雙機驅(qū)動無擺動振動機的自同步理論研究*

李 鶴， 劉 丹， 趙春雨， 聞邦椿

(東北大學(xué)機械工程與自動化學(xué)院 沈陽，110819)

雙機驅(qū)動無擺動振動機的自同步理論研究*

李 鶴， 劉 丹， 趙春雨， 聞邦椿

(東北大學(xué)機械工程與自動化學(xué)院 沈陽，110819)

對一種雙機驅(qū)動無擺動振動機的自同步理論進行了研究。該振動機由內(nèi)、外兩個質(zhì)體組成，兩偏心轉(zhuǎn)子的旋轉(zhuǎn)中心與內(nèi)質(zhì)體質(zhì)心在同一條豎直軸上，使得兩偏心轉(zhuǎn)子的慣性力對該軸的力矩為零，從而消除了振動機的擺動。首先,利用拉格朗日方程建立了振動機的運動微分方程，分別得到了振動機運動自同步及其穩(wěn)定性條件;然后，通過數(shù)值方法驗證了理論分析的正確性，并發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的自同步能力與兩偏心轉(zhuǎn)子質(zhì)量比正相關(guān)，與豎直方向頻率比、共振激勵角、內(nèi)質(zhì)體與振動系統(tǒng)質(zhì)量比負相關(guān)。

自同步運動； 振動機； 穩(wěn)定性； 振動同步傳動

引 言

自同步振動機械的發(fā)明源于自同步現(xiàn)象。Huygnens最早發(fā)現(xiàn)了機械系統(tǒng)的振動自同步現(xiàn)象。他把兩個鐘擺并排懸掛在同一木梁上，兩個鐘擺在擺動一段時間之后實現(xiàn)了同步擺動。Rayleigh等在非線性電路中發(fā)現(xiàn)了同步現(xiàn)象，并稱這種現(xiàn)象為“頻率捕獲”。20世紀(jì)60年代，Blekhman等[1-3]提出了雙偏心轉(zhuǎn)子振動機的同步理論。當(dāng)安裝在同一振動體上的兩臺感應(yīng)電動機在具備一定條件時，可實現(xiàn)同步運轉(zhuǎn)。當(dāng)系統(tǒng)受到外界干擾導(dǎo)致兩電機的轉(zhuǎn)速或相位差發(fā)生變化時，系統(tǒng)可以通過自我調(diào)整而重新回到同步狀態(tài)。對于已經(jīng)實現(xiàn)同步運轉(zhuǎn)的系統(tǒng)，如果切斷一臺偏心電機的電源，兩臺電機仍然能夠同步運行。Wen Bangchun[4]發(fā)現(xiàn)，在某些非線性振動系統(tǒng)中，通過調(diào)節(jié)系統(tǒng)參數(shù)，可以實現(xiàn)各次諧波的倍頻同步。Zhao Chunyu等[5-7]利用改進的平均小參數(shù)法發(fā)展了雙電機驅(qū)動和四電機驅(qū)動振動機的自同步理論，并深入闡述了振動機的耦合動力學(xué)特性和動態(tài)對稱性，通過數(shù)值模擬分析了電機的自同步過程，從轉(zhuǎn)速和相位差兩個方面驗證了兩個電機可以實現(xiàn)自同步運動[8]。此外，很多學(xué)者還研究了系統(tǒng)參數(shù)對自同步運動及其穩(wěn)定性的影響。韓清凱等[9]以反向回轉(zhuǎn)激勵的振動系統(tǒng)為對象，建立了考慮驅(qū)動電機機械特性的動力學(xué)方程，通過數(shù)值仿真計算, 研究了激振器的偏心矩、電機功率、偏心轉(zhuǎn)子回轉(zhuǎn)摩擦阻矩等參數(shù)對自同步運動的影響。Yamapi等[10]分析了系統(tǒng)的質(zhì)量、剛度和激振器參數(shù)之間的相互影響的規(guī)律，討論了雙激振電機的耦合同步過渡過程。

在雙機驅(qū)動的振動機自同步運動過程中，由于兩個偏心轉(zhuǎn)子相位不一致，振動機的直線振動會伴隨擺動，即振動機繞一水平軸做往復(fù)運動，它會使振動機不能完全按照所需要的振動方向振動，有可能影響振動機篩分或輸運等工藝效果。筆者對一種雙機驅(qū)動無擺動振動機的自同步理論進行了研究。該振動機由內(nèi)、外兩個質(zhì)體組成，兩偏心轉(zhuǎn)子的旋轉(zhuǎn)中心與內(nèi)質(zhì)體質(zhì)心在同一條豎直軸上，使得偏心轉(zhuǎn)子的慣性力對該軸的力矩為零，從而消除該振動機的擺動。

