諧振式加速度計(jì)非線性振動(dòng)的建模與優(yōu)化

嚴(yán) 斌，劉云峰，董景新

（清華大學(xué) 精密儀器系 精密測(cè)試技術(shù)及儀器國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100084）

諧振式加速度計(jì)非線性振動(dòng)的建模與優(yōu)化

嚴(yán) 斌，劉云峰，董景新

（清華大學(xué) 精密儀器系 精密測(cè)試技術(shù)及儀器國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100084）

實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)硅微諧振式加速度計(jì)非線性效應(yīng)的弱化可以降低測(cè)量噪聲，對(duì)非線性振動(dòng)進(jìn)行了推導(dǎo)與建模，利用掃頻數(shù)據(jù)得到模型中的未知參數(shù)，并根據(jù)模型計(jì)算出使非線性效應(yīng)消失所需的激勵(lì)電壓，給閉環(huán)工作點(diǎn)的設(shè)計(jì)提供了理論指導(dǎo)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：模型與實(shí)際系統(tǒng)在各激勵(lì)電壓幅值下均保持一致，非線性效應(yīng)消失點(diǎn)和實(shí)驗(yàn)吻合。根據(jù)閉環(huán)工作點(diǎn)的設(shè)置進(jìn)行了方案優(yōu)化，最終在0.25 mV激勵(lì)電壓下的閉環(huán)實(shí)驗(yàn)中，實(shí)現(xiàn)了5.5×10-5Hz的頻率輸出噪聲，對(duì)應(yīng)加速度噪聲為1.7 μg，與之前30 μg的噪聲水平相比改善了數(shù)十倍。

諧振式加速度計(jì)；非線性振動(dòng)；杜芬方程；降低噪聲

硅微諧振式加速度計(jì)利用諧振梁的振動(dòng)頻率變化來(lái)表示其敏感的加速度大小，具有高精度、抗干擾、大動(dòng)態(tài)范圍的潛力[1]。 國(guó)內(nèi)外多家研究機(jī)構(gòu)均展開(kāi)了相關(guān)研究，取得了較大進(jìn)展。目前報(bào)道中美國(guó)Draper實(shí)驗(yàn)室性能最佳，其在2006年研制出零偏穩(wěn)定性優(yōu)于1 μg和標(biāo)度因數(shù)穩(wěn)定性優(yōu)于 1×10-6的諧振式加速度計(jì)，驗(yàn)證了其獨(dú)特優(yōu)勢(shì)和發(fā)展?jié)摿2]。國(guó)內(nèi)南京理工大學(xué)在 2013年實(shí)現(xiàn)了 3.6 μg的零偏穩(wěn)定性和 13.5 μg/√Hz的分辨率[3]。

加速度計(jì)要達(dá)到高精度的零偏穩(wěn)定性和分辨率，都離不開(kāi)極低的輸出噪聲水平。諧振式加速度計(jì)的標(biāo)度因數(shù)代表輸出變化頻率與測(cè)量加速度的比值，在設(shè)計(jì)時(shí)就已確定。因此，對(duì)于諧振式加速度計(jì)來(lái)說(shuō)，頻率的輸出噪聲是極為關(guān)鍵的。

本文通過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)諧振梁振動(dòng)引起的非線性效應(yīng)明顯影響了系統(tǒng)的工作性能，并對(duì)其進(jìn)行了理論推導(dǎo)與建模。結(jié)合模型的仿真和實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，降低激勵(lì)電壓幅值可以有效減弱非線性效應(yīng)，改善閉環(huán)后的噪聲水平，并且激勵(lì)電壓小于某個(gè)底限值后，非線性效應(yīng)消失，不需要無(wú)限降低。根據(jù)計(jì)算出的消失點(diǎn)對(duì)閉環(huán)方案進(jìn)行優(yōu)化，最終在0.25 mV激勵(lì)下，實(shí)現(xiàn)了單梁 5.5×10-5Hz的頻率輸出噪聲，對(duì)應(yīng)加速度噪聲為1.7 μg。

