概率約束MIMO雷達穩健發射波形設計方法

張向陽，廖桂生，許京偉，曾 操

（1．西安電子科技大學雷達信號處理國家重點實驗室，陜西西安710071；2．南昌航空大學信息工程學院，江西南昌330063）

概率約束MIMO雷達穩健發射波形設計方法

張向陽1，2，廖桂生1，許京偉1，曾 操1

（1．西安電子科技大學雷達信號處理國家重點實驗室，陜西西安710071；2．南昌航空大學信息工程學院，江西南昌330063）

傳統多輸入多輸出（multi-input multi-output，MIMO）雷達發射波形設計方法對傳播矩陣誤差敏感，導致難以得到最優的匹配波形，進而造成系統檢測性能嚴重下降。針對此問題，提出一種基于概率約束的MIMO雷達穩健發射波形設計方法。該方法考慮最差情況的發生為小概率事件，基于輸出信噪比（signal noise ratio，SNR）低于可接受水平的概率小于中斷概率的約束條件，通過最大化輸出信噪比設計最優波形。利用傳播矩陣誤差的概率分布特性，將概率約束轉化為凸約束，從而將統計優化問題轉化為確定性優化問題。該方法在傳播矩陣存在誤差情況下以高概率實現系統性能最優化。仿真結果表明所提方法能夠提高輸出SNR，具有較好的檢測性能。

多輸入多輸出雷達；概率約束；波形設計；穩健算法；最優化

0 引 言

多輸入多輸出（multi-input multi-output，MIMO）雷達作為一種新體制雷達，相對于傳統相控陣雷達而言具有獨特優勢［1-2］，近年來一直是國內外學者關注的熱點之一。傳統相控陣雷達發射相干波形，而MIMO雷達利用波形分集技術可獲得空間分集增益，有效改善系統性能［3］。與傳統相控陣雷達相比，共置天線MIMO雷達具有更高的分辨率，更好的低速動目標檢測能力［4］，因而在軍事和民用中具有廣泛的應用前景。

MIMO雷達波形設計主要有基于協方差矩陣的波形設計方法［5］、基于模糊函數的波形設計方法［6］以及擴展目標的波形設計方法［7］。本文主要考慮基于協方差矩陣的波形設計方法。MIMO雷達發射波形設計通常基于目標和環境的先驗知識進行，而此先驗知識通過估計得到，因而不可避免的存在估計誤差。此時，波形設計難以實現最優匹配，造成系統檢測性能下降。對角加載采樣矩陣求逆算法（loaded sample matrix inversion，LSMI）［8］是常見的自適應穩健方法之一，該方法通過對采樣協方差矩陣進行對角加載，可提高自適應算法的收斂速度和穩健性，但其加載量由經驗參數給出，沒有解析解。最近，最差性能最優化方法［910］利用求解約束問題得到該加載量的解析形式，大幅提高了系統的穩健性。最差性能最優化方法認為傳播矩陣誤差為確定的未知量，并提高系統最差情況下的性能，以保證系統的整體性能。實際中，最差情況的發生概率非常小，屬小概率事件，因此，該方法過于保守從而導致不必要的性能損失。文獻［11- 13］研究了基于統計分布特性的穩健波形設計方法。統計方法認為傳播矩陣誤差為一服從某一分布的隨機變量，因此可以考慮信噪比低于可接受水平的概率小于中斷概率的條件下，只需保證系統在傳播矩陣誤差分布概率較高的范圍內正常工作即可。當然，當小概率事件發生時（傳播矩陣誤差超出上述范圍），系統性能惡化。文獻［14］提出了基于通信系統服務質量的概率約束方法，提高了系統的利用效率；文獻［15］基于概率約束考慮了穩健自適應波束形成器和多用戶MIMO接收器的設計問題，在陣列誤差滿足一定概率分布函數條件下，得到確定的無失真響應約束形式。文獻［16］考慮在非精確傳播矩陣條件下，提出MIMO通信系統中概率約束的波束形成方法。

