車橋耦合振動(dòng)縮尺模型試驗(yàn)的相似律研究

桂水榮，張 超，陳水生

(1.華東交通大學(xué) 土木建筑學(xué)院，江西 南昌 330013；2.東南大學(xué) 交通學(xué)院，江蘇 南京 210096)

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車橋耦合振動(dòng)縮尺模型試驗(yàn)的相似律研究

桂水榮1,2，張 超1，陳水生1

(1.華東交通大學(xué) 土木建筑學(xué)院，江西 南昌 330013；2.東南大學(xué) 交通學(xué)院，江蘇 南京 210096)

基于公路橋梁車橋耦合振動(dòng)特性及結(jié)構(gòu)動(dòng)力模型試驗(yàn)相似理論，提出了車橋耦合振動(dòng)縮尺模型試驗(yàn)相似關(guān)系。以某假設(shè)簡(jiǎn)支梁橋?yàn)樵停鶕?jù)原型結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性及相似比尺，計(jì)算了車輛與橋梁動(dòng)力特性參數(shù)；對(duì)比分析了原型橋與模型橋的靜、動(dòng)態(tài)響應(yīng)，校驗(yàn)所提出的車橋耦合振動(dòng)縮尺模型相似律。結(jié)果表明：車橋耦合振動(dòng)室內(nèi)縮尺模型需同時(shí)滿足彈性相似律及重力相似律。

橋梁工程；相似律；車橋耦合系統(tǒng)；動(dòng)力縮尺模型

0 引 言

高速公路上重載車輛對(duì)橋梁的沖擊作用，加速了橋梁的破壞進(jìn)程。移動(dòng)車輛荷載對(duì)橋梁的動(dòng)力作用最明顯的效應(yīng)就是能引起比靜力作用更大的位移和應(yīng)力。設(shè)計(jì)中，用沖擊系數(shù)來(lái)描述移動(dòng)車輛荷載對(duì)橋梁沖擊效應(yīng)，但車輛與橋梁相互作用影響因素較復(fù)雜，包括：橋梁結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性；車輛動(dòng)力特性；橋頭引道、橋面不平順；車輛的行駛速度、橫向作用位置等[1]，這些因素相互摻雜影響。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)車橋耦合振動(dòng)問(wèn)題開(kāi)展了大量的理論與現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)研究。采用簡(jiǎn)化模型數(shù)值求解車橋耦合振動(dòng)問(wèn)題，橋梁一般離散為彈性梁(板)單元，車輛荷載一般簡(jiǎn)化為移動(dòng)的多自由度剛體振動(dòng)體系，路面不平順激勵(lì)簡(jiǎn)化為諧波三角級(jí)數(shù)疊加。李軍強(qiáng)，等[2]建立兩自由度車輛模型，結(jié)合Runge-kutta法，研究了簡(jiǎn)支梁橋車橋耦合振動(dòng)的簡(jiǎn)便算法；陳燊，等[3]分析了多車作用下的剛架拱橋振動(dòng)響應(yīng)；K. Henchi，等[4]將模態(tài)綜合疊加法引入車橋耦合振動(dòng)系統(tǒng)，推導(dǎo)了三維車橋耦合振動(dòng)模型的求解算法，該算法被廣泛應(yīng)用于車橋耦合振動(dòng)的數(shù)值模擬[5-6]；吳銘漢，等[6]討論了4種車輛模型對(duì)T型剛構(gòu)橋振動(dòng)響應(yīng)的影響；李奇，等[7]考慮車體的柔性，研究了采用有限元方法求解車橋耦合振動(dòng)問(wèn)題的建模方法。上述研究表明，車輛簡(jiǎn)化為平面(或空間)模型均能有效的體現(xiàn)車橋耦合振動(dòng)特性，將車橋耦合系統(tǒng)簡(jiǎn)化為移動(dòng)彈簧-質(zhì)量-阻尼系統(tǒng)，并結(jié)合迭代法求解車橋耦合振動(dòng)問(wèn)題是最快捷、最有效的方法。

