓力下的簡支矩形層合板，如圖2所示，其四邊簡支，沿x方向受到均勻平面力的作用。

圖2 均布單向平面壓力下的簡支矩形層合板Fig.2 Simply supported laminated rectangular plate under uniform uniaxial in-plane compression

拉伸-剪切耦合層合板的屈曲方程［9］可表示為

但是，式(16)中的彎曲剛度系數(shù)D22會隨著鋪層角度的變化而變化，這會影響不同層合板的屈曲強(qiáng)度的對比結(jié)果。因此引入和鋪層角無關(guān)的等效彎曲剛度DIso［11］代替D22，則式(16)可以表示為

圖3給出了標(biāo)準(zhǔn)鋪層拉伸-剪切耦合層合板與7～14層自由鋪層拉伸-剪切耦合層合板的屈曲載荷隨板長寬比的變化曲線。由于7～14層自由鋪層拉伸-剪切耦合層合板的屈曲載荷曲線區(qū)別很小，所以圖3中只標(biāo)示出其上、下邊界。從圖3中可以看出:自由鋪層拉伸-剪切耦合層合板的屈曲強(qiáng)度要顯著弱于標(biāo)準(zhǔn)鋪層拉伸-剪切耦合層合板的；7～14層自由鋪層拉伸-剪切耦合對稱層合板中，11層拉伸-剪切耦合層合板的屈曲載荷最大，9層拉伸-剪切耦合層合板的屈曲載荷最小。

圖3 拉伸-剪切耦合層合板屈曲載荷Fig.3 Buckling load for laminateswith extension-shear coupling

3 穩(wěn)定性分析

由于拉伸-剪切耦合層合板的耦合剛度矩陣B等于零，所以不論采用對稱鋪層還是非對稱鋪層，理論上其在固化時(shí)均不會因?yàn)闇?濕度變化而產(chǎn)生翹曲變形。然而實(shí)際鋪層角與理論設(shè)計(jì)值之間不可避免地會存在偏差，從而會導(dǎo)致拉伸-剪切耦合層合板發(fā)生固化翹曲變形。為了確保設(shè)計(jì)出的拉伸-剪切耦合層合板具有實(shí)用性，實(shí)際鋪層角與理論設(shè)計(jì)值間的細(xì)微偏差不應(yīng)導(dǎo)致層合板發(fā)生顯著的固化翹曲變形。為此下面采用Monte Carlo法分析鋪層角度存在偏差時(shí)拉伸-剪切耦合層合板的固化翹曲變形。利用Monte Carlo法分析層合板穩(wěn)定性的途徑可歸納為三個(gè)基本步驟:

1)隨機(jī)參數(shù)抽樣，根據(jù)隨機(jī)參數(shù)的已知概率分布進(jìn)行隨機(jī)抽樣；

2)層合板響應(yīng)求解，針對每個(gè)抽取樣本，基于經(jīng)典層合板理論求解層合板的響應(yīng)(如溫度改變時(shí)層合板的翹曲變形等)；

3)響應(yīng)量的統(tǒng)計(jì)分布。

分別選取表3中14層自由鋪層拉伸-剪切耦合層合板和表4中14層標(biāo)準(zhǔn)鋪層拉伸-剪切耦合層合板為例進(jìn)行對比分析。

為了直觀描述層合板固化翹曲變形的程度，采用文獻(xiàn)［10］提出的方法，用溫度變化引起的層合板撓度變化表征層合板的固化翹曲變形的程度。設(shè)某矩形層合板的長度與寬度分別為a，b，建立如圖4所示的坐標(biāo)系。層合板在(0，0)、(a，0)、(0，b)三個(gè)角點(diǎn)處簡支，在角點(diǎn)(a，b)處自由。當(dāng)溫度變化時(shí)，層合板上任一點(diǎn)的撓度可表示為

圖4 矩形層合板的熱撓度Fig.4 Deflection of a rectangular laminate

則溫度變化引起的層合板自由角點(diǎn)處的撓度可表示為

用層合板的厚度H對撓度進(jìn)行無量綱化處理，可以得到

采用式(22)計(jì)算溫度改變時(shí)層合板自由角點(diǎn)處的撓度。計(jì)算過程中選取典型高溫固化過程的溫度改變量ΔΤ=-180℃［11］。假定實(shí)際鋪層角與理論設(shè)計(jì)值之間的偏差隨機(jī)分布在區(qū)間［-1°，1°］上，每次抽取10 000組偏差樣本進(jìn)行分析。

圖5與圖6分別給出了溫差為-180℃時(shí)，14層自由和標(biāo)準(zhǔn)鋪層拉伸-剪切耦合層合板的撓度等距頻率直方圖。由圖5、圖6可以得出如下結(jié)論:鋪層角存在偏差時(shí)，14層自由鋪層拉伸-剪切耦合層合板的熱撓度分布在區(qū)間［-1.6H，1.6H］上；鋪層角存在偏差時(shí)，14層標(biāo)準(zhǔn)鋪層拉伸-剪切耦合層合板的熱撓度分布在區(qū)間［-0.4H，0.4H］上；相比于自由鋪層，存在鋪層偏差的標(biāo)準(zhǔn)鋪層拉伸-剪切耦合層合板產(chǎn)生的熱撓度更小，即標(biāo)準(zhǔn)鋪層拉伸-剪切耦合層合板具有更好的濕熱翹曲變形穩(wěn)定性。

圖5 14層自由鋪層拉伸-剪切耦合層合板存在鋪層角度偏差時(shí)的熱撓度等距頻率直方圖Fig.5 Histograms of thermal deflection because of layup errors for 14-ply free-form extension-shear coupled laminate

