探究圓錐曲線的焦半徑和焦點弦長公式

范光龍

在高中，關于圓錐曲線中的焦半徑和焦點弦是學習的重點和難點，也是高考熱點話題，我們先來學習圓錐曲線中的焦半徑和焦點弦的性質，再來看考情，看看他在高考中的地位和作用。我們先看拋物線這樣的性質。

那么圓錐曲線是否具有上面的性質1。

我們先看以下雙曲線。

在雙曲線中，F為右焦點，AB為過F的焦點弦，CD為橢圓的右準線，與x軸交于點E。AD，BC分別垂直準線交準線于D，C。連接BD交x軸于G，直線AB的傾斜角為θ。過B作BH垂直于DA的延長線于H，e為雙曲線的離心率，p= 為雙曲線的焦準距。

我們用平面幾何的方法證明，在以上雙曲線中，根據相似比，可以得到：

EG除以BC等于DG除以DB，而FG除以FB等于DA除以BA，再將DA換成FA除以e，再化簡得：FG除以BC等于DG除以DB，從而得到FG等于EG，所以G為EF的中點。

分析：這道題的高考得分率較低，而且得分的學生花的時間較長，非常影響高考總成績，原因是學生對于圓錐曲線的焦半徑和焦點弦長公式非常陌生。如果我們掌握好圓錐曲線的焦半徑和焦點弦長公式的性質，根據條件|AF1|=3|BF1|，和性質2，解方程組，解出|AF1|，然后，|AF1|，|F1F2|，|AF2|用勾股定理，直接算出b的值。

分析：本題如果用正常思路，運算量非常大。我們可以用條件

結合性質2計算出弦長|AB|，再帶入性質3，很容易算出結果。

下面我們列舉近幾年來高考中用到次性質的問題：

（1）2007年重慶卷第16題；

（2）2008高考江西卷理科第15 題；

（3）2010年高考全國卷Ⅱ理科第12題；

（4）2010年高考全國卷Ⅰ理科第16題；

（5）2010年高考遼寧卷理科第20題。

通過以上論述，圓錐曲線的焦半徑和焦點弦的性質是非常的重要，所以我們很有必要學好他。

（作者單位：安徽省巢湖市第一中學）