針對傳統MIMO雷達波形設計為傳播矩陣誤差敏感的問題，本文提出一種基于概率約束的MIMO雷達穩健波形設計方法。該方法考慮傳播矩陣誤差服從一定的統計分布形式條件下，保證系統輸出信噪比（signal to noise ratio，SNR）小于可接受水平的概率小于中斷概率，適當縮小傳播矩陣誤差約束范圍，提高系統性能。該方法克服了傳統最差性能最優化方法過于保守的缺陷，使得系統性能以高概率接近最優。同樣，當傳播矩陣誤差超過一定范圍時（小概率事件），系統性能難以保證。考慮傳播矩陣誤差服從一定的概率分布形式，因此可將概率約束條件轉化為確定的凸約束，從而將統計問題轉化為確定的凸優化問題，實現了系統整體性能的最優化。仿真結果表明所提方法提高MIMO雷達平均輸出SNR和目標的檢測性能。

1 系統模型

考慮發射、接收陣元數分別為Mt，Mr的共置MIMO雷達系統，設第i（i＝1，2，…，Mt）個發射陣元的發射波形可表示為si∈CN×1，其中N為快拍數，則發射波形可表示為表示轉置。假設發射窄帶信號，且傳輸過程中沒有色散，則對于單個點目標，MIMO雷達接收信號矩陣Y∈CMr×N為

式中，β為目標復幅度，與目標雷達散射面積（radar cross section，RCS）成正比，其相位在［0，2π］之間均勻分布；θ為目標方位角度；H＝b（θ）aT（θ），H∈CMr×Mt為傳播矩陣；Z表示加性白噪聲，服從均值為0，相關矩陣為σ20IMr的高斯分布；a（θ）∈CMt×1和b（θ）∈CMr×1分別為陣列的發射及接收導向矢量：

式中，f0為雷達載頻；τm（θ）（m＝1，2，…，Mt）表示第m個發射陣元的信號傳播至目標所需要的時間；τ～n（θ）（n＝1，2，…，Mr）則表示信號從目標傳播至第n個接收陣元所需要的時間。假設傳播矩陣精確已知，目標幅度β＝1，平均輸出SNR為

式中，（·）H表示共軛轉置。由式（4）可知，平均輸出SNR依賴于傳播矩陣H和發射波形S。實際中，傳播矩陣H只能通過估計得到，而估計不可避免的存在誤差。假設估計得到的傳播矩陣為^H∈CMr×Mt，真實傳播矩陣H和估計傳播矩陣^H滿足如下關系：

式中，E為傳播矩陣誤差，其每列為服從獨立同分布的復高斯變量，即：eij～N（0，σ2e）（i＝1，…，Mr；j＝1，…，Mt），σ2e為誤差方差。由于估計誤差的存在，傳統基于傳播矩陣的波形設計方法性能下降，難以實現最優匹配。

2 基于概率約束優化的穩健設計

本節考慮系統輸出信噪比低于可接受水平的系統小于中斷概率的條件下，通過概率約束方法實現最優波形設計，提高系統檢測性能。同時考慮傳播矩陣誤差服從一定的概率分布形式，并通過松弛約束條件將概率約束問題轉化為確定的凸優化問題，以實現高效求解。

將式（5）代入式（4），得SNR為傳播矩陣估計值^H和傳播矩陣誤差E的函數為

式中，Rs＝SSH為發射信號相關矩陣。為簡化式（6），利用特征值分解：

結構與式（7）類似的函數可對特征值的模Us及Dh分別最大化［17］。實際中估計得到的傳播矩陣是先驗已知的，因此，給定，最優解U*s滿足，將最優解代入式（7），可得目標函數為

通過約束所有可能的傳播矩陣誤差條件下的系統性能，可保證最差情況下，系統正常工作。然而最差情況（傳播矩陣誤差較大）出現的概率很小。因此，考慮將約束的傳播矩陣誤差的范圍適當縮小，保證系統平均輸出SNR小于可接受水平的概率小于中斷概率（系統能夠以較大的概率正常工作）即可。即，給定系統中斷概率pout，使得

式中，Pr｛A｝表示事件A發生的概率；γ為給定可接受的SNR水平，并且此時傳播矩陣誤差E的不確定范圍相比傳統最差性能情況要小。基于這一概率約束的波形優化問題可表式為