圖6 14層標(biāo)準(zhǔn)鋪層拉伸-剪切耦合層合板存在鋪層角度偏差時(shí)的熱撓度等距頻率直方圖Fig.6 Histograms of thermal deflection because of layup errors for14-ply standard-form extension-shear coupled laminate

4 拉伸-扭轉(zhuǎn)耦合結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

拉伸-剪切耦合層合板可以用于多種耦合結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)，例如拉伸-扭轉(zhuǎn)耦合傾轉(zhuǎn)旋翼機(jī)槳葉［5］、拉伸-扭轉(zhuǎn)耦合自適應(yīng)風(fēng)力發(fā)電機(jī)葉片［3］等。下面采用本文得到的自由鋪層拉伸-剪切耦合層合板設(shè)計(jì)拉伸-扭轉(zhuǎn)耦合結(jié)構(gòu)，并運(yùn)用有限元法對懸臂梁的耦合效應(yīng)進(jìn)行驗(yàn)證。

不論是風(fēng)機(jī)葉片還是傾轉(zhuǎn)旋翼機(jī)槳葉，都可以將其簡化為盒形懸臂梁模型。將得到的自由鋪層拉伸-剪切耦合層合板布置為懸臂梁的上面板，懸臂梁下面板的鋪層角與上面板的互為相反數(shù)，這樣就可以確保上、下面板在方向相同的軸向力的作用下產(chǎn)生方向相反的剪切變形。左、右腹板為各向同性材料。當(dāng)懸臂梁受到軸向力作用時(shí)，上、下面板發(fā)生方向相反的剪切變形，如圖7所示，進(jìn)而引起整個(gè)梁的扭轉(zhuǎn)變形，如圖8所示。

圖7 上下面板變形Fig.7 Deformation of the top and bottom skins

圖8 拉伸-扭轉(zhuǎn)耦合變形Fig.8 Extension-twist coupled deformation

采用有限元法對上述盒型懸臂梁的拉伸-扭轉(zhuǎn)耦合效應(yīng)進(jìn)行數(shù)值仿真。采用四節(jié)點(diǎn)殼單元建立盒型懸臂梁有限元模型，梁長3m，矩形截面尺寸為0.3m×0.13m，如圖9所示。將表3中7層自由鋪層拉伸-剪切耦合層合板布置為懸臂梁的上面板，懸臂梁下面板的鋪層角與上面板的互為相反數(shù)。懸臂梁一端固支，自由端施加5kN的軸向拉力。仿真過程選用表1所示的單層板材料參數(shù)。

圖10給出了懸臂梁在自由端軸向拉力作用下的位移云圖。從圖10中可以看出，在軸向拉力作用下，盒型梁發(fā)生了顯著的扭轉(zhuǎn)變形，梁的自由端轉(zhuǎn)角約為0.21°，從而驗(yàn)證了結(jié)構(gòu)的拉伸-扭轉(zhuǎn)耦合效應(yīng)。

圖9 盒型懸臂梁有限元模型Fig.9 Finite elementmodel of a cantilever box-beam

圖10 盒型懸臂梁拉力作用下的變形示意圖Fig.10 Deformation of a cantilever box-beam relating an applied axial force

5 結(jié)論

1)存在自由鋪層的拉伸-剪切耦合對稱層合板，其最大拉伸-剪切耦合效應(yīng)要顯著強(qiáng)于標(biāo)準(zhǔn)鋪層拉伸-剪切耦合層合板。

2)自由鋪層拉伸-剪切耦合層合板的最大拉伸-剪切耦合效應(yīng)隨著層數(shù)的增加逐漸減小。

3)通過最優(yōu)化耦合效應(yīng)得到的自由鋪層拉伸-剪切耦合對稱層合板的屈曲強(qiáng)度與穩(wěn)定性要顯著弱于標(biāo)準(zhǔn)鋪層拉伸-剪切耦合層合板。因此實(shí)際應(yīng)用中應(yīng)根據(jù)需要引入其他設(shè)計(jì)指標(biāo)，例如屈曲強(qiáng)度、剛度等，以確保得到的鋪層滿足結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)要求。

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Optim ization design of extension-shear coup led lam inates and application in extension-tw ist coup led structure

LIJin，TANG Guojin
(College of Aerospace Science and Engineering，National University of Defense Technology，Changsha 410073，China)

Focusing on the deficiencies of standard-form laminate with extension-shear coupling，such as weak extension-shear coupling，the design method for free-form laminatewith extension-shear coupling using themethod of optimization design was proposed.Necessary and sufficient material-independent conditions were derived for extension-shear coupled laminates.The stacking sequences of 7-ply to 14-ply free-form laminates with extension-shear couplingwere derived.Comparisonsweremade on buckling strength and robustness of extension-shear coupled laminates.The free-form laminate with extension-shear coupling was used to design structure with extension-twist coupling.Compared to the standard-form laminate，the free-form laminate with extension-shear coupling is worse in buckling strength and robustness，while it’s stronger in coupling.The results also indicate that with an increase in the number of plies，the maximum extension-shear coupling flexibility coefficient of the free-form laminate decreases.

extension-shear coupling；laminate；optimization design；buckling strength；extension-twist coupling

TB330.1

A

1001-2486(2015)05-121-07

10.11887/j.cn.201505019

http://journal.nudt.edu.cn

2014-11-25

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11472003)

李謹(jǐn)(1986—)，男，江蘇連云港人，博士研究生，E-mail:lijin@nudt.edu.cn；唐國金(通信作者)，男，教授，博士，博士生導(dǎo)師，E-mail:tanggj@nudt.edu.cn