1 硅微諧振式加速度計(jì)的非線性模型

1.1 非線性現(xiàn)象

實(shí)驗(yàn)使用的加速度計(jì)采用雙端音叉結(jié)構(gòu)，為了提高系統(tǒng)品質(zhì)因數(shù)，上下梁對(duì)稱(chēng)設(shè)計(jì)且工作在反向模態(tài)，MEMS結(jié)構(gòu)使用帶尾管的金屬管殼進(jìn)行真空封裝，如圖1所示。

圖1 實(shí)驗(yàn)使用的加速度計(jì)和電路Fig.1 Accelerometer and circuit used in the experiment

通常我們將加速度計(jì)簡(jiǎn)化為二階系統(tǒng)在頻域上進(jìn)行仿真。但在閉環(huán)實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，通過(guò)降低激勵(lì)電壓的幅值，可以提高系統(tǒng)的噪聲水平（2013年實(shí)驗(yàn)室的噪聲水平從65.4 μg降低到約30 μg）[4-5]。進(jìn)一步的實(shí)驗(yàn)說(shuō)明，這是由于雙端固支梁的硬彈簧效應(yīng)引起的非線性已經(jīng)明顯影響了系統(tǒng)的工作特性，限制了精度的提高，如圖 2。在參考其他領(lǐng)域的微納米諧振梁非線性研究之后[6-7]，對(duì)諧振式加速度計(jì)的非線性振動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行深入的研究就顯得更加必要。

圖2 使用動(dòng)態(tài)信號(hào)分析儀向上和向下掃頻Fig.2 Sweep up and down by dynamic signal analyzer

1.2 非線性模型的推導(dǎo)和求解

由于雙端音叉結(jié)構(gòu)同一側(cè)的上下梁對(duì)稱(chēng)振動(dòng)，只需考慮一根梁的工作狀態(tài)，趙淑明的工作給出了非線性振梁的物理模型推導(dǎo)以及振幅與頻率的關(guān)系方程，如式(1)(2)，并定性描述了非線性因素對(duì)系統(tǒng)造成的影響[8]。

要定量對(duì)非線性因素的影響進(jìn)行分析，需要得出相位和頻率在給定的振幅下的求解方程。式(1)可以轉(zhuǎn)變?yōu)?/p>

式中：γ=B/M，k1=Mω，M為諧振梁等效集中質(zhì)量，B為阻尼系數(shù)。

式(3)為振動(dòng)力學(xué)中常見(jiàn)的杜芬方程，由于振梁的非線性項(xiàng) k3＞0，系統(tǒng)將呈現(xiàn)硬彈簧效應(yīng)。根據(jù)振動(dòng)力學(xué)的推導(dǎo)，使用漸進(jìn)解法，其一階近似解為Y( t) = A cos （ωt + φ） ，在穩(wěn)態(tài)情況下的解為

考慮近共振情況(ω0+ω≈2ω0)，容易得出非線性振動(dòng)時(shí)頻率和相位的解，如式(5)，其中，等效共振頻率ωe=ω0(1+3k3A2/8k1)。

當(dāng)ω=ωe時(shí)，振幅最大，且相位為

1.3 求解方程中參數(shù)的計(jì)算與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

根據(jù)7 mV正弦波激勵(lì)幅值下的掃頻實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，利用上面推導(dǎo)的公式，可以估算出阻尼系數(shù) B、品質(zhì)因數(shù)Q和非線性系數(shù)k3：

式中：k有效力為激勵(lì)電路加力有效系數(shù)，av為位移到電壓的轉(zhuǎn)換系數(shù)。

將上述參數(shù)代回式(5)中，即可計(jì)算出任意幅值下，該加速度計(jì)的幅頻和相頻特性。2 mV、7 mV、10 mV、14 mV激勵(lì)時(shí)對(duì)應(yīng)的非線性模型的特性曲線如圖 3所示。圖4為對(duì)應(yīng)相同激勵(lì)幅值的實(shí)際掃頻數(shù)據(jù)，可以看出，兩者十分吻合。實(shí)驗(yàn)說(shuō)明模型適用于實(shí)際情況，可以使用計(jì)算值去推測(cè)各不同激勵(lì)幅值時(shí)的系統(tǒng)特性。