式中，第2個條件約束發射總功率；第3個條件保證發射相關矩陣Rs的正定性；第1個約束條件即所謂概率約束：輸出SNR小于可接受水平γ的概率小于中斷概率pout，換言之，該約束條件保證系統輸出SNR以高概率超過γ；然而該約束為統計意義上的約束，需要大量樣本，工程中難以實現。本文基于傳播矩陣誤差服從復高斯分布的假設，考慮將該概率約束轉換為確定約束。由文獻［18］可知，實現SNR最大化即可實現檢測概率最大化，求解式（10）即可得檢測概率最大的發射波形。

由二元高斯分布隨機變量的性質可知，式（6）中的SNR服從非中心χ2分布。利用Rs＝UsDs和矩陣跡的有關操作，式（6）可表示為獨立非中心（δi）分布隨機變量Zi（i＝1，…，Mt）的組合［8］，即

自由度ni＝2Mr；矢量代表矩陣的第i列。由此，式（10）可寫為

為了將式（12）中的概率約束轉換為確定約束，令

則

從而

又

因此

由式（16）～式（19）可得

由此，本文設計可轉化為如下概率約束下的優化問題：

至此，已得到概率約束的平均SNR最大化表達式，并將概率約束轉換為確定約束，第3節中用仿真實驗驗證該方法性能。

3 仿真實驗

基于收發共置MIMO雷達，分別對等功率加載波束形成方法［5］、最差情況波束形成方法［13］和本文方法的檢測性能進行仿真分析，以驗證本文方法的有效性。其中，發射和接收陣元數分別為Mt＝Mr＝4，目標方位角為0。中斷概率pout＝10%，歸一化SNR門限ˉγ＝0.9。E的每列為服從獨立同分布的復高斯變量：eij～N（0，σ2e）（i＝1，…，Mr；j＝1，…，Mt），誤差方差0≤σ2e≤1。選擇最差情況誤差邊界確保它能覆蓋90%的不確定區域，即：Pr｛‖E2‖≤εworst｝＝90%，其中‖E2‖為誤差模值，εworst為誤差邊界。仿真在傳播矩陣獨立同分布和相關衰落兩種情況下進行，每個實驗都進行了1 000次蒙特卡羅實驗。

3.1 傳播矩陣獨立同分布

圖1 傳播矩陣獨立同分布時平均輸出SNR和曲線

為進一步考察該方法的性能，圖3給出了本文方法和最差情況方法在＝0.2，0.5，0.9這3種誤差方差下歸一化SNR的直方圖，圖3（a）、（b）和（c）為本文方法結果，圖3（d）、（e）和（f）為最差情況方法結果。σ2e較小時，兩種方法的SNR分布都集中在0．9以上，以較高的概率分布在較高的SNR。隨著誤差方差的增加，概率約束方法SNR分布無明顯變化，而對于最差情況方法來說，其SNR分布集中在更高的誤差附近。說明隨著誤差方差的增加，概率約束方法仍然以較高的概率分布在較高的SNR，而最差情況方法輸出SNR分布左移。

圖2 傳播矩陣獨立同分布時SNR超過門限的概率和曲線

圖3 傳播矩陣獨立同分布時歸一化SNR直方圖，＝0.2，0.5，0.9

圖4 發射方向圖θ＝0°，＝0.2，0.5，0.9

3.2 傳播矩陣存在相關衰落

由于路徑損耗，多徑傳播等原因會引起傳播矩陣的衰落。下文的相關矩陣根據文獻［9］的模型確定，固定天線間距d＝0.5λ，角度擴展δθ＝3°。

期望傳播矩陣相關矩陣HHH的特征值為0.945 5，0.046 1，0.000 3。平均輸出SNR與σe2的曲線如圖5所示。由圖5可知：隨著σe2的增加，3種方法的輸出SNR下降，概率約束方法的整體性能最佳，最差情況方法次之，等功率加載方法最差，并且在高不確定區域性能改進明顯。對于大的方差，σe2＞0.9，概率約束方法和最差情況方法之間差別可達1.5 dB。說明在加大誤差方差時，本文方法仍能保持較高的輸出SNR，而最常情況方法SNR損失嚴重。圖6給出了平均輸出SNR超過設定門限的概率隨σe2變化的曲線。圖6的結果表明概率約束方法總能滿足概率約束并且保證概率大于等于98%。相反，隨著誤差水平的增加，最差情況方法曲線下降明顯。在＝0.9時二者差別可達70%。

