基于二次測量的曲面反求自適應(yīng)采樣方法研究*

□ 郭俊鋒 □ 岳秀超 □ 魏興春

蘭州理工大學(xué)機電工程學(xué)院 蘭州 730050

在航空發(fā)動機葉片無損檢測［1］中，超聲檢測［2］因其指向性好、穿透力強得到了廣泛應(yīng)用。超聲波垂直反射的特性，要求超聲檢測過程中探頭的入射方向要始終垂直于葉片表面［3］，這就需要從葉片CAD模型獲得葉片曲面信息。但是由于涉及到商業(yè)機密，用戶往往不能夠從生產(chǎn)廠家獲得葉片的CAD模型，這就需要運用曲面反求技術(shù)獲得葉片的CAD模型。

曲面反求是指根據(jù)實物模型測得曲面數(shù)據(jù)信息，構(gòu)造出曲面CAD模型［4-5］，即利用三維數(shù)據(jù)測量設(shè)備檢測曲面的三維數(shù)據(jù)信息，根據(jù)獲得的曲面數(shù)據(jù)信息構(gòu)造出滿足擬合精度要求的曲面CAD模型［6］。曲面三維數(shù)據(jù)信息能否全面地反映曲面曲率變化，對于曲面擬合精度有著重要的影響。擬合曲面是否精準(zhǔn)，對超聲檢測過程中能否發(fā)現(xiàn)曲面缺陷有著重要的影響，因此在曲面反求過程中，采樣方法要能夠提高曲面反求的精度。

目前，對于曲面模型未知的情況一般采用等間距采樣，即三坐標(biāo)測量機在采樣方向上等間隔地進(jìn)行點的數(shù)據(jù)采樣。但等間隔采樣方法采樣點的分布不能反映曲面曲率變化，在檢測點數(shù)目一定的情況下，得到的反求曲面精度低于采用自適應(yīng)采樣方法［7］得到的反求曲面精度。

數(shù)學(xué)模型未知曲面應(yīng)用自適應(yīng)采樣方法的關(guān)鍵就是獲取曲面曲率變化信息，目前主要有兩種方法:①基于探路法的自適應(yīng)采樣［8］；② 視覺傳感器導(dǎo)航預(yù)測法［9］。兩種方法除了三坐標(biāo)測量機外，還需要專用的輔助設(shè)備，不適用于航空發(fā)動機葉片的檢測。

筆者提出了基于二次測量的曲面反求變弧長自適應(yīng)采樣方法，第一次利用三坐標(biāo)測量機對未知曲面測量少數(shù)關(guān)鍵點數(shù)據(jù)信息，擬合出初始曲面，獲得未知曲面的基本曲率信息；基于這些曲率信息，第二次進(jìn)行曲面變弧長自適應(yīng)采樣測量，從而重構(gòu)出曲面的精確CAD模型。

1 基于杠桿原理的變弧長自適應(yīng)采樣方法

曲面反求過程中，采樣點的分布要隨曲率的變化而變化，即在曲率大處采樣點密，反之采樣點稀疏。等弧長自適應(yīng)采樣是簡單、易用的自適應(yīng)采樣方法，但用這種方法采樣的點，其分布不能完全反映曲面曲率變化，有一定的局限性。本文基于杠桿原理提出了變弧長自適應(yīng)采樣方法。

1.1 曲率與檢測點分布的數(shù)學(xué)模型建立

等弧長法是自適應(yīng)采樣中應(yīng)用比較多的方法，該采樣方法在一定程度上反映了曲率變化信息，曲率大處采樣點密，曲率小處采樣點稀疏，但是該自適應(yīng)采樣方法不能準(zhǔn)確反映曲線曲率的變化。曲線某點的曲率和曲線平均曲率，與運動學(xué)中瞬時速度和平均速度類似，即單位弧段上切線轉(zhuǎn)過的角度 （如圖1所示），該弧段的平均彎曲程度也稱為平均曲率，記作K

▲圖1 平均曲率原理圖

式中：K為平均曲率；Δl為兩點間弧長；Δα為曲線上兩點切線的夾角。

若每段弧長所包含的曲率信息相同，即采樣點切線轉(zhuǎn)過的夾角相等（Δα1=Δα2），那么平均曲率大的弧段對應(yīng)弧長較短，反之弧長較長。因此為了能夠使檢測點充分反映曲線曲率變化，弧長應(yīng)隨曲率變化而變化。由物理學(xué)杠桿平衡原理可知：