圖3 根據(jù)非線性模型計(jì)算出的幅頻和相頻曲線Fig.3 Calculated by the nonlinear model

圖4 實(shí)際掃頻測(cè)量得到的幅頻和相頻曲線Fig.4 Measured by dynamic signal analyzer

2 非線性因素的影響

可以看到，等效諧振頻率會(huì)受到振幅大小的影響，同時(shí)，諧振峰將向右彎曲，出現(xiàn)了多值共振的情況，產(chǎn)生了非穩(wěn)態(tài)與穩(wěn)態(tài)區(qū)域，曲線在臨界點(diǎn)會(huì)進(jìn)行跳躍，且由于正向和反向的跳躍點(diǎn)不同，還呈現(xiàn)出類(lèi)似于遲滯的現(xiàn)象[7,9]。同時(shí)，隨著激勵(lì)振幅增大，非線性效應(yīng)也在增強(qiáng)，在諧振點(diǎn)附近的幅值和相位變化越來(lái)越緩慢，如圖5所示。

圖5 非線性模型的幅頻和相頻曲線Fig.5 Curves of the nonlinear model

2.1 非線性對(duì)相位閉環(huán)的影響

系統(tǒng)閉環(huán)電路采用自激振蕩方案，并使用穩(wěn)幅環(huán)對(duì)振動(dòng)幅值進(jìn)行控制，如圖6所示。由于非線性的增強(qiáng)，靠近諧振點(diǎn)的相位變化越來(lái)越緩慢，進(jìn)而使得針對(duì)相位進(jìn)行閉環(huán)的系統(tǒng)對(duì)相位噪聲越來(lái)越敏感，導(dǎo)致輸出頻率穩(wěn)定性下降。

圖6 系統(tǒng)閉環(huán)框圖Fig.6 Block diagram of the closed-loop system

實(shí)際環(huán)路中，不可避免存在與理想環(huán)節(jié)出現(xiàn)偏差的延遲，導(dǎo)致閉環(huán)不能準(zhǔn)確閉在-90°點(diǎn)上，而且由于跳躍現(xiàn)象會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定工作，一般將閉環(huán)點(diǎn)選在-90°左側(cè)。從圖3也可以看到，即使是接近-90°的相位點(diǎn)，隨著激勵(lì)振幅增大，其相位斜率也在變緩。

調(diào)整穩(wěn)幅環(huán)的目標(biāo)電壓，并對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行閉環(huán)實(shí)驗(yàn)。通過(guò)閉環(huán)實(shí)驗(yàn)測(cè)得7 mV、10 mV、14 mV 激勵(lì)下對(duì)應(yīng)的頻率輸出，取穩(wěn)定后100個(gè)點(diǎn)的數(shù)據(jù)（1 s采樣一次），計(jì)算出標(biāo)準(zhǔn)差分別為0.446 mHz、1.69 mHz、3.52 mHz，如圖7所示。可以看到，激勵(lì)幅值越小，噪聲越小，但由于電路方案和信噪比的原因，更低幅值的閉環(huán)較為困難。

圖7 不同激勵(lì)幅值下系統(tǒng)閉環(huán)輸出的頻率噪聲對(duì)比Fig.7 Frequency noise outputted by closed-loop system under different excitation voltages

2.2 非線性效應(yīng)消失的條件

由上述推導(dǎo)和實(shí)驗(yàn)可知，由于非線性因素的存在，對(duì)系統(tǒng)精度的提升造成了很大的阻礙，這一是由于跳躍現(xiàn)象的存在，二是由于相位變化的變緩。那是否存在一個(gè)臨界點(diǎn)，在激勵(lì)幅值小于該點(diǎn)時(shí)，非線性現(xiàn)象消失呢？對(duì)此，下面進(jìn)行理論推導(dǎo)。

假設(shè)非線性消失的臨界點(diǎn)是相頻幅頻曲線的多值對(duì)應(yīng)現(xiàn)象的消失，即相位和幅值都與頻率是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，則該推導(dǎo)轉(zhuǎn)變?yōu)槭沟糜野攵畏l曲線的斜率一直小于0的條件求解。數(shù)學(xué)表達(dá)如下：