為了進一步考察該方法的性能，圖7給出了本文方法和最差情況方法在＝0.2，0.5，0.9這3種誤差方差下歸一化SNR的直方圖，圖7（a）、（b）和（c）為本文方法結果，圖7（d）、（e）和（f）為最差情況方法結果。σ2e較小時，兩種方法的SNR分布都集中在0．9以上，以較高的概率分布在較高的SNR。隨著誤差方差的增加，概率約束方法SNR分布無明顯變化，而對于最差情況方法來說，其SNR分布集中在更高的誤差附近。說明隨著誤差方差的增加，概率約束方法仍然以較高的概率分布在較高的SNR，而最差情況方法輸出SNR分布左移。

圖5 傳播矩陣相關衰落時平均SNR和曲線

圖6 傳播矩陣相關衰落時SNR超過設定門限的概率和曲線

圖7 傳播矩陣相關衰落時歸一化SNR直方圖，σ0．2，0．5，0．9

4 結 論

本文提出概率約束的MIMO雷達發射波形設計方法，在最大化平均輸出SNR同時對傳播矩陣估計誤差穩健。該方法被建模為一個概率約束優化問題，所以接收端輸出SNR低于設定門限的概率才能小于設定值，假設傳播矩陣估計誤差服從復高斯分布，將概率約束轉化為一個凸約束。得到的凸優化問題可利用現有方法高效求解。仿真結果表明提出的方法的優于流行的最差情況方法。因為其優越的整體性能和穩健性，概率約束方法為傳播矩陣信息不準確時的發射波形設計提供了一種備用方法。

［1］Sammartino P F，Baker C J，Griffiths H D．Frequency diverse MIMO techniques for radar［J］．IEEE Trans.on Aerospace and Electronic Systems，2013，49（1）：201- 222．

［2］Krieger G．MIMO-SAR：opportunities and pitfalls［J］．IEEE Trans.on Geoscience and Remote Sensing，2014，52（5）：2628- 2645．

［3］Qu Y，Liao G S，Li J，et al．Constrictive total least square improved algorithm in MIMO radars［J］．Systems Engineering and Electronics，2009，31（2）：319- 322．（曲毅，廖桂生，李軍，等．MIMO雷達約束總體最小二乘改進算法［J］．系統工程與電子技術，2009，31（2）：319- 322．）

［4］Li C C，Liao G S，Zhu S L，et al．Study of subarray domain m-Capon method for MIMO radar［J］．Systems Engineering and Electronics，2010，32（6）：1117- 1120．（李彩彩，廖桂生，朱圣棋，等．MIMO雷達子陣級m-Caopn方法研究［J］．系統工程與電子技術，2010，32（6）：1117- 1120．）

［5］Friedlander B．On transmit beamforming for MIMO radar［J］．IEEE Trans.on Aerospace and Electronic Systems，2012，48（4）：3376- 3388．

［6］Antonio S G，Fuhrmann D R，Robey F C．MIMO radar ambiguity functions［J］．IEEE Journal Selected Topics Signal Processing，2007，1（1）：167- 177．

［7］Li J，Stoica P．MIMO radar signal processing［M］．New Jersey：Wiley，2009．

［8］Paulraj A，Nabar R，Gore D．Introduction to space-time wireless communications［M］．1st ed．Cambridge：Cambridge University Press，2003．

［9］Yang Y，Blum R S．Minimax robust MIMO radar waveform design［J］．IEEE Journal Selected Areas Communications，2007，1（1）：147- 155．

［10］Grossi E，Lops M，Venturino L．Robust waveform design for MIMO radars［J］．IEEE Trans.on Signal Processing，2011，59（7）：3262- 3271．

