巧用輔助線解決問題

王瀚

最近，剛學完用反比例函數解決問題，我就在課后獨自做了幾個練習來試試手. 剛開始的幾道題做起來得心應手，心里便有些沾沾自喜，但是繼續往下做的時候，這個節奏就被打斷了，因為下面這道題我不知道該如何下手了.

如圖1，E為矩形ABCD的邊CD上的一個動點，BF⊥AE于F，AB=3，BC=4，設AE=x，BF=y，求y與x之間的關系式，并寫出x的取值范圍.

首先我可以確定的是，點E在CD上運動，那么AE最短時長度與AD相等，AE最長時長度與AC相等，根據勾股定理，我可以得到AC=5，所以我可以確定x的取值范圍是3≤x≤5，但是還要求y與x的關系，這可把我難倒了. AE和BF就是兩條互相垂直的線，怎么才能確定它們之間的關系呢？

想來想去，還是直接去問老師吧. 老師看了一遍題目，說道：“BF和AE垂直，想想垂直有什么用呢？”我又想了一會，搖搖頭，感覺這個垂直好像還是沒法用.

這時老師把BE連接起來：“再看看這個垂直，現在有什么用呢？”我頓時眼前一亮：“我看到了直角三角形BFE.”當我正激動時，老師卻說道：“直角三角形BFE中BF有了，可是EF不知道呀，我們想要的是BF和AE之間的聯系呀，你再看看，BF和AE這個垂直怎么可以為你所用？”這時，我又仔細地思考了一遍，發現這個垂直可以把AE作為底，BF看做是底邊上的高，用來求三角形的面積. 而且這個三角形的面積還可以通過另外一種方法來求：把AB看做是底，那這個三角形的高就等于BC的長度. 這樣之后得到關于x和y的關系式：1/2xy=1/2×3×4，化簡之后得到y=12/x，再考慮之前x的取值范圍，那這道題的最后結果應該是：y=12/x（3≤x≤5）.

一想到我想了好久的題目，老師畫了一條輔助線之后很快就解決了，我頓時感覺輔助線真的很神奇，可以化復雜為簡單. 而我以后碰到這種圖形的問題，在沒有思路的時候也可以換條途徑，想想能不能添加輔助線來幫助解決問題.

教師點評：該生能敏銳地察覺到x的取值范圍實屬不易，而且知道想要利用垂直解題，但是找不到突破口. 在這道題中，利用好這個垂直是解決本題的關鍵，這時候要想到垂直就有垂線段，聯想到三角形的面積也需要垂線段，那就構造一個三角形，建立x和y所對應的兩條邊之間的聯系，這時候這個問題就迎刃而解了.

（指導教師：龔 瑩）