最大值指標截尾正態分布精度換算方法*

韓旭，孫翱(.中國人民解放軍9550部隊，遼寧大連6023；2.中國人民解放軍92493部隊博士后工作站，遼寧葫蘆島2500)

最大值指標截尾正態分布精度換算方法*

韓旭1，2，孫翱1
(1.中國人民解放軍91550部隊，遼寧大連116023；
2.中國人民解放軍92493部隊博士后工作站，遼寧葫蘆島125001)

提出了面向最大值指標的截尾正態分布精度換算方法，為最大值指標與常用精度指標間的精度換算以及真值測量系統精度指標的確定提供了參考依據。該方法假設系統輸出序列中各觀測點的合格概率服從對數截尾正態分布；根據給定最大值指標的置信水平及序列樣本量，證明并推導了截尾正態分布之截尾上限、截尾下限、均值及標準偏差的計算公式，導出了最大值精度指標與1σ等常用精度指標間的換算關系；結合精密儀器有關理論給出了最大值指標下真值測量系統精度指標的確定方法。實例應用的實驗結果表明，該方法是可行的。

精度換算；截尾正態分布；最大值指標

現代武器系統對于武器在極端條件下的長期可靠性工作能力要求越來越高，這也對系統的試驗、測試實施等提出了更高的要求，以至于有些沿用多年的試驗方法、試驗理論也必須隨之做出調整。最大值指標就是在這樣的歷史條件下為適應武器實戰需求而產生的。文獻［1-2］中通過大量的理論研究與實例分析，為最大值指標的實踐應用提供了較好的理論支撐。但最大值指標與其他精度指標度量基準間的精度換算仍是一個亟待解決的問題。由最大值指標的定義可知，最大值指標的精度換算問題并不是簡單的恒等換算就能解決的。而從科學研究的層面看，各領域中有關此類復雜、非恒定等價換算關系的研究也容易形成熱點。例如，在軟件工程領域，文獻［3］對功能點分析(Function Point Analysis，FPA)及通用軟件度量國際協會(COmmon Software Measurement International Consortium，COSMIC)準則之間的功能點估算規模換算問題進行了研究；文獻［4-6］則對視頻處理領域二維、三維視頻標準的數據格式換算問題進行了探討；而在微處理器電路設計領域，文獻［7-8］則對信號處理領域中定、浮點數據間的格式換算問題進行了研究；文獻［9-13］也分別針對各自領域生產實踐中遇到的坐標變換問題進行了研究。總而言之，盡管人們對于這類復雜、非恒定等價換算關系的研究手段有所不同，但其基本解題思路卻是一致的，即采取設定某些約束條件的方法將復雜問題簡單化，從而求得有條件的等價換算關系，為特定工程實踐提供參考。

1 最大值指標的精度換算

1.1 問題分析

由文獻［1］中最大值指標的定義可以看出:在給定的最大值指標H0的條件下，最大值指標之高低由樣本區間及其給定的置信水平決定。事實上，樣本區間對于最大值指標的影響主要是經由被測系統樣本量n來體現的。從而，當給定置信水平1-α時，若被測系統的最大值指標也等于H0，則對于單個樣本觀測點，其合格概率(即不超過最大值指標H0的概率)應介于區間(1-α，1)內。設對于單個樣本觀測點i而言，其合格概率為pi∈(1-α，1)，則:

故可做如下假設:設所有樣本觀測點的對數合格概率都服從均值為n(1-α)的雙側截尾正態分布，其截尾下限A=ln(1-α)，截尾上限B=ln1=0。由于當n＞2時，總有-(1-α)＜(1-α)，且分布的均值點更接近于截尾上限，故該截尾分布為非對稱的雙側截尾正態分布。

1.2 原正態分布與截尾正態分布函數關系推導原正態分布與截尾正態分布的主要區別在于其自變量的取值范圍不同，原正態分布為(-∞，+∞)，截尾正態分布為［A，B］。假設截尾正態分布的均值及標準偏差分別為μc和σc，原正態分布的均值和標準偏差為μ0和σ0。則由式(3)可得:

而對原正態分布N(μ0，σ0)而言，其概率密度函數為:

工程實踐中，若被試系統工作穩定，其最大值指標下各觀測點合格概率也不會差別過大，即分布N(μ0，σ0)的標準偏差σ0變化不大。因此，可假設截尾正態分布的截尾上限B為原正態分布N(μ0，σ0)的3σ分界點，即:

則根據條件概率計算公式，當自變量x∈［A，B］時，截尾正態分布之概率密度函數及累積分布函數分別為:

下面推導原正態分布與截尾正態分布均值及方差的關系。假設原正態分布為N(μ0，σ0)，則截尾正態分布均值:

下面推導截尾正態分布的方差。首先求取截尾正態分布二階原點矩:

從而求得截尾正態分布的方差為: DX=E(x2)-

進而得到截尾正態分布標準偏差如式(17)所示:

從前面的推導過程看，由式(4)可計算得到截尾正態分布均值μc；由式(7)可得到原正態分布均值μ0與標準偏差σ0的函數解析式；若再能利用截尾正態分布均值μc推導得到μ0，則根據式(17)即可解算出σc，從而得到截尾正態分布的分布函數。

1.3 求解截尾正態分布標準偏差

由于根據式(12)直接由μc求解μ0的函數關系過于復雜，這里以式(12)為依托，使用數值方法求取函數μ0(μc)的近似解。首先驗證式(12)中函數的單調性。

將式(7)代入式(12)，有:

再對式(18)做求導運算，可得:

可得:

故總有˙μc＞0，即當μ0∈［A，B］時，函數μc(μ0)是自變量μ0的單調遞增函數，可使用數值方法求取函數μ0(μc)的近似解，再將μc，μ0，σ0代入式(17)，即可解算出截尾正態分布的標準偏差σc。數值方法近似求解σc的流程如圖1所示。pi下的對數截尾正態分布均值μc及標準偏差σc。故，當取截尾正態分布置信水平為βc時，根據單邊正態分布的有關特性，截尾正態分布的分位數:

圖1 截尾正態分布標準偏差數值求解流程Fig.1 Workflow for approximate solution of standard error under truncated normal distribution

式中，k=Φ-1(βc)。則合格概率分位水平βc下觀測點的保精度合格概率:

這樣，當取最大值指標為H0時，其最大值指標度量基準換算為1σ度量基準下的精度指標為:

根據式(27)，圖2、圖3分別給出了給定截尾正態分布置信水平βc=0.5及給定最大值指標置信水平1-α=0.9條件下最大值指標與kσ(k＞0)精度度量基準間的換算關系。

圖2 βc=0.5時，最大值指標與kσ基準的換算關系Fig.2 Precision conversion relationship between maximum-error specification and kσ specification whenβc=0.5

由圖2、圖3可知，當樣本量n＞10 000時，最大值指標與kσ度量基準的精度換算主要受樣本量n影響，截尾正態分布置信水平βc對精度換算的影響小于10%，而最大值指標置信水平1-α對精度換算的影響也不超過20%。當樣本量n＞107時，最大值指標與kσ度量基準的精度換算受樣本量n的影響更為顯著，截尾正態分布置信水平βc對精度換算的影響小于5%，最大值指標置信水平1-α對精度換算的影響則小于10%。可見，樣本量越大，βc，1-α取值對精度換算的影響就越小。當樣本量大于10 000時，可忽略βc的影響，此時，若令βc=0.5，則有k==0，則由式(26)、式(4)得p=(1-α)代入式(27)可得大樣本量下最大值指標H0換算為1σ度量基準下精度指標:

圖3 1-α=0.9時，最大值指標與kσ基準的換算關系Fig.3 Precision conversion relationship between maximum-error specification and kσ specification when 1-α=0.9

2 真值測量系統精度指標的確定

2.1 常值精度指標的確定方法

真值測量系統精度指標的選定應主要參照精密儀器領域的“1/3法則”或“1/10法則”［14］進行。這樣，結合式(27)、式(28)后，即可確定出能夠滿足最大值指標設備標定的1σ度量基準下真值測量系統的最低精度指標需求。方法如下:

設真值測量系統調節系數為c∈(1/10，1/3)，根據式(28)，大樣本條件下，按1σ度量基準統計時，真值測量系統的最低精度指標要求:

而當樣本量不大時，根據式(27)，可按式(30)確定1σ度量基準下的真值測量系統最低精度指標:

這里要注意，最大值指標條件下的“低精度”在工程實踐中可能并非就是低精度。由圖2、圖3可知，當樣本量大于1000時，最大值指標總是高于3σ條件下的相應標準，此時的最大值指標應按照通常意義下的高精度測量標準對待，式(29)、式(30)中調節系數c應參照“1/3法則”取值。真值測量系統精度指標的選擇必須綜合考查實踐成本等現實因素。

2.2 帶有時間協變量的精度指標的確定方法

對于帶有時間協變量的情形，設協變量序列為Xi，設協變量X與最大值指標H間的函數關系為:

