考慮砌體本構關系的石拱橋極限承載力研究

鄭 丹，黃才政

(重慶交通大學 河海學院，重慶 400074)

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考慮砌體本構關系的石拱橋極限承載力研究

鄭 丹，黃才政

(重慶交通大學 河海學院，重慶 400074)

考慮砌體材料受壓破壞本構關系，通過分析截面偏心受壓的彎矩軸力關系，得出了拱橋破壞過程中截面偏心距的限制條件；通過非線性優化的機構分析法得出了石拱橋的極限承載力，并在此基礎上討論了砌體抗壓強度對石拱橋的極限承載力的影響。結果表明：砌體材料的抗壓強度較低時，石拱橋承載能力對材料強度較為敏感，且隨著石拱橋跨徑的增大，敏感性進一步增大。

橋梁工程；石拱橋；砌體；偏心受壓；非線性優化

0 引 言

由于具有取材方便、造價低廉、超載能力強等眾多的優點，石拱橋廣泛應用于我國公路建設中，特別在西南地區的中小型橋梁中占比極大。在對現有公路升級改造時，經常需要對現存的大量石拱橋進行綜合性能評估，以判斷其使用壽命或進一步通過加固改造發揮其潛力[1]。但由于理論上尚存欠缺，在一些石拱橋設計、安全性評價方面僅是根據經驗判斷[2]。因此，如何采取科學、合理的理論和方法評估石拱橋的極限承載力就顯得尤為重要。

對于拱橋的極限承載力的研究，傳統的機構分析方法[3]假定砌體材料抗壓強度無窮大并且無抗拉能力，當拱內產生足夠多的塑性鉸使其變成機動體系時，結構發生破壞。錢令希[4]將線性劃法應用到石拱橋中，以拱圈最小厚度為目標函數, 提出了用拱圈實際厚度和最小厚度之比的拱厚安全度；陳榮剛等[5]以石拱圈極限偏心距的不超過4/9倍的拱圈厚度的經驗公式為約束條件，應用極限平衡理論建立了石拱橋極限承載能力分析的模型。但這些研究均假設砌體的抗壓強度為無限大，這顯然不符合實際情況。實驗表明石拱橋在破壞過程中，主拱圈會出現豎向裂紋，這表明確實存在砌體材料被壓碎的現象[6]；因此必須考慮砌體材料的受壓變形直至破壞的過程，才能正確評估石拱橋的極限承載能力。F.W.Smith等[7]考慮了砌體材料的有限強度，但得出的結論為定性分析，沒有定量計算砌體材料強度對拱橋承載力的影響；A.Orduna等[8]考慮砌塊間的變形協調，采用離散元的方法計算了砌體材料強度對拱橋極限承載力的影響，但沒有分析砌體強度影響拱橋承載力的物理機理。

筆者考慮砌體材料在受壓破壞過程中的本構關系，分析偏心受壓截面的彎矩和軸力關系，從而得出拱橋截面偏心距在拱橋破壞過程中的限制條件，然后通過非線性優化方法得出了石拱橋的極限承載力。并在此基礎上討論了砌體抗壓強度對拱橋的極限承載力的影響。

1 砌體偏心受壓截面分析

圖1為砌體的典型受壓應力-應變關系。圖1中：ε0為砌體峰值應力對應的應變，根據試驗和研究結論，砌體等準脆性材料內部存在很多微裂縫，在加載過程中，其力學性能主要由其內部微裂紋的損傷演化控制，從而體現出非線性的特征。可以考慮將砌體受壓破壞的應力應變關系上升段用二次拋物線表示[9]：

(1)

式中：σ為應力；σmax為最大應力；ε為應變。

圖1 砌體受壓應力-應變關系Fig.1 Relationship of masonry compression stress-strain

在分析砌體偏心受壓極限承載力時，假設截面變形符合平截面假定，即砌體內應變沿截面高度呈線性分布；并假設全截面受壓時，砌體不會被壓壞。(部分截面受壓時才可能被壓壞)。當截面偏心受壓時，正截面遠離偏心荷載的一側由受壓變為受拉而退出工作(假定砌體材料不承受拉應力)，截面出現橫向裂縫，壓應變呈直線分布，如圖2。

圖2 砌體偏心受壓示意Fig.2 Eccentrically loaded masonry

隨著裂縫深度的不斷增加，截面受壓面積不斷減小，當靠近偏心荷載的截面邊緣達到最大應變ε0時，截面進入極限狀態。設截面受壓區高度為Y，以截面中性軸為坐標原點，由平截面假定：

(2)

因忽略砌體材料的抗拉強度，并利用截面平衡條件，可以得到軸力N和對O點的彎矩M：

(3)