將各參數(shù)代入式(6)，計(jì)算出，要使該加速度計(jì)的非線性消失，則要求：

使用式(5)畫(huà)出激勵(lì)幅值在0.8 mV周?chē)姆l相頻曲線，如圖8所示，與式(7)的結(jié)論一致，說(shuō)明推導(dǎo)結(jié)果正確。從式(7)中可以看出，要想消除非線性效應(yīng)，需要保證電路在 0.8 mV時(shí)激勵(lì)信號(hào)的信噪比和諧振梁振幅56 nm時(shí)電容檢測(cè)電路的信噪比，對(duì)于乘法器直接輸出激勵(lì)信號(hào)的方案來(lái)說(shuō)還是比較困難的，但給之后的改進(jìn)方向提供了一個(gè)終點(diǎn)，為閉環(huán)工作點(diǎn)的設(shè)計(jì)提供了理論基礎(chǔ)。

圖8 激勵(lì)在0.8 mV左右非線性模型計(jì)算的幅頻相頻曲線Fig.8 Respond curves calculated by non-linear model under different excitation voltages around 0.8 mV

3 改進(jìn)措施及實(shí)驗(yàn)結(jié)果

由于之前激勵(lì)電壓直接由乘法器給出，且乘法器噪聲較大，在低幅值輸出時(shí)信噪比過(guò)低，無(wú)法得到更好的結(jié)果。因此，在乘法器之后加入衰減器。為了保證表頭的輸出振幅，激勵(lì)振幅不變，則閉環(huán)電路將自動(dòng)調(diào)整乘法器輸出，使其放大對(duì)應(yīng)的倍數(shù)，從而提高了信噪比。

衰減倍數(shù)設(shè)計(jì)為16倍。對(duì)于0.25 mV的激勵(lì)電壓，乘法器輸出為4 mV，頻率輸出如圖10所示，并每100點(diǎn)去除漂移后計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差作為噪聲值。對(duì)穩(wěn)定后的噪聲值進(jìn)行平均，結(jié)果約為5.5×10-5Hz，對(duì)于該結(jié)構(gòu)單梁的標(biāo)度因素為33 Hz/g，可計(jì)算出加速度測(cè)量噪聲為1.7 μg。

圖9 優(yōu)化后的系統(tǒng)閉環(huán)框圖Fig.9 Optimized block diagram of the closed-loop system

圖10 優(yōu)化后的頻率輸出及噪聲Fig.10 Output frequency and noise after optimization

4 結(jié) 論

本文發(fā)現(xiàn)硅微諧振式加速度計(jì)非線性效應(yīng)的弱化可以降低測(cè)量噪聲，對(duì)非線性振動(dòng)進(jìn)行了推導(dǎo)與建模，利用掃頻數(shù)據(jù)得到模型中的未知參數(shù)，并根據(jù)模型計(jì)算出使非線性效應(yīng)消失所需的振梁振動(dòng)幅值和相應(yīng)的激勵(lì)電壓，給閉環(huán)工作點(diǎn)的設(shè)計(jì)提供了理論指導(dǎo)。

實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了模型與實(shí)際系統(tǒng)在各激勵(lì)電壓幅值下均保持一致，以及非線性效應(yīng)消失點(diǎn)和實(shí)驗(yàn)吻合。根據(jù)閉環(huán)工作點(diǎn)的指導(dǎo)進(jìn)行了方案優(yōu)化，最終在0.25 mV激勵(lì)電壓下的閉環(huán)實(shí)驗(yàn)中實(shí)現(xiàn)了5.5×10-5Hz的頻率輸出噪聲，對(duì)應(yīng)加速度噪聲為1.7 μg，與之前30 μg的噪聲水平相比提升了數(shù)十倍。

（References）：

[1] Su S X P, Yang H S, Agogino A M. A resonant Accelerometer with two-stage microleverage mechanisms fabricated by SOI-MEMS technology[J]. IEEE Sensors Journal, 2005, 5(6): 1214-1223.