式中:H0為最大值指標的常值部分；f(X)為變值部分，由時間協變量決定。由此，帶有時間協變量的最大值指標真值測量系統精度指標可按式(32)確定:

式中，E(f(X))為協變函數f(X)均值。低精度測量中可取:

式中，?f(X)」為協變函數f(X)值域下界。

3 應用舉例

下面參照美國MK39 MOD3C型激光陀螺慣性導航系統［1］的精度指標，對最大值指標下的真值測量系統精度指標確定方法進行舉例說明。

例1假設被測高精度慣導的數據輸出頻率為100Hz，其240h內的最大值精度指標為:

航向角:7'/cosφ，其中，-85°≤φ≤85°，為載體所在緯度；位置:10海里；線速度:0.6節；縱/橫搖角:3'；角速度變化率:0.003°/s。

計算樣本量n=240×3600×100=8.64×107?10 000，屬大樣本。由式(29)，令α=0.1，βc= 0.5，c=1/3，求得該型慣導的真值測量設備按1σ精度度量基準考量時的最低精度指標分別為:

航向角:23.33″/cosφ；位置:0.55海里；線速度:0.033節；縱/橫搖角:10.0″；角速度變化率: 0.6″/s。

例2假設被測低精度慣導數據輸出頻率為1Hz，其2h內的最大值精度指標如下:

航向角:15'/cosφ，其中，-85°≤φ≤85°，為載體所在緯度；位置:5海里；線速度:1.2節；縱/橫搖角:7'；角速度變化率:0.005°/s。

計算樣本量n=2×3600×1=7200＜10 000，屬小樣本。對低精度被試品，可適當增加βc取值，令α=0.1，βc=0.8，則由式(4)可得截尾正態分布均值μc=-1.463 34×10-5。再參照圖1流程，由式(12)可用數值方法求解原正態分布的均值μ0=-1.465 5×10-5，將其代入式(7)，可得原正態分布標準偏差σ0=4.885 0× 10-6。再將μc，μ0，σ0代入式(17)可得截尾正態分布的標準偏差σc=4.981 7×10-7。最后，根據式(27)，將α，βc，μc，σc代入后可求得該最大值指標與4.4σ度量基準近似等價，就慣導領域而言，該指標已屬高精度指標。故考慮到現實真值測量條件，仍取c=1/3，代入式(30)后，即可求得1σ基準下真值測量系統的最低精度指標:

航向角:1.14'/cosφ；位置:1.36海里；線速度:0.076節；縱/橫搖角:31.82″；角速度變化率: 1.36″/s。

當工作于赤道附近(φ=0°)時，協變函數f(X)=?f(X)」=1為值域下限。這樣，根據式(34)得:其航向角真值測量設備最低精度指標為1.14'。

4 結論

對最大值指標的精度換算問題進行了研究，并以此為基礎提出了面向最大值指標的真值測量系統精度指標確定方法，給出了該方法在慣性導航系統真值測量設備精度指標遴選中的應用實例。實驗分析及實踐應用的結果表明，該方法是可行的。

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Precision conversion methodology w ith truncated normal distribution theory assumption oriented to maximum-error specification

HAN Xu1，2，SUN Ao1
(1.The PLA Unit91550，Dalian 116023，China；2.PostdoctoralWorkstation of the PLA Unit92493，Huludao 125001，China)

A precision conversionmethodology with truncated normal distribution theory assumption oriented tomaximum-error specification was brought forward，and it could be taken as a reference frame for the precision conversion between maximum-error specification and other precision measurement specifications，so that the precision class of according true valuemeasurement systems could be determined in advance.Themethod assumes that the conformity probability of the observation sequence is subjected to logarithmic truncated normal distribution；based on the aimed confidence level formaximum-error specification and the given sample size of target sequence，the calculation formulation of upper truncated limit，lower truncated limit，mean and standard deviation of the truncated normal distribution were proved and derived，thus the precision conversion relationships between maximum-error specification and other precisionmeasurement specifications，such as 1σ，were turned out；through referring to the corresponding theories on precision instrument fields，the determination methodology for precision class of true valuemeasurement systems undermaximum-error specification was given.The application on related example cases proved the feasibility of the proposed method.

precision conversion；truncated normal distribution；maximum-error specification

N94

A

1001-2486(2015)05-110-06

10.11887/j.cn.201505017

http://journal.nudt.edu.cn

2014-11-14

教育部博士點新教師基金資助項目(200802881012)

韓旭(1975—)，男，遼寧開原人，工程師，博士，E-mail:china_hanxu@163.com