式中：b為主拱圈寬度。

聯立式(1)～式(3)，可求得極限狀態下偏心受壓砌體截面的軸力和彎矩分別為：

(4)

(5)

關于截面中心的彎矩為：

(6)

式中：h為主拱圈厚度。

將M用N表示，得

(7)

由式(4)、式(6)、式(7)可以得到中心彎矩Mc和軸力N的關系為：

(8)

因此當砌體偏心受壓到達極限承載能力時，截面偏心距與軸力的關系為：

(9)

可以看出，當截面受力達到極限狀態時，截面的偏心距和截面軸力大小直接相關，軸力越大，偏心距越小；反之亦然。

將式(4)帶入式(9)，可以得出截面偏心距和受壓區高度的關系為：

(10)

截面極限狀態下偏心距與受壓區高度關系如圖3。由圖3可看出，式(10)的計算值和已有砌體偏心受壓時的實測受壓區高度吻合得很好，這說明該模型較好地反映了砌體偏心受壓的特征。

圖3 截面極限狀態下偏心距與受壓區高度關系Fig.3 Relationship of eccentricity and effective height under the limited state of cross-section

2 石拱橋極限承載力研究

機構法是一種極限狀態塑性分析法。分析拱橋承載力時，假定拱的破壞形態是4或5鉸機構(對稱加載)。機構法的思想是認為拱橋在承受外力荷載下，在不超過單個截面的承載能力時，由于拱橋是超靜定結構，拱橋可以調節自身各截面內力使結構達到其最大承載能力。取左端拱腳反力的三元素為參數，主拱圈各個截面的平衡方程則可以寫為：

Vn=∑(Pi+Wi)cosφn-V0cos(φ0-φn)-

H0sin(φ0-φn)

(11)

Hn=H0cos(φ0-φn)-∑(Pi+Wi)sinφn-

V0sin(φ0-φn)

(12)

Mn=-An-KBn+M0-H0(yncosφ0-xnsinφ0)+

V0(xncosφ0+ynsinφ0)

(13)

式中：An=∑Wi(Xn-Xwi)為恒載項；Bn=∑Pi(Xn-Xpi)為活載項；K為荷載系數；φ0和φn分別為拱角截面和拱橋計算截面與豎直方向的夾角，如圖4。

圖4 拱橋截面計算圖示Fig.4 Calculation schematic of masonry arch section

由于拱橋材料本身有著一定的承載能力，截面極限狀態時的軸力和彎矩應滿足式(8)。拱橋承受荷載直至破壞的過程中，各個截面可以自動調整軸力和彎矩的關系使其承載能力最大。但無論如何調整，都不能超過拱橋材料自身的承載能力。由圖1可以看出，應力隨著應變的增加而增加，當受壓截面處于極限狀態時，一定軸力所能帶來的彎矩是最大的。即石拱橋截面在受壓直至破壞的過程中，其軸力和彎矩關系至多只能達到式(8)的狀態，因此對于石拱橋的所有截面而言：

(14)

以往的分析認為，截面承載面積不會無限接近于0，壓力線不能到達拱圈邊界，即截面的偏心距應該小于h/2；通過式(14)可以看出，考慮砌體強度因素之后，偏心距的變化范圍變得更小。

由上述分析可知，石拱橋的極限承載能力計算可以轉化為一個非線性優化問題；該問題以拱腳支反力(軸力、剪力和彎矩)為設計變量，以式(11)～式(14)為優化限制條件，以活載系數K的最大值為優化目標函數。該問題可以通過非線性優化軟件Lingo實現。

3 計算結果及討論

3.1 極限位置推力線計算結果

考慮一個簡單算例，拱橋拱軸線為圓弧，跨徑60 m，矢跨比1/6，主拱圈厚度1.2 m，橋面寬10 m。砌體密度2 000 kg/m3，活載F為間距為2 m的集中力，均為100 kN，砌體的抗壓強度為5 MPa。可以利用文中分析方法求出活載F沿主拱圈移動時拱橋的極限承載力。

利用優化方法可以求出各個工況下的最大荷載系數K及對應各個截面的內力，進而可以求出在石拱橋破壞時各個截面的偏心距。圖5表示當活載分別作用于1/8，1/4，3/8主拱圈和拱頂時，各個截面的偏心距大小。

圖5 砌體破壞偏心距Fig.5 Eccentricity of masonry failure

圖6 石拱橋四鉸或五鉸示意破壞Fig.6 Failure of masonry arch sections (four or five hinges)

通過以上計算可以得出以下結論：

1)在拱橋承受外荷載直至破壞的過程中，拱橋的某些截面開裂，受力面積減小；并且這些截面發生受壓塑性變形，在這些截面形成塑性“鉸”，當鉸的數目超過3個時，拱橋形成機構從而破壞。拱橋的破壞可以看成四鉸或五鉸破壞(對稱加載)。

