融合自憶性原理的優化GM（1，1）冪模型構建及應用

郭曉君，劉思峰，方志耕，吳利豐

（1．南通大學理學院，江蘇南通226019；

2．南京航空航天大學經濟與管理學院，江蘇南京211106）

融合自憶性原理的優化GM（1，1）冪模型構建及應用

郭曉君1，2，劉思峰2，方志耕2，吳利豐2

（1．南通大學理學院，江蘇南通226019；

2．南京航空航天大學經濟與管理學院，江蘇南京211106）

針對因發展變化受眾多因素影響而具有飽和增長趨勢或單峰特性的原始波動序列，為了提高預測精度，以灰色GM（1，1）冪模型為基礎，構建了自憶性原理與優化GM（1，1）冪模型的耦合預測模型，用動力系統自憶性原理來克服傳統灰色模型對初值比較敏感的弱點。結果表明，新構建模型能夠充分利用系統的多個歷史時次資料，模擬和預測精度都高于傳統優化GM（1，1）冪模型，進一步拓展了灰色模型的應用范圍。最后，以我國高中升學率的數據為例驗證了所構建模型的優越性和有效性。

灰色系統；GM（1，1）冪模型；自憶性原理；升學率

0 引 言

針對系統工程中不斷出現的復雜性和不確定性等特征，1982年鄧聚龍［1］提出了一種新的系統科學方法——灰色系統理論，主要包括灰色關聯、預測建模、決策分析、灰色控制等。其中，灰色預測模型系列［2］利用累加原始序列弱化其隨機性，進而構建具有部分差分、部分微分特征的方程，挖掘數據序列的內在規律，做出科學定量的預測，用以揭示系統的未來發展趨勢。同時，灰色預測模型不受一般統計模型對原始數據種種要求的約束，對樣本容量和概率分布沒有嚴格要求，在小樣本時間序列預測方面具有獨特優勢，已在經濟、能源、交通等各類動態系統中取得了廣泛應用［35］。此外，眾多學者也致力于對灰色預測模型的基礎研究，例如分析模型特性、改進背景值、優化時間響應式等［6-8］。

GM（1，1）冪模型，作為其中一類具有較強普適性的非線性灰色模型，是對GM（1，1）模型和灰色Verhulst模型的形式衍化，其冪指數可以根據實際系統背景進行優化選取，以適用于不同規律的原始序列建模，演繹系統內蘊的非線性特征。針對早期研究選取冪指數的不合理性，王正新等學者對GM（1，1）冪模型進行了一系列深入研究［912］，其中文獻［9］和文獻［12］運用灰色系統信息覆蓋、非線性優化等方法來尋求最優的冪指數，對于解決冪指數的優化選取難題意義深遠。

基于將決定論和不確定論相結合的思想，文獻［13］提出了一種新的預測技術——動力系統自憶性原理，吸收了動力學與統計學各自的優勢［14］，可以對非線性系統進行有效預測。該預測方法可以充分挖掘系統內蘊的歷史信息，從而反演得到相應的系統動力學模型，預測系統的整體發展及變化趨勢。自憶性模型理論，是對傳統初值問題數值解和統計預測方法的一個突破，已在水文氣象、電力能源、建筑物沉降等領域［15-16］取得了較為理想且穩定的預測效果。

同時，自憶性技術也逐步與灰色預測方法進行了一些有意義的結合［17-18］，但文獻［17］僅研究具有近似指數增長或衰減特征的GM（1，1）模型，文獻［18］則以特殊的DHGM（2，2）模型為對象進行討論，僅適用于水文系統模型。而本文考慮灰色預測模型應用的普適性，以傳統的優化GM（1，1）冪模型為基礎，面向近似指數增長或衰減、飽和增長或呈單峰特性的原始波動序列，結合自憶性原理，構建自憶性優化GM（1，1）冪預測模型，并以我國歷年高中升學率為例進行模擬和預測，分析自憶性模型相比傳統模型的優越性，以期拓展灰色預測方法、提高其應用普適性。