［11］Chung P J，Du H Q，Gondzio J．A probabilistic constraint approach for robust transmit beamforming with imperfect channel information［J］．IEEE Trans.on Signal Processing，2011，59（6）：2773- 2782．

［12］Zhou S，Giannakis G B．Optimal transmitter eigen-beamforming and space-time blocking based on channel mean feedback［J］．IEEE Trans.on Signal Processing，2002，50（10）：2599- 2613．

［13］Zhou S，Giannakis G B．Optimal transmitter eigen-beamforming and space-time blocking based on channel covariance［J］．IEEE Trans.on Information Theory，2003，49（7）：1673- 1690．

［14］Xin H，Chen J W，Wu Y C．QoS constrained robust MIMO transceiver design under unknown interference［C］∥Proc.of the 7th International ICST Conference on Communications and Networking，2012．

［15］Vorobyov S A，Rong Y，Gershman A B．Robust minimum variance adaptive beamformer and multiuser MIMO receiver：from the worst-case to probabilistically constrained designs［C］∥Proc.of the International Conference on Acoustics，Speechand Signal Processing，2006：977- 980．

［16］Du H Q，Chung P J．A probabilistic approach for robust leakage-based MU-MIMO downlink beamforming with imperfect channel state information［J］．IEEE Trans.on Wireless Communications，2012，11（3）：1239- 1247．

［17］Pascual-Iserte A，Palomar D P，Perez-Neira A I，et al．A robust maximin approach for MIMO communications with imperfect channel state information based on convex optimization［J］．IEEE Trans.on Signal Processing，2006，54（1）：346- 360．

［18］Mark A R．Fundamentals of radar signal processing［M］．New York：McGraw-Hills，2005．

Design of robust transmit waveform for MIMO radars based on probabilistic constraint

ZHANG Xiang-yang1，2，LIAO Gui-sheng1，XU Jing-wei1，ZENG Cao1
（1.National Lab of Radar Signal Processing，Xidian University，Xi’an 710071，China；2.School of Information Engineering，Nanchang Hangkong University，Nanchang 330063，China）

Conventional waveform design methods for multiple-input multiple-output（MIMO）radars are sensitive to transport matrix errors，so the optimal matched-waveform is hard to achieve，and the detection performance degrades dramatically．To mitigate this problem，a novel robust waveform design method is introduced for MIMO radars based on probabilistic constraint．In this method，the probability of the worst case is considered very small．Therefore，the probability of the output signal noise ratio（SNR）less than the acceptable level is constrained no more than the outage probability，and the optimal waveforms are designed to maximize the output SNR．Using the characters of statistical distribution of transport matrix errors，the probabilistic constraint is transformed to a deterministic convex constraint．So the statistical optimization problem is converted to a convex optimization problem．This method maximizes the performance with high probability under transport matrix errors．The simulation results show that the method increases the output SNR and detection performance．

multi-input multi-output（MIMO）radar；probabilistic constraint；waveform design；robust arithmetic；optimization

TN 958

A

10．3969／j．issn．1001-506X．2015．01．08

張向陽（1980-），男，講師，博士研究生，主要研究方向為MIMO雷達技術。

E-mail：zxyky2002＠163．com

廖桂生（1963-），男，教授，博士，主要研究方向為雷達探測系統信號處理、空時自適應處理、天基預警和陣列信號處理。

E-mail：liaogs＠xidian．edu．cn

許京偉（1987-），男，博士研究生，主要研究方向為空時自適應處理。E-mail：xujingwei1987＠163．com

曾 操（1979-），男，副教授，博士，主要研究方向為陣列信號處理、雷達地面動目標檢測。

E-mail：czeng＠mail．xidian．edu．cn

1001-506X（2015）01-0042-06

網址：www．sys-ele．com

2014- 01- 16；

2014- 03- 28；網絡優先出版日期：2014- 06- 27。

網絡優先出版地址：http：／／w ww．cnki．net／kcms／detail／11．2422．TN．20140627．0947．004．html

國家重點基礎研究發展計劃（973計劃）（2011CB707001）；國家自然科學基金（61101243）；航空科學基金（2014056005）；江西省教育廳青年科學基金（GJJ14544）資助課題