式中：m1、m2為物體的質(zhì)量；x1、x2為物體到支點的距離。

要保持杠桿的平衡，物體質(zhì)量大的一邊離杠桿支點近，而質(zhì)量小的一邊離杠桿支點遠(yuǎn)，即x1＜x2，如圖2所示。

▲圖2 杠桿原理示意圖

曲線自適應(yīng)采樣在曲率大的位置采樣點間弧長短，曲率小的位置采樣點間弧長長。因此基于杠桿原理的特點，可建立曲率與檢測點弧長之間的數(shù)學(xué)模型。若曲線方程為 y=f（x），其中（a≤x≤b），a、b 為函數(shù)自變量上限與下限，則曲率計算公式為:

設(shè)曲線上 3 個點 i、i+1、i+2，其曲率分別為 ki、ki+1、ki+2，與其對應(yīng)檢測點間弧長分別為li、li+1，基于杠桿原理建立曲率與弧長的數(shù)學(xué)模型：

因此便可在曲線曲率大處的檢測點間弧長短，曲率小處的檢測點間弧長長。檢測點的分布反映曲線曲率的變化，因為曲線存在曲率為零的情況，為了使公式更具普遍性，對式（5）進(jìn)行了修正，在曲率上加了一個正數(shù)c，c值的大小可以調(diào)節(jié)采樣點間距隨曲率變化的程度，c值越小，采樣點間距隨曲率變化越大，反之變化小。最終建立曲率與采樣點間弧長數(shù)學(xué)模型：

若已知曲線數(shù)學(xué)模型，如圖3所示，點i與li給定，可求得點i+1，并可計算出該點的曲率ki+1，則該點與下一個采樣點i+2間的弧長li+1就可得到。

對于已知數(shù)學(xué)模型曲線，根據(jù)曲率公式可計算出曲率最大值kmax與對應(yīng)點的坐標(biāo)（x0，y0），給定 kmax對應(yīng)點到下一采樣點弧長為l0，l0取值應(yīng)略大于三坐標(biāo)測量機的最小采樣間隔。根據(jù)弧長公式可計算出點的坐標(biāo)（x1，y1）和該點的曲率k1，給定 c 的值，便可計算出點（x1，y1）到下一個采樣點（x2，y2）對應(yīng)的弧長 l1：

依次可計算出（x2，y2）、…、（xn，yn）與 l2、…、ln，設(shè)曲線總弧長為l，則有以下關(guān)系：

▲圖3 變弧長采樣示意圖

計算弧長所得的弧長之和會出現(xiàn)大于l的情況，則此時點（xn，yn）為曲線的端點。

1.2 等弧長采樣與變弧長采樣擬合精度比較

對已知數(shù)學(xué)表達(dá)式的曲線分別運用等弧長采樣方法和變弧長采樣方法進(jìn)行三次B樣條擬合驗證。

已知曲線的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

▲圖4 n=22時兩種采樣方法擬合精度比較

▲圖5 兩種采樣方法不同采樣點數(shù)的誤差示意圖

式中：x∈［0，10］，運用式（3）計算得到，當(dāng) x=10 時，kmax=0.5859。

基于式（6），分別取 c=1、0.3、0.2、0.1，n=22、15、13、11，進(jìn)行等弧長與變弧長采樣。

基于這些采樣點，運用MATLAB軟件進(jìn)行三次B樣條曲線擬合并計算出與原曲線的誤差，如圖4所示，三次B樣條曲線可表示為：

式中：pj為已知的采樣點，這里作為特征多邊形頂點；u為參數(shù)，u∈［0，1］；Bj3（u）為三次 B 樣條基函數(shù)；P（u）為三次B樣條函數(shù)。

計算擬合曲線與原曲線誤差 e=|f（x）-P（u）|，得到最終誤差如圖4～圖6及表1所示。結(jié)果表明：①在采樣點個數(shù)相同的情況下，變弧長采樣擬合精度優(yōu)于等弧長采樣；②隨著采樣點個數(shù)的增大，兩種采樣方法擬合精度也在提高，但變弧長采樣相對于等弧長采樣擬合精度提高不明顯；③當(dāng)采樣點個數(shù)取適中，變弧長采樣相對于等弧長擬合精度提高最明顯。曲面反求過程中采樣點個數(shù)既不能太多也不能太少，采樣點太多擬合精度提高不明顯，太少誤差變大。