1 GM（1，1）冪模型及冪指數優化

1.1 原始GM（1，1）冪模型

定義1 設非負原始數據序列

對X（0）作一階累加，得1-AGO序列

其中

對X（1）作一階緊鄰均值，得1-MGO序列

其中

則稱

為等間距GM（1，1）冪模型。

GM（1，1）冪模型中，發展系數－a、灰色作用量b，以及冪指數γ均為未知參數。特別地，當γ＝0時，GM（1，1）冪模型可退化為傳統GM（1，1）模型；當γ＝2時，GM（1，1）冪模型又退化為灰色Verhulst模型。本文以等間距GM（1，1）冪模型為基礎，構建融合自憶性原理的優化GM（1，1）冪模型，非等間距GM（1，1）冪模型的情況可進一步拓展推導得到。

定義2［7］設參數a，b如定義1所述，則稱

為等間距GM（1，1）冪模型的白化微分方程。

1.2 GM（1，1）冪模型的求解過程

設X（0）為非負原始數據序列，且X（0），X（1），Z（1）如上所述，則等間距GM（1，1）冪模型的求解過程可歸納如下：

步驟1 若^R＝［a，b］T為參數列，且

則等間距GM（1，1）冪模型x（0）（k）＋az（1）（k）＝b（z（1）（k））γ的最小二乘估計參數列滿足

步驟3 對式（4）作離散化處理，得GM（1，1）冪模型x（0）（k）＋az（1）（k）＝b（z（1）（k））γ的時間響應序列

步驟4 對式（5）作一階累減還原，得原GM（1，1）冪模型預測序列

1.3 GM（1，1）冪模型的冪指數優化

GM（1，1）冪模型是一類具有較強柔韌性和靈活性特點的非線性灰色模型，隨著冪指數γ取值的不同可適用于不同特征的原始序列建模。早期文獻中，冪指數γ往往通過主觀判斷或建模實驗來取值，勢必影響了灰色冪模型的普適性。冪指數γ通常取值為2，即灰色Verhulst模型，也僅適用于具有飽和狀態趨勢的原始序列建模預測。因此，如何根據不同原始數據內蘊的演化規律，借助優化算法工具來確定冪指數γ的最優值在建模過程中顯得尤為重要。

文獻［9］利用灰色系統信息覆蓋的思想提出了一種確定冪指數γ的優化算法，即

式中

同時對冪指數γ在不同取值范圍內，GM（1，1）冪模型解可能產生的性質影響作了進一步討論。

2 融合自憶性原理的優化GM（1，1）冪模型

2.1 動力系統自憶性原理的基礎理論

從混沌動力學可知，系統兼有決定論和隨機性兩方面特性，故而隨機-動力途徑是研究系統發展變化的基本思路。基于系統演變的不可逆特性，自憶性原理通過重點研究系統內部的前后狀態，來挖掘系統自身的演化趨勢。文獻［13］將記憶函數代入Hilbert空間，利用內積運算導出自憶性差分-積分方程，該方程可以充分挖掘出歷史數據中蘊含的系統信息。由于系統自憶性方程以多個時點初值條件來代替單個時點初值條件，從而克服了原始系統動力微分方程對初值比較敏感的弱點，因此這種自憶性技術同時吸收了動力學與統計學兩方面的預測優勢。

式中，x為變量；λ為參數；t為時間；F（x，λ，t）為動力核。

式（8）表達了變量x在局地的時間變化與動力核源函數F（x，λ，t）的關系，令記憶函數為β（t），且|β（t）|≤1，同時在Hilbert空間中定義內積

2.2 自憶性優化GM（1，1）冪模型的構建步驟

等間距自憶性優化GM（1，1）冪模型的建模過程可歸納如下：

步驟1 優化選取冪指數γ

根據文獻［9］，利用灰色系統信息覆蓋的思想選取符合不同原始數據序列特征的最優冪指數γ，即

步驟2推導自憶性差分-積分方程

設某時間集合T＝｛t－p，t－p＋1，…，t－1，t0，t｝，各時次間隔為Δt，其中當前時刻以t0表示，歷史時刻以t－p，t－p＋1，…，t－1，t0表示，預測時刻以t表示，回溯時點數以p表示，稱為回溯階。若假設變量x與記憶函數β（t）具有連續性、可微性、可積性，則原始系統動力方程式（8）可借助內積運算式（9）變換為