目前，對(duì)車橋耦合振動(dòng)問(wèn)題的研究，主要采用數(shù)值模擬和現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)測(cè)試的方法。關(guān)于橋梁結(jié)構(gòu)開(kāi)展的室內(nèi)模型試驗(yàn)主要集中于靜力特性研究，動(dòng)力縮尺模型試驗(yàn)主要研究橋梁結(jié)構(gòu)動(dòng)力性能、地震和風(fēng)洞效應(yīng)等[8-10]。T. H. T. Chan，等[11]以荷載響應(yīng)識(shí)別為目的，制作了車橋耦合振動(dòng)模型簡(jiǎn)易試驗(yàn)裝置，但該試驗(yàn)未按相似關(guān)系對(duì)車輛和橋梁的動(dòng)力特性參數(shù)予以設(shè)計(jì)。車橋耦合振動(dòng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)圍繞著靜態(tài)響應(yīng)上下波動(dòng)，自重對(duì)振動(dòng)響應(yīng)影響不可忽略，因而縮尺模型試驗(yàn)除必須保證彈性相似律外，還必須同時(shí)滿足重力相似律[12]。

筆者考慮公路橋梁車橋耦合振動(dòng)特性，以結(jié)構(gòu)動(dòng)力模型相似理論為基準(zhǔn)，根據(jù)π定理，采用量綱分析方法，提出了公路橋梁車橋耦合振動(dòng)縮尺模型試驗(yàn)需保證的彈性相似律、重力相似律、彈性力-重力相似律。以1/4(2自由度)車輛模型行駛在40 m簡(jiǎn)支梁橋?yàn)槔捎?0 ∶1的幾何縮尺比，計(jì)算模型結(jié)構(gòu)相似常數(shù)，并確定模型試驗(yàn)橋及試驗(yàn)小車動(dòng)力特性參數(shù)。對(duì)比分析原型橋動(dòng)力響應(yīng)與縮尺模型橋動(dòng)力響應(yīng)，校驗(yàn)公路橋梁車橋耦合振動(dòng)縮尺模型試驗(yàn)需滿足的相似律。

1 車橋耦合振動(dòng)原理分析

對(duì)于移動(dòng)車輛荷載作用下橋梁的振動(dòng)，因行駛的車輛是具有彈簧質(zhì)量的振動(dòng)系統(tǒng)，車輛移動(dòng)及路面不平順激勵(lì)必將引起車身及懸架系統(tǒng)的振動(dòng)，從而導(dǎo)致車-橋系統(tǒng)耦合振動(dòng)。采用三維彈簧-質(zhì)量振動(dòng)系統(tǒng)求解車橋耦合振動(dòng)響應(yīng)，考慮了車輛的俯仰、側(cè)傾及垂直運(yùn)動(dòng)，能準(zhǔn)確分析車橋耦合振動(dòng)特性[4-6]。吳銘漢，等[6]分析了4種車輛模型對(duì)車橋耦合振動(dòng)響應(yīng)的影響，認(rèn)為1/4車輛模型(2自由度)及整車模型均能有效地體現(xiàn)車橋耦合振動(dòng)特性。筆者以1/4車輛模型為例，根據(jù)車橋耦合振動(dòng)特性，研究車橋耦合振動(dòng)縮尺模型相似關(guān)系。

1/4車輛模型，將車體質(zhì)量集中于m1，懸架系統(tǒng)剛度及阻尼集中于k1和c1，車輪及懸架系統(tǒng)質(zhì)量集中于m2，車輪剛度及阻尼集中于k2和c2，建立車橋耦合振動(dòng)模型，如圖1。圖1中：簡(jiǎn)支梁橋未變形前的中心線為x軸，y(x，t)為橋梁中心線動(dòng)位移；y1(t)為m1的豎向絕對(duì)位移；y2(t)為m2的豎向絕對(duì)位移；v為車輛行駛速度；L為簡(jiǎn)支梁橋跨徑；m為單位長(zhǎng)度質(zhì)量；c為阻尼；EI為剛度。