2)考慮砌體材料承載能力后，在達到石拱橋極限狀態時，60 m石拱橋的偏心距只有主拱圈高度的4/11(如圖6)，與傳統機構法的結論1/2或者4/9主拱圈高度相差較大。因此對于大跨徑石拱橋，如果采用傳統機構法的結論來判斷石拱橋某截面是否形成“鉸”，會過高的估計其變形和承載能力。

3)塑性鉸出現的位置并不是僅僅是1/4主拱圈、拱頂和拱腳，而是和荷載的作用位置有關。

3.2 砌體抗壓強度影響

為分析討論砌體抗壓強度對石拱橋極限承載能力的影響，筆者計算了不同活載作用位置下拱橋的極限承載能力，然后與傳統機構法(砌體抗壓強度為無窮大)的計算結果進行比較，如圖7。

圖7 壓力作用位置和拱橋極限承載力關系Fig.7 Relationship of load position and masonry arch limit strength

當考慮砌體材料有限承載能力后，石拱橋的極限承載能力比傳統方法有所降低，因此傳統機構法會過高的估計石拱橋的承載能力。

同時從圖8中可看出，在考慮砌體材料承載能力后，理論計算結果表明，最不利荷載位置并不是傳統方法認為的1/4主拱圈處，而是更靠近拱頂截面。

圖8 砌體抗壓強度和拱橋極限承載力關系Fig.8 Relationship of material strength and masonry arch limit strength

為分析計算砌體抗壓強度對不同跨徑石拱橋極限承載力的影響，計算矢跨比為1/6，跨徑分別為60，30，20 m的石拱橋，其主拱圈厚度分別為1.2，0.6，0.3 m，寬度均為10 m，活載均作用于1/4跨處，距離為2 m的100 kN集中力。

從圖8可以看出，砌體抗壓強度越小，石拱橋的承載能力越低。這是因為對不同抗壓強度的砌體，由于截面極限狀態下軸力和彎矩關系不同，因此截面偏心距的限制條件有所差別；砌體強度越小，極限狀態下承受同等軸力的截面受壓區高度就越大，偏心距就越小，石拱橋極限承載能力就越低。并且對于跨徑較大的石拱橋而言，由于其自重產生的恒載較大，自身軸力也較大，由式(8)和式(14)可知，拱橋截面偏心距的變化范圍較小，這時砌體抗壓強度的影響更大。

4 結 論

考慮砌體受壓的本構關系，分析了砌體偏心受壓截面內力之間的聯系，得出了砌石拱橋截面偏心距與受壓區高度的關系以及偏心距的限制條件。在此基礎上，利用非線性優化的機構分析法計算了石拱橋的極限承載力；并討論了砌體抗壓強度對石拱橋極限承載力的影響。利用筆者的分析方法，可以得出以下結論：

1)與以往文獻提及的方法相比，筆者考慮了砌體材料的本構關系，更能反映石拱橋的受力特征及破壞機理。

2)砌體材料的抗壓強度對其承載能力有一定的影響，若材料抗壓強度較低，石拱橋的承載能力會顯著降低；大跨徑拱橋程度更加明顯。對于長期服役的石拱橋而言，砌體材料性能的劣化會加速拱橋結構性能的破壞。

3)需要指出的是，筆者在研究中僅考慮了主拱圈的承載能力，而未計算拱上結構和填土對石拱橋承載力的影響，準確地分析材料對拱橋結構的影響規律還需進一步研究。

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Limit Strength of Masonry Arch Bridge Considering the Constitution of Masonry

Zheng Dan, Huang Caizheng

(School of River & Ocean Engineering, Chongqing Jiaotong University, Chongqing 400074, China)

The relationship of moment and axial load of eccentrically loaded masonry section were analyzed, considering constitution of masonry material under compression till failure. The limit strength of masonry arch was achieved by nonlinear optimization mechanism analysis. The influence of masonry strength on limit strength of masonry arch was also discussed. The results show that when the compressive strength of masonry materials is low, bridge bearing capacity on the material strength is relatively sensitive, and with the bridge span increasing, the sensitivity is further increased.

bridge engineering; masonry arch bridge; masonry; eccentrically compress; nonlinear optimization

10.3969/j.issn.1674-0696.2015.05.03

2014-09-28；

2014-11-23

交通運輸部應用基礎項目(2012319814210)；重慶市科委項目(cstc2012jjA1026)

鄭 丹(1979—)，男，重慶人，教授，博士，主要從事混凝土材料性能方面的研究。E-mail：zhengdan@cquc.edu.cn。

U441+.5;TU365

A

1674-0696(2015)05-014-04