從歷史名題中學數學方法

洪飛

在歷史的長河中，留下了許多構思巧妙的有趣的名題。我們在探討其巧妙解法的同時，要進一步挖掘蘊含在其中的數學方法，以提高解題能力，培養學習數學的興趣。

l.農夫鋤草問題

一個農場有兩塊草地，大的一塊是小的一塊的兩倍。上午農夫們在大塊地上鋤草，午后分兩組，一半人繼續留在大塊地上，到晚上時恰好鋤完。另一半人到小塊地上去鋤草，到晚上還剩一小塊，這一小塊地次日由一個農夫鋤草，恰好需一天工夫。問：這農場有幾個農夫？

答：老人共有9個兒子，每人分得900克朗。

以上兩題都多設了一個未知數y，是為了便于利用題設條件列出方程，但在后面的求解過程中，y又自然消失了從而可求出x。可以看出，未知數y起了一個輔助作用，因此，我們把這種數學方法稱為輔助未知數法（也稱參數法）。輔助未知數法在數學解題中有廣泛應用。下面舉例說明這種數學方法的運用。

例題： 甲、乙、丙三車各以一定的速度從A地開往B地，乙比甲遲10分鐘出發，出發后30分鐘追上甲；丙比乙遲15分鐘出發，出發后45分鐘追上甲，問丙出發后多少分鐘追上乙？

分析：這是一道行程問題，題目中只有時間數據，難以列出方程。若設三車速度當S甲=S乙時，則可順利找到等量關系。

解：設丙出發后x分鐘追上乙，三車速度分別為V甲、V乙、V丙。因兩車追及相遇時，起點至相遇點的路程相等，故依據題意可得：

所以 x=90。

答：丙出發后90分鐘追上乙。