圖1 2自由度車輛模型的車橋耦合振動(dòng)系統(tǒng)Fig.1 Vehicle-bridge coupling vibration system of two degree of freedom vehicle model

1)作用在車體m1上的力

由于m1的相對(duì)位移而產(chǎn)生的懸架彈簧彈性力：

由m1的相對(duì)速度而產(chǎn)生的懸架阻尼力：

從而導(dǎo)出m1的動(dòng)平衡方程：

(1)

2)作用在m2上的力

車輪與懸架彈簧的相對(duì)位移而產(chǎn)生的彈性力：

車輪與懸架相對(duì)速度而產(chǎn)生的阻尼力：

從而導(dǎo)出m2的動(dòng)力平衡方程：

(2)

當(dāng)車輛以速度v勻速通過(guò)簡(jiǎn)支梁橋時(shí)，作用于橋上的荷載包括移動(dòng)車輛(車體+懸架+車輪)的重力PG=(m1+m2)g，m2的慣性力PI2、彈性力PS2及阻尼力PD2。將簡(jiǎn)支梁橋簡(jiǎn)化為歐拉梁，建立橋梁振動(dòng)方程：

(3)

由式(3)可以看出，影響車橋耦合振動(dòng)因素主要有橋梁結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性、車輛動(dòng)力特性、車輛行駛速度等。作用于橋上外荷載包括車輛重力及由車輪傳遞來(lái)的慣性力、阻尼力及彈性力，車輛自重在振動(dòng)響應(yīng)中占有不可忽視的比例，研究車橋耦合振動(dòng)縮尺模型試驗(yàn)相似關(guān)系，需保證車橋耦合系統(tǒng)的彈性力、重力及阻尼力相似。

2 車橋耦合縮尺模型試驗(yàn)相似理論

2.1 結(jié)構(gòu)動(dòng)力模型試驗(yàn)一般要求

試驗(yàn)?zāi)Ｐ团c被模擬的原型結(jié)構(gòu)滿足物理力學(xué)相似，需要滿足幾何尺寸相似、模型材料與原型材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系相似、質(zhì)量和重力相似以及初始條件和邊界條件相似[12]。幾何相似要求模型尺寸按固定比例縮小；保持模型材料與原型材料應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系相似非常困難，但對(duì)于不同的研究目的，應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系可以不同；質(zhì)量和重力相似是模型設(shè)計(jì)中最靈活的相似關(guān)系，可以根據(jù)不同的試驗(yàn)?zāi)康模x擇滿足質(zhì)量相似關(guān)系或重力相似關(guān)系或質(zhì)量-重力相似關(guān)系。

研究車橋耦合振動(dòng)系統(tǒng)在線彈性范圍內(nèi)的縮尺模型相似關(guān)系，根據(jù)π定理，運(yùn)用量綱分析法推導(dǎo)車橋耦合振動(dòng)模型試驗(yàn)的各物理量相似比關(guān)系。研究車橋耦合振動(dòng)模型試驗(yàn)涉及的物理量包括：表征材料特性的應(yīng)力σ，應(yīng)變?chǔ)牛瑥椥阅Ａ縀，密度ρ；表征幾何特性的長(zhǎng)度l，位移δ；表征動(dòng)力特性頻率f，時(shí)間t，速度v，加速度a，重力加速度g；作用外力P等。選取T，L，F(xiàn)為基本量綱，用a1，a2，a3，…，a12分別代表各物理量的指數(shù)，根據(jù)π定理，共有9個(gè)π項(xiàng)。表1為9個(gè)物理量的量綱矩陣。

表1 量綱矩陣

按照表1的量綱矩陣，可得齊次方程組。

1)考慮量綱F指數(shù)為0：

a5+a8+a11+a12=0

2)考慮量綱L指數(shù)為0：

a1+a2+a3-2a5+a9+a10-4a11-2a12= 0

(4)