[2] Hopkins R, Miola J, Setterlund R, et al. The silicon oscillating accelerometer: A high-performance MEMS accelerometer for precision navigation and strategic guidance applications[J]. The Draper Technology Digest, 2006, 10: 4-13.

[3] Xia Guo-ming, Qiu An-ping, Shi Qin, et al. Test and evaluation of a silicon resonant accelero- meter implemented in SOI technology[C]//2013 IEEE Conference on Sensors. 2013: 1-4.

[4] 胡淏. 硅微諧振式加速度計(jì)關(guān)鍵技術(shù)研究[D]. 北京:清華大學(xué), 2011. Hu Hao. Research on key technologies of micromechanical silicon resonant accelerometer[D]. Beijing: Tsinghua University, 2011.

[5] 王帆, 董景新, 趙淑明. 硅微振梁式加速度計(jì)的溫度檢測(cè)及閉環(huán)控制[J]. 光學(xué)精密工程, 2014, 22(6): 1590-1597. Wang Fan, Dong Jing-xin, Zhao Shu-ming. Temperature measurement and close-loop control of silicon resonant accelerometer[J]. Optics and Precision Engineering, 2014, 22(6): 1590-1597.

[6] Kacem N, Hentz S, Pinto D, et al. Nonlinear dynamics of nanomechanical beam resonators: Improving the performance of NEMS-based sensors[J]. Nanotechnology, 2009, 20(27): 11969-11974.

[7] 梁新建, 鄭旭東, 李丹東, 等. 一種基于高線性度弓形支撐梁的新型 MEMS陀螺設(shè)計(jì)[J]. 導(dǎo)航與控制, 2011, 10(3): 49-53. Liang Xin-jian, Zheng Xu-dong, Li Dan-dong, et al. A novel design of MEMS gyroscope based on high linearity bow-shaped beam[J]. Navigation and Control, 2011, 10(3): 49-53.

[8] Zhao S M, Liu Y F, Wang F, et al. Research on non-linear vibration in micro-machined resonant accelerometer[C]//Proceedings of the 14th Nanotech Conference. Washington, 2012: 637-640.

[9] 劉恒, 劉清惓, 孟瑞麗. 一種諧振式微加速度計(jì)表芯非線性動(dòng)力學(xué)分析及實(shí)驗(yàn)[J]. 中國(guó)慣性技術(shù)學(xué)報(bào), 2012, 20(4): 485-490. Liu Heng, Liu Qing-quan, Meng Rui-li. Analysis and experiment on nonlinear dynamics of resonant microaccelerometer[J]. Journal of Chinese Inertial Technology, 2012, 20(4): 485-490.

Modeling and optimization of resonant accelerometer’s nonlinear vibration

YAN Bin, LIU Yun-feng, DONG Jing-xin
(State Key Laboratory of Precision Measurement Technology and Instruments, Department of Precision Instrument, Tsinghua University, Beijing 100084, China)

The weakening of nonlinear behavior can reduce the measurement noise, so a nonlinear model for the vibrating beam is derived. The unknown parameters of the model are calculated by sweeping-frequency data. The excitation voltage required for the disappearance of nonlinear behavior is solved, and this provides theoretical guidance for the closed-loop set-point design. Experimental results demonstrate that the calculated curves are consistent with actual system under different excitation voltages, and the disappearance point of the nonlinear behavior coincides with the experiment. Then the closed-loop scheme is optimized according to the set-point, and the corresponding experiment under the excitation voltage of 0.25 mV shows that the frequency output noise reaches 5.5×10-5Hz, and the corresponding acceleration noise is 1.7 μg which is reduced by more than ten times compared with the noise level of 30 μg before.

resonant accelerometer; nonlinear vibration model; Duffing equation; noise reducing

U666.1

：A

2015-08-13；

：2015-11-25

十二五預(yù)研項(xiàng)目（20114113015）

嚴(yán)斌（1990—），男，博士生，從事MEMS加速度計(jì)研究。E-mail: 001yanbin@sina.com

聯(lián) 系 人：董景新（1948—），男，教授，博士生導(dǎo)師。E-mail: dongjx@mail.tsinghua.edu.cn

1005-6734(2015)06-0775-05

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2015.06.014