式（10）可以視為以β（t）為權重的一種加權積分，經過分部積分及積分中值公式處理，并作同類項約減，式（10）轉化成一個差分-積分方程，即自憶性預測方程

式中，βt≡β（t）；xt≡x（t）；βi≡β（ti）；xi≡x（ti）；中值xmi≡x（tm）；ti＜tm＜ti＋1；i＝－p，－p＋1，…，0。

步驟3 離散化自憶性預測方程

令xm－p－1≡x－p，β－p－1≡0，式（11）可變換為

稱其為系統回溯p階的自憶性方程，強調了系統狀態前后時次間的聯系。其中，S1為自憶部分，強調p＋1個時次的歷史統計數據對預測值xt的影響；S2則為他效部分，強調動力核F（x，λ，t）在時間段［t－p，t0］內對xt的回溯影響。

在式（12）中，將積分運算近似為求和運算，微分運算近似為差分運算，中值xmi則近似為兩相鄰時刻值，即

同時取等距時次間隔，令Δti＝ti＋1－ti＝1，且將βt和βi合寫，則得到離散形式的自憶性預測方程則離散形式的自憶性預測方程式（14）可表示成矩陣形式

式中，記憶系數為αi＝（βi＋1－βi）／βt和θi＝βi／βt，原始等間距GM（1，1）冪模型可確定函數F（x，λ，t），即－ax（1）＋b（x（1））γ。

步驟4 最小二乘求解記憶系數

F（x，λ，t）視為系統的輸入，x視為系統的輸出，自憶性方程可借助遞推最小二乘、隨機近似、遺傳算法等方法來求解，本文考慮最小二乘法。假設有L（L＞p）個時點的原始數據序列，記

從而得記憶系數矩陣W的最小二乘估計

步驟5 求解自憶性預測模型

利用記憶系數αi和θi，便可求解自憶性預測方程式（14），得到相應的模擬或預測值x＾（1）（t），進而通過一階累減還原，可得原始數據模擬預測序列

式中，t＝1，2，…，n，且x＾（1）（0）≡0。可以借助Matlab程序減輕運用自憶性預測方程進行模擬和預測時的計算工作量。

步驟6 檢驗模擬預測精度

將k時點的相對誤差記為RPE（k），即

可由k時點相對誤差RPE（k）及系統平均相對誤差ARPE來檢驗自憶性優化GM（1，1）冪模型模擬和預測的精度并進行誤差分析。

將所有時點的平均相對誤差記為ARPE，則

3 應用實例

為了驗證本文提出的融合自憶性原理優化GM（1，1）冪模型的可行性，以及面向具有飽和增長趨勢或單峰特性的原始波動序列模擬和預測的優越性，以文獻［10］中1990～2008年的中國高中升學率為研究對象進行建模分析，相關統計數據如表1所示。考慮到我國1999年實施的擴招政策對高中升學率增長產生的影響，為了消除國家政策等擾動因素的影響，以1999年為臨界點劃分為1990～1998年和1999～2008年前后兩段序列，進行分段建模預測。由于兩段升學率序列分別呈現先增長后下降的單峰特性，考慮用GM（1，1）冪模型對其進行分段建模分析。

表1 1990～2008年中國高中升學率%

本文將自憶性成份融入傳統的GM（1，1）冪模型，構建一類自憶性優化GM（1，1）冪模型，利用其對歷史統計數據充分記憶的優勢，來預測中國高中升學率的發展趨勢及變動情況。同時，通過對比新模型與傳統優化GM（1，1）冪模型［9］的單點及平均模擬預測精度，來分析新模型中自憶性成份所體現的預測優勢及穩定性，從而拓展其應用領域及普適性。