3)考慮量綱T指數(shù)為0：

-a2-2a3+a4-a7-2a9+2a11=0

取l，ρ，E為基本未知量，對(duì)線性方程組(4)進(jìn)行求解，整理得π矩陣如表2。

表2 π 矩陣

由π矩陣可得到9個(gè)π準(zhǔn)則：

式中：π1,…,π9為無(wú)量綱參數(shù)，對(duì)于模型結(jié)構(gòu)與原型結(jié)構(gòu)，要求保持這些參數(shù)相等。

定義λ為原型與模型之間相似比尺，λl，λE，λρ，分別為幾何比尺、彈性模量比尺、密度比尺；λu，λε，λσ，λF，λm，λt，λa，λv，λf，λg分別為變形比尺、應(yīng)變比尺、應(yīng)力比尺、作用力比尺、質(zhì)量比尺、時(shí)間比尺、加速度比尺、速度比尺、頻率比尺、重力加速度比尺；根據(jù)相似準(zhǔn)則，可以推出各物理量需滿足的相似關(guān)系。實(shí)際上，完全滿足式(5)相似準(zhǔn)則推出的相似關(guān)系是比較困難的，因π3，π9相似準(zhǔn)則要求λa=λg，而在一般的模型試驗(yàn)中，重力加速度是無(wú)法改變的，這就只能取λa=λg=1，從而導(dǎo)致λl，λρ，λE不能獨(dú)立選取。因而在動(dòng)力模型試驗(yàn)中，根據(jù)研究目的不同，選擇滿足不同的相似律關(guān)系。車橋耦合振動(dòng)縮尺模型因其受力特點(diǎn)，需同時(shí)滿足彈性相似律及重力相似律。

2.2 動(dòng)力模型相似律

2.2.1 彈性相似律

彈性結(jié)構(gòu)在外加荷載作用下，振動(dòng)基本方程為：

(6)

式中：M，C，K分別為結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；F(t)為作用外力；u為結(jié)構(gòu)廣義坐標(biāo)向量。

從式(6)可以看出，對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)起主要影響的有慣性力、阻尼力、彈性恢復(fù)力及作用外力。研究結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性(自振頻率和模態(tài))，主要是求解方程：

即，主要保證原型結(jié)構(gòu)與模型結(jié)構(gòu)的慣性力和彈性恢復(fù)力相似。在一般的模型設(shè)計(jì)中，原型結(jié)構(gòu)和模型結(jié)構(gòu)重力加速度相同，因此，加速度比尺取1。從慣性力與彈性恢復(fù)力相似要求，可以推出：

(7)

整理式(7)可得：

(8)

根據(jù)量綱關(guān)系，彈性相似律同時(shí)也要求：

(9)

當(dāng)研究結(jié)構(gòu)在彈性階段的動(dòng)力響應(yīng)時(shí)，還應(yīng)保持作用外力F相似，根據(jù)量綱分析有：

λF=λE·λl·λu

(10)

結(jié)構(gòu)在線彈性小應(yīng)變范圍內(nèi)振動(dòng)，適用疊加原理，變形比尺λu可以不等于幾何比尺λl，自由選定。也就是說(shuō)，在線彈性試驗(yàn)過(guò)程中，可以調(diào)整變形比尺，以提高測(cè)量精度，而并不影響相似關(guān)系，只是應(yīng)力比尺、速度比尺和加速度比尺需按變形比尺做相應(yīng)的調(diào)整[12-13]。

2.2.2 重力相似律

結(jié)構(gòu)振動(dòng)慣性力與結(jié)構(gòu)重力的相似比尺相同，簡(jiǎn)稱為重力相似。加速度相似比尺取1時(shí)，根據(jù)量綱關(guān)系，可以得到：

(11)

將式(9)代入式(11)可得：

(12)

從式(12)中可以看出，試驗(yàn)滿足重力相似律時(shí)，時(shí)間比尺只與結(jié)構(gòu)的幾何比尺有關(guān)，與所選取的變形比尺λu無(wú)關(guān)。因而，試驗(yàn)過(guò)程中，可以根據(jù)試驗(yàn)測(cè)試精度要求，選取適當(dāng)?shù)淖冃伪瘸擀藆。

