幾種常微分方程解法中的數學化歸思想分析

賈麗麗

【摘 要】化歸思想作為數學解題中常用的思想方法之一，在常微分方程解法中多有應用。化歸思想可以有效幫助學生更好地學習常微分方程，同時能夠培養學生的數學思維和應用能力，所以教師應該在日常數學教學中有意識地引導學生樹立化歸思想意識。本文主要介紹了化歸思想在一階常微分方程、高階常微分方程以及線性常微分方程組求解中的應用。

【關鍵詞】常微分方程 化歸思想 教學

常微分方程最早出現在17世紀，其理論性和應用性都很強。歷史上的著名物理學家牛頓，就是通過常微分方程證明了地球是沿著橢圓的軌道繞太陽運動的。現如今，常微分方程更是被廣泛地應用在了航天、醫藥、信息、生物、軍事等諸多領域中。常微分方程的教學過程中，可以采用多種數學思想方法，幫助學生深化理解該知識點的核心內容，其中，化歸思想就是最常用的一種。化歸思想指的就是將需要解決的復雜問題轉化歸結為相對簡單或是已經解決了的問題。下面介紹幾種采用化歸思想解決的常微分方程。

一、一階常微分方程

變量分離方程以及恰當方程是一階常微分方程中最基礎的方程類型，其他類型如伯努利方程、線性方程、齊次方程等，都可以通過進行變量替換的方式或是采取積分因子化的方式轉變為這兩種基礎的方程類型。其中，數學轉化思想的應用正體現了化歸思想。

例1 求解常微分方程=。

解析：觀察等式右側的分子分母，分別提出公因式移到等式右側，右側分子分母再湊微分，便可以進行變量替換，化簡方程。該題在求解過程中需要運用三次變量替換，最后轉變為變量分離方程，化歸成能夠求解的方程。

二、高階常微分方程

針對高階常系數的齊次線性方程來說，可以通過特征值法求解，首先求得基本的解組，可以有效降減低積分運算的復雜程度，而高階非齊次線性方程首先可轉化為求對應齊次線性方程通解，再采用待定系數法求解。另外，冪級數解法與待定系數法的思想比較相似，也是簡化積分運算的化歸思想方法之一。

例2 求解微分方程x″′-x=cost。

解析：首先，將非齊次方程化歸為可求解的方程，即求該方程對應的齊次方程的通解，再由f（t）=cost，可設，原方程的應取特解為x=Acost+Bsint，進而找出方程特解，最后求出該方程通解。

三、線性常微分方程組

要想對非齊次線性常微分方程組求解，其中的關鍵點在于怎樣求出相應的基解矩陣。只要求出基解矩陣，那么方程組所有的解都可以通過該矩陣表示出來，而非齊次線性常微分方程組的解通過積分的方式，利用基解矩陣表示出來。由常微分齊次線性方程組求得的系數矩陣是常數矩陣，那么基解矩陣便可以通過求出的系數矩陣求解，求解方法通常可以采用拉普拉斯變換法或是特征向量法。這樣一來，對于含有常系數的線性微分方程組求解問題，便可以順利地轉化成代數問題，其中化歸思想得到了很好的體現。

例3 求線性方程組x′=Ax+f（t），其解可以表為φ（t），且已知φ（0），A，f（t）。

解析：由題可知，這是一個非齊次線性方程組，首先要先求出對應齊次的基解矩陣，進而求出相應的解。

解：由x′=Ax，可以求出基解矩陣φ（t）=[φ1（t），φ2（t）]，另，齊次線性方程組的基解矩陣應滿足φ（t）=exp（At），再利用非齊

次方程組通解公式φT（t）=exp（tA）φη+即可求得。

四、結語

化歸思想在數學教學過程中是最重要的數學思想方法之一。雖然在解決不同的數學問題時，化歸思想的體現并不完全相同，但是綜合分析化歸思想的基本原則都是將復雜轉化為簡單、未知轉化為已知、困難轉化為容易的一種思想方法。化歸思想在微積分方程中得到了有效的應用，解決了很多難題，例如，高斯公式證明，可以一步步轉化為斯托克斯公式、格林公式、牛頓——萊布尼茲公式的證明。學生在學習常微分方程的過程中運用化歸思想可以更好地理解學習知識點，體會數學問題的本質，領悟更好的學習方法，在日后的數學學習和實際工作生活中形成化歸思想意識，勇于面對并解決新問題。所以，數學教師在日常的教學活動中，應該有意識地培養學生采用化歸思想解決數學問題，進而提升學生的綜合素質。

【參考文獻】

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