3.1 第一階段建模分析

取1990～1998年的統計數據作為建模樣本，首先根據冪指數優化算法的計算公式（7）可得最優冪指數γ＝0.523 6，同時根據統計數據建立第一階段傳統優化GM（1，1）冪模型的白化微分方程

x＾（1）（k＋1）＝（27.738 0－22.905 3 e－0.0935k）2.0991

再將式（20）的右端項作為自憶性方程的動力核F（x，λ，t），則有d x／d t＝F（x，λ，t），據此可建立中國高中升學率的自憶性優化GM（1，1）冪一階段預測模型，其中回溯階經試算確定p＝1為最優，則相應自憶性離散預測方程為

其中，記憶系數矩陣為

利用文獻［9］中的傳統優化GM（1，1）冪模型和上述構建的自憶性優化GM（1，1）冪模型，進行建模預測和誤差后驗的結果見表2，新建模型中初始兩個時點因回溯階p＝1而沒有模擬值。

表2 第一階段（1990～1998年）兩種模型的模擬值與誤差對比

中國高中升學率第一階段（1990～1998年）的建模分析及誤差對比結果如表2所示，傳統模型中8個樣本單點相對誤差介于1．26%與8．75%之間，平均相對誤差為3．50%；而新建模型中的7個樣本單點相對誤差借助自憶性技術大幅降低，介于0．06%與2．41%之間，且平均相對誤差也顯著減少至1．04%。同時，圖1描繪出了兩種GM（1，1）冪模型模擬值的相對誤差分布對比情況，顯然可見新模型的單點相對誤差顯著低于傳統模型，且總體分布較為穩定。

圖1 兩種GM（1，1）冪模型模擬值的相對誤差分布對比（1992～1998年）

3.2 第二階段建模分析

針對1999～2008年的中國高中升學率，取前8年的統計數據作為建模樣本，同時取后兩年的統計數據作為預測樣本，進行預測檢驗。同理，根據冪指數優化算法公式（7）可計算得最優冪指數γ＝－0.019 9，同時根據統計數據建立第二階段傳統優化GM（1，1）冪模型的白化微分方程

再將式（22）的右端項作為自憶性方程的動力核F（x，λ，t），則有＝F（x，λ，t），據此可建立中國高中升學率的自憶性優化GM（1，1）冪二階段預測模型，其中回溯階經試算確定p＝1為最優，從而得到自憶性離散預測方程

其中，記憶系數矩陣為

利用文獻［9］中的傳統優化GM（1，1）冪模型和上述構建的自憶性優化GM（1，1）冪模型，進行建模預測和誤差后驗，結果見表3，同樣新建模型中初始兩個時點因回溯階p＝1而沒有模擬值。

中國高中升學率第二階段（1999～2008年）的建模分析及誤差對比結果如表3所示，傳統模型中7個樣本單點相對誤差介于0.08%～8．40%，平均相對誤差為4．75%；而新建模型中的6個樣本單點相對誤差借助自憶性技術大幅降低，介于0%～2．61%，且平均相對誤差也顯著減少至1．18%。在預測方面，自憶性優化GM（1，1）冪模型的優勢更加明顯，單步滾動預測相對誤差僅為2．31%，遠低于傳統優化GM（1，1）冪模型的10．64%，而兩步滾動預測相對誤差雖然伴隨預測步長有所增加，但仍顯著低于傳統模型的9．63%。同時，圖2描繪出了兩種GM（1，1）冪模型模擬值和預測值的相對誤差分布對比情況，顯然可見新模型的單點相對誤差顯著低于傳統模型，且總體誤差分布較為穩定。