2.2.3 彈性力-重力相似律

在許多情況下，重力對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)產(chǎn)生非常重要的影響。例如，研究移動(dòng)車輛荷載作用下橋梁的振動(dòng)響應(yīng)，由移動(dòng)車輛荷載引起的橋梁振動(dòng)響應(yīng)曲線，動(dòng)載響應(yīng)曲線圍繞著靜載響應(yīng)曲線上下波動(dòng)，車輛與橋梁相互作用過(guò)程中，靜載作用不可忽略，需滿足重力相似關(guān)系[12]。研究車橋耦合振動(dòng)縮尺模型試驗(yàn)相似關(guān)系，需同時(shí)滿足彈性力-重力相似律要求，因而模型設(shè)計(jì)同時(shí)滿足式(8)和式(12)，可以推出：

(13)

模型設(shè)計(jì)過(guò)程中，若選取變形比尺與幾何比尺相同時(shí)，則式(13)可改寫為：

(13′)

(14)

式中：mp，mm分別為原型、模型實(shí)際質(zhì)量。

2.2.4 車輛模型相似關(guān)系

研究車橋耦合振動(dòng)引起的橋梁動(dòng)力響應(yīng)，需保證橋梁上的外加荷載相似。作用于橋梁上的外加荷載包括車輛自重及車輛行駛引起的彈性力、阻尼力及慣性力，這些作用外力隨車輛在橋梁上的運(yùn)行位置及狀態(tài)而改變，取決于車輛質(zhì)量、阻尼和剛度大小及分配。車輛的質(zhì)量及剛度總體表現(xiàn)為車輛自振頻率，當(dāng)車輛自振頻率與橋梁基頻接近，或車輛荷載間隔加載周期與橋梁某階自振頻率接近時(shí)，將引起車橋共振。考慮車橋耦合振動(dòng)特性，根據(jù)π定理準(zhǔn)則及量綱分析，可以得出車輛動(dòng)力特性相似關(guān)系：

(15)

式中：λvm，λvk，λvc分別為車輛的質(zhì)量比尺、剛度比尺、阻尼系數(shù)比尺。

車輛懸架系統(tǒng)的阻尼，根據(jù)阻尼力PD=c·v，可推導(dǎo)出，在滿足彈性力-重力相似關(guān)系的前提下，車輛阻尼系數(shù)相似比尺：

(16)

3 算例驗(yàn)證

為校驗(yàn)筆者提出的車橋耦合振動(dòng)縮尺模型試驗(yàn)相似律，以1/4車輛模型勻速行駛在40 m簡(jiǎn)支梁橋?yàn)槔芯吭徒Y(jié)構(gòu)與縮尺模型結(jié)構(gòu)車橋耦合振動(dòng)特性。取簡(jiǎn)支梁橋的跨中截面抗彎慣性矩為I跨中=3.22×1012mm4，面積A跨中=5.015×106mm2，原型結(jié)構(gòu)的橋梁及車輛參數(shù)如表3。選取幾何相似比尺λl=10，變形比尺λμ與幾何比尺λl相同，根據(jù)縮尺模型對(duì)材料強(qiáng)度及彈性模量的要求，選取有機(jī)玻璃(聚甲基丙烯酸甲酯PMMA)為模型試驗(yàn)橋原材料。模型試驗(yàn)設(shè)計(jì)中，彈性模量比尺λE由原型結(jié)構(gòu)(混凝土彈性模量)和模型結(jié)構(gòu)(有機(jī)玻璃彈性模量)確定；加速度比尺λa=1。根據(jù)文中推導(dǎo)的車橋耦合振動(dòng)縮尺模型相似律關(guān)系，導(dǎo)出其他相似比尺如表4。依據(jù)表4相似比尺及表3原型結(jié)構(gòu)的橋梁及車輛參數(shù)，確定縮尺模型的結(jié)構(gòu)參數(shù)如表3。

