讓學生經歷探索，去感悟模型魅力

王桂清 趙順天

本文結合人教版五下“找次品”的教學，談一談如何讓學生經歷“感悟天平模型→建立‘分3模型→完善‘分3模型→提煉3■模型”的過程，滲透模型思想。

一、動手操作，體驗天平模型

“找次品”是學生通過借助天平的構造原理建立 3■ 的數學模型。整個探究過程不但抽象而且隨著物品的增多，隨機性也越來越強。對于五年級小學生來說，他們的思維還處在以形象思維為主向抽象思維過渡的階段，如果沒有天平作為支撐，天平稱次品的過程所呈現的隨機性是很難想象并形成表征的，此時的小組動手操作就顯得尤為重要。

例如，給每個小組一架天平、9瓶鈣片（其中1瓶是次品）、一只黑色袋子和一只綠色袋子 。課前把1瓶次品和2瓶正品的鈣片裝入黑色袋子，把其余6瓶正品鈣片裝入綠色袋子。

活動一：①提問，你能用天平把黑色袋子里的1瓶次品找出來嗎？②學生動手操作。③討論，稱幾次能把次品找出來？學生有的認為是1次，有的認為是2次。認為是2次的學生是當天平平衡時因缺乏經驗不敢斷定余下的那1瓶是次品，就繼續把余下的那1瓶和天平上的任意1瓶再次驗證，把驗證的這一次也算1次。經過討論與交流，再次實踐與驗證（反復稱幾次）后，斷定只需1次就能從3瓶鈣片中找出1瓶次品。④得出結論，從3瓶鈣片中找出1瓶次品，只需1次就能保證找出。

活動二：①操作，在黑色袋子里再添加6瓶正品鈣片，束緊袋口，攪亂。②學生動手操作。③討論，稱幾次能把次品找出來？④結論不一，產生矛盾。此過程，賦予學生充足的時間與空間，學生的主動性與積極性在一次又一次的探索發現中被充分調動起來，讓學生在“找中學”，在找中積累活動經驗，在找中感悟知識背后所隱藏的天平模型——分3模型，即天平兩端各為1份，余下的為1份。

二、符號表征，建立“分3模型”

對于用天平“找次品”，雖然給了學生充分的時間與空間動手操作，但操作過程所呈現的結果多而繁雜。引導學生用簡潔、清晰的符號表征稱的過程，既可以記錄下活動的瞬間與每次稱的過程，又可以進行系統分析。

例如：從3瓶鈣片中找出1瓶次品，可引導學生用以下符號表征（圖1）

其中，第一個“3”表示總瓶數，第二個“3”表示分成3份，“（？搖？搖？搖）”里的3個“1”表示每份為1瓶，“＼”表示天平不平衡，“↑”既表示天平上揚的一端，又表示較輕的次品所在的位置，“_”表示天平平衡。這樣的符號系統既可以表示用天平稱的過程，又可以一目了然地看出一共稱了幾次。

從9瓶鈣片中找出1瓶次品隨機性強且過程復雜，學生在稱的過程中可能出現以下幾種情況。

情景一：

由天平連續平衡到第一次就不平衡，最多4次，最少1次。

情景二： 情景三：

最多3次，最少2次。 最多3次，最少1次。

情景四：

無論天平平衡與否都是2次。

先讓學生經歷搜集、整合相關信息的過程，探討解決問題的方案，再通過觀察比較、分析綜合，抽象概括出：從9瓶鈣片中找出1瓶次品至少稱2次保證能找出；最佳方案是：把9瓶鈣片平均分成3份。原因一：9剛好是3的倍數；原因二：平均分成3份剛好與天平的模型相匹配，天平兩端各1份，余下為1份，剛好3份，不管天平平衡與否都能第一次排除■的正品，次品就隱藏在1份里，稱的次數自然減少。由此推導出：當物品的個數剛好是3的倍數時平均分成3份稱的次數最少。平均分成3份即“分3模型”在充滿觀察、對比、分析與綜合的活動過程中被建立。引領學生對“知識背后的知識”的探究，體驗知識的形成過程，發現知識的形成通道才是數學建模教學背景下應有的學習過程。

三、變式例證，完善“分3模型”

所謂變式是指變更對象的非本質屬性，突出隱蔽的本質要素。變式例證就是運用不同的知識和方法，對有關數學概念、定理、公式及課本上的習題進行不同角度、層次、情形、背景等的變化的例證，引導學生從變的現象中發現不變的本質，從不變中探求規律，逐步完善數學模型。

例如，當學生概括出當所稱物品是3的倍數時平均分成3份，稱的次數既最少又能保證找出次品。教師提問：“如果所稱物品不是3的倍數時是不是也分成3份稱，次數最少又能保證找出次品呢？就如從8瓶鈣片中找出1瓶較重的鈣片，怎么分？至少稱幾次能保證找出次品？”教師再次引導學生用符號表征。

圖6與圖7為學生中典型的兩種分法。學生通過觀察、對比后發現分成3份的次數最少又保證能找出次品。教師再提出假設：如果所稱物品是10瓶、11瓶鈣片呢？（列出圖8）

引導學生觀察發現：最多的1份比最少的1份少1。類比概括：當所稱物品不是3的倍數時，把物品盡量平均分成3份，最多的1份比最少的1份多1?？偨Y：當所稱物品是3的倍數時，把所稱物品平均分成3份；不是3的倍數時，把所稱物品盡量平均分成3份，即“分3模型”。這一模型與天平模型相吻合。

四、拓展延伸，提煉“3■ 模型”

用天平“找次品”這一模型的建立如果僅僅止于把所測物品“平均分成3份”或“盡量平均分成3份”，那模型的建立是不完整的。應結合教材中的“你知道嗎？”進行分析，提煉出最終的模型——“3■模型”。

用天平找次品時，所測物品數目與至少需要測試的次數有以下關系（只含一個正品，已知次品比正品重或輕）

問題：（1）要保證6次能測出次品，待測物品可能是多少個？（2）從上表中你能發現什么規律？為什么？

要解決以上兩個問題就要先提煉出用天平找次品的最終模型。引導學生從上表中找出3、9、27、81、243等數量，讓學生發現這些數剛好是3的n次方，即3■、3■、3■、3■……3■，對比分析后發現3的幾次方剛好就是天平所稱的次數。就如3的1次方剛好稱1次，物品的范圍在2～3；3的2次方剛好稱2次，物品的范圍在4～9；3的3次方剛好稱3次，物品的范圍在10～27等。提煉出3■模型后問題（1）就迎刃而解，先算出3的6次方是729，則待測物品可能是244～729。此環節其實是過程性模型，其實質是滲透以個別的知識為前提，推出一般性結論的歸納推理；從一般性結論出發，得到個別的、具體的演繹推理的方法。

（作者單位：福建省安溪縣實驗小學？搖？搖？搖本專輯責任編輯：王彬）