表3 第二階段（1999～2008年）兩種模型的模擬值、預測值與誤差對比

圖2 兩種GM（1，1）冪模型模擬值和預測值的相對誤差分布對比（2001～2008年）

由中國高中升學率的建模分析結果可知，融合自憶性成份的優化GM（1，1）冪模型，利用自憶性離散預測方程包含多個初值條件的優勢，克服了傳統GM（1，1）冪模型受單個初值條件局限的弱點，從而顯著提高了建模精度及預測可靠性。因此，新建的自憶性優化GM（1，1）冪模型，可以深入挖掘系統中所呈現的整體單峰特性及個別波動情形，更加緊密捕捉了動態系統的整體演化趨勢和個體變動情況。

4 結 論

作為GM（1，1）模型和灰色Verhulst模型的衍生，GM（1，1）冪模型是一類具有較強普適性的非線性灰色模型，其冪指數的優化取值反映了該模型的柔韌性和靈活性。本文將自憶性成份有機融入傳統的優化GM（1，1）冪模型，利用其對歷史統計數據充分記憶的優勢，構建了一類自憶性優化GM（1，1）冪預測模型。對中國高中升學率的實例研究結果表明，所提出的新預測模型能夠充分挖掘系統的歷史統計信息，相比傳統模型具有優越的預測性能，值得推廣應用于其他類似的非線性系統。

自憶性優化GM（1，1）冪模型有著廣闊的研究背景和應用空間，如何借助非線性規劃等優化方法進行回溯階尋優，需要作進一步探索。同時，可以考慮如何將其他優化技術與自憶性原理相結合，進一步提高系統預測的精度和穩定性。

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Construction and application of optimized GM（1，1）power model incorporating self-memory principle

GUO Xiao-jun1，2，LIU Si-feng2，FANG Zhi-geng2，WU Li-feng2
（1.School of Science，Nantong University，Nantong 226019，China；2.College of Economics and Management，Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing 211106，China）

As for the fluctuating sequences characterized by saturated condition or single-peak，whose development and variation are subject to multi-faceted factors，the coupling prediction model combining the selfmemory principle and the optimized GM（1，1）power model has been constructed based on the grey GM（1，1）power model in order to improve prediction accuracy．The traditional grey model’s weakness as being sensitive to the initial value can been overcomed by the self-memory principle of dynamic system．The results indicate that the newly-established model can take full advantage of the systematic multi-time historical data．It extends the grey model’s application span，which possesses higher accuracy of simulation and forecast than the traditional optimized GM（1，1）power model．Finally，the superiority and effectiveness of this proposed model have been proved by the case of Chinese senior high school students’enrolment rate into higher education institutions．

grey system；GM（1，1）power model；self-memory principle；enrolment rate

N 941．5

A

10．3969／j．issn．1001-506X．2015．01．19

郭曉君（1978-），男，講師，博士研究生，主要研究方向為灰色系統理論、系統工程。

E-mail：guoxj159＠163．com

劉思峰（1955-），男，教授，博士研究生導師，博士，主要研究方向為灰色系統理論、數量經濟學。

E-mail：sfliu＠nuaa．edu．cn

方志耕（1962-），男，教授，博士研究生導師，博士，主要研究方向為管理科學與工程、系統工程。

E-mail：zhigengfang＠163．com

吳利豐（1983-），男，博士研究生，主要研究方向為灰色系統理論、系統工程。

E-mail：wlf6666＠126．com

1001-506X（2015）01-0117-06

網址：www．sys-ele．com

2014- 03- 12；

2014- 05- 21；網絡優先出版日期：2014- 08- 20。

網絡優先出版地址：http：／／w ww．cnki．net／kcms／detail／11．2422．TN．20140820．1730．001．html

歐盟第7研究框架瑪麗·居里國際人才引進計劃Fellow項目（FP7-PIIF-GA-2013- 629051）；國家自然科學基金（71111130211，71171113，71363046，71401051）；國家社會科學基金重點項目（12AZD102）；國家社會科學基金重大招標項目（10＆ZD014）；江蘇省普通高校研究生科研創新計劃項目（CXZZ13_0184）；南通市科技計劃項目（HS2013026，BK2014030）；南京航空航天大學引進人才基金（1009-YAH14003）資助課題