表3 原型結(jié)構(gòu)與模型結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)比

表4 模型試驗(yàn)相似比尺

表5 原型橋與模型橋數(shù)值模擬動(dòng)力響應(yīng)對(duì)比

對(duì)比表5計(jì)算結(jié)果，可以看出：

1)原型橋與模型橋振動(dòng)響應(yīng)時(shí)程曲線變化規(guī)律完全一致。

2)各種速度作用下，原型橋與模型橋跨中及1/4位置最大動(dòng)位移之比均等于變形比尺，縮尺后的車橋耦合振動(dòng)模型的靜、動(dòng)態(tài)響應(yīng)遵循車橋耦合振動(dòng)相似律。

3)原型橋與模型橋靜位移之比等于變形比尺，不同速度作用下，原型與模型的不同位置理論沖擊系數(shù)相同；試驗(yàn)中，若采用實(shí)測(cè)的車輛動(dòng)力特性參數(shù)，按相似比尺制作車橋耦合縮尺模型試驗(yàn)裝置，試驗(yàn)測(cè)試結(jié)果能直接反映該類車輛對(duì)橋梁的沖擊效應(yīng)。

4)筆者提出的車橋耦合振動(dòng)相似理論正確，但在試驗(yàn)過(guò)程中，可適當(dāng)改變變形比尺，提高測(cè)試精度，減小因測(cè)試數(shù)據(jù)過(guò)小而引起的過(guò)大沖擊系數(shù)相對(duì)誤差。

4 結(jié) 語(yǔ)

根據(jù)結(jié)構(gòu)動(dòng)力相似原理及車橋耦合振動(dòng)原理，基于 π 定理和量綱分析方法，提出了公路橋梁車橋耦合動(dòng)力縮尺模型的相似關(guān)系。以虛設(shè)簡(jiǎn)支梁橋?yàn)槔鶕?jù)原型結(jié)構(gòu)特性及相似比尺，計(jì)算模型結(jié)構(gòu)參數(shù)，對(duì)比分析原型橋與模型橋的靜、動(dòng)態(tài)響應(yīng)。研究結(jié)果表明，筆者提出的車橋耦合振動(dòng)響應(yīng)的縮尺模型相似律是可行的，研究車橋耦合振動(dòng)室內(nèi)縮尺模型，需同時(shí)滿足彈性律-重力相似律關(guān)系。

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Similarity Law of Scale-Model Test System for Vehicle-Bridge Coupling Vibration

Gui Shuirong1,2, Zhang Chao1, Chen Shuisheng1

(1. Department of Civil Engineering, East China Jiaotong University, Nanchang 330013, Jiangxi, China; 2. School of Transportation, Southeast University, Nanjing 210096, Jiangsu, China)

The similarity laws of bridge-vehicle interaction system were presented based on similarity theories of structure dynamic model test and dynamic property of highway bridge-vehicle coupling vibration. Taken a fictitious simple supported beam bridge as an example, the parameters of vehicle model and bridge model were calculated according to the prototype structure dynamic properties and scale factor of geometry. Comparative analysis of static and dynamic response between prototype bridge and model bridge, verified the vehicle-bridge coupling vibration model similarity law. The results showed that, the scale model test for vehicle-bridge coupling vibration need to satisfy elastic similarity law and gravity similarity simultaneously.

bridge engineering;similarity law; vehicle-bridge interaction system; dynamic scale-model test

10.3969/j.issn.1674-0696.2015.02.03

2013-07-28；

2014-02-07

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51268013,51468018)；江西省教育廳科研項(xiàng)目(GJJ14384；GJJ14352)；教育部工程研究中心資助項(xiàng)目(13TM02)

桂水榮(1979—)，女，江西九江人，副教授，博士研究生，主要從事公路橋梁車橋耦合振動(dòng)方面的研究。E-mail:guishuirong@163.com。

U441.3

A

1674-0696(2015)02-010-05