▲圖6 初始采樣示意圖

2 基于二次測量的未知曲面變弧長自適應(yīng)采樣策略

2.1 曲面曲率信息的獲取

對于未知自由曲面，由于曲面曲率信息未知，不能進(jìn)行自適應(yīng)采樣，因此采用二次測量的方法對未知曲面進(jìn)行重構(gòu),即利用三坐標(biāo)測量機對反映曲面形狀信息關(guān)鍵幾何要素（曲面邊緣線、截面形狀曲線）進(jìn)行采樣，重構(gòu)出初始曲面如圖7、8所示，得到未知曲面近似數(shù)學(xué)模型，獲取曲面曲率信息。

2.2 葉片自適應(yīng)采樣策略

葉片曲面形狀具有一定的特殊性，曲率變化在一個方向上劇烈，在另一方向上曲率變化緩慢。基于獲得的曲面曲率信息，確定采樣方向和進(jìn)給方向，如圖9所示。采樣點要盡可能依據(jù)曲面曲率信息分布，采樣方向應(yīng)選擇曲率變化比較劇烈的方向V,而曲率變化緩慢的方向U作為采樣進(jìn)給方向。曲面自適應(yīng)采樣除了在采樣方向上自適應(yīng)采樣，同時還要保證在進(jìn)給方向上的自適應(yīng)分布采樣。因此在規(guī)劃葉片自適應(yīng)采樣時，需通過重構(gòu)的初始曲面找出曲面邊緣線，確定進(jìn)給方向上的自適應(yīng)進(jìn)給，自適應(yīng)采樣流程如圖10所示。

表1 n=22時兩種采樣方法擬合誤差

▲圖7 初始曲面擬合圖

▲圖8 葉片曲面圖

▲圖9 葉片自適應(yīng)采樣策略圖

▲圖10 自適應(yīng)采樣流程圖

3 自適應(yīng)采樣仿真試驗

為了驗證方法的有效性，本文采用了已知CAD模型的自由曲面進(jìn)行驗證。對已知曲面進(jìn)行初始離散，得到曲面關(guān)鍵幾何要素的離散點信息，擬合出曲面初始模型。根據(jù)得到的曲面初始模型，分別采用等弧長、等弦弧比、等弦弧差和變弧長4種自適應(yīng)采樣方法對初始曲面進(jìn)行離散，然后對這些點進(jìn)行曲面擬合，從而得到曲面精確模型。仿真試驗步驟如下所述。

①對已知CAD模型曲面進(jìn)行離散，獲取曲面關(guān)鍵幾何要素（曲面邊緣線、截面線）離散點的坐標(biāo)信息；

②基于離散點坐標(biāo)信息，進(jìn)行曲面擬合，確定曲面的采樣方向與進(jìn)給方向；

③對曲面分別進(jìn)行自適應(yīng)離散，獲得離散點的坐標(biāo)信息；

④基于坐標(biāo)信息進(jìn)行曲面擬合，得到曲面精確模型并與原曲面進(jìn)行誤差分析。

多次模擬試驗結(jié)果如表2、圖11所示，利用變弧長自適應(yīng)采樣方法相對于等弧長等自適應(yīng)采樣方法提高了模型的擬合精度，效果明顯：①當(dāng)采樣點個數(shù)相同時，變弧長采樣策略曲面擬合精度優(yōu)于其它3種采樣策略。②采樣點過多或者過少，變弧長采樣曲面擬合精度相對于等弧長采樣曲面擬合精度提高的效果不太明顯，采樣點少則所有采樣方法都會遺漏曲面曲率信息，導(dǎo)致曲面擬合精度低，而采樣點過多所有采樣方法基本上都能包含所有曲面曲率信息，擬合精度比較高。③當(dāng)采樣點數(shù)目適中時，變弧長采樣策略對曲面擬合精度提高最明顯。④本文提出的方法只需要一臺三坐標(biāo)測量機，無需任何輔助設(shè)備。

表2 不同采樣方法曲面擬合誤差

▲圖11 不同點數(shù)的等弧長與變弧長曲面擬合誤差示意圖

4 結(jié)論

對于航空發(fā)動機葉片超聲無損檢測，針對葉片曲面反求問題，基于杠桿原理提出了變弧長自適應(yīng)采樣方法，并基于此提出了基于二次測量的未知曲面反求變弧長自適應(yīng)采樣策略。模擬仿真試驗結(jié)果表明，變弧長自適應(yīng)采樣方法重構(gòu)曲面精度優(yōu)于其他三種自適應(yīng)采樣方法，且無需其它的輔助設(shè)備，易于實現(xiàn)。

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