1 振動機的自同步理論

圖1為雙機驅(qū)動無擺動振動機的動力學(xué)模型，由內(nèi)質(zhì)體m1、外質(zhì)體m2以及兩偏心轉(zhuǎn)子m01和m02組成。內(nèi)質(zhì)體m1在x和y方向分別通過彈簧kx和ky與外質(zhì)體m2相連接，外質(zhì)體m2支撐在彈性基礎(chǔ)kz上，且在x和y方向被固定。兩偏心轉(zhuǎn)子分別由感應(yīng)電動機1和2驅(qū)動，對稱安裝在內(nèi)質(zhì)體m1質(zhì)心O所在水平面xOy的兩側(cè)，其旋轉(zhuǎn)平面與該水平面成δ角(共振激勵角)，且兩偏心轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)中心與內(nèi)質(zhì)體質(zhì)心在同一條豎直軸上，因此，偏心轉(zhuǎn)子對該豎直軸產(chǎn)生的力矩為零，從而消除了該振動機的擺動。俯視時，兩偏心轉(zhuǎn)子同向回轉(zhuǎn)。

圖1 振動機的動力學(xué)模型Fig.1 Dynamic model of the vibrating mechanism

利用拉格朗日方程，可得到振動機的運動微分方程。

(1)

其中：M1為振動系統(tǒng)在x，y方向的振動質(zhì)量，M1=m1+m01+m02；M2為振動系統(tǒng)在z方向的振動質(zhì)量，M2=m1+m2+m01+m02；kx，ky，kz為振動系統(tǒng)在x，y，z方向彈簧剛度；fx，fy，fz為振動系統(tǒng)在x，y，z方向阻尼系數(shù)；f1，f2為兩電動機的阻尼系數(shù)。

利用平均小參數(shù)法可以得到偏心轉(zhuǎn)子的無量綱耦合方程，再由該耦合方程零解的存在條件可以得到振動機實現(xiàn)自同步運動的條件為

(2)

其中：TS為振動機的同步力矩；ΔTR為兩電機剩余電磁轉(zhuǎn)矩差。

式(2)表明，振動機的同步力矩大于或者等于兩電機剩余電磁轉(zhuǎn)矩差的絕對值，和文獻[8]所得結(jié)論一致。

將振動系統(tǒng)的同步力矩與作用在兩電機上負載力矩的比值定義為振動系統(tǒng)的同步能力系數(shù)ζ[7]

(3)

其中：TL為振動系統(tǒng)作用在兩電機上的負載力矩。

(4)

其他參數(shù)為

Ws0=rma(μxcos2δsinγx+μysinγy+σμzsin2δsinγz)

Wc0=rma(μxcos2δcosγx+μycosγy+σμzsin2δcosγz)Wcs=ηrma(μxcos2δsinγx+μysinγy-σμzsin2δsinγz)

Wcc=ηrma(μxcos2δcosγx+μycosγy-σμzsin2δcosγz)

將式(4)代入式(3)可得

(5)

同步能力系數(shù)ζ表示振動傳送力矩克服兩電動機電磁轉(zhuǎn)矩實現(xiàn)同步的能力，當(dāng)其值大于1時表示系統(tǒng)可實現(xiàn)振動同步傳動，即一個電動機停止電源供電，系統(tǒng)仍然可保持同步運行[7]。

根據(jù)勞斯-胡爾維茨判據(jù)可以得到振動機同步運行穩(wěn)定條件為

(6)

其中：H=4H1H2-H0H3；H0，H1，H2，H3為無量綱結(jié)構(gòu)參數(shù)η，σ，rma，δ，nz的函數(shù)。該穩(wěn)定性條件和文獻[11]所得結(jié)論一致。

2 振動機的自同步運動的數(shù)值分析

2.1 振動機的自同步運動

設(shè)計內(nèi)質(zhì)體的質(zhì)量m1=2 200 kg，外質(zhì)體的質(zhì)量m2=300 kg，兩偏心轉(zhuǎn)子的質(zhì)量m01=40 kg，m02=40 kg，偏心距r=0.2 m。從而可確定振動系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)：η=1.0，rma≈0.017 5，σ≈0.883 7。選取兩電機為鼠籠式三相異步電動機(380 V，50 Hz，6-pole，Δ連接)，電機1(3.7 kW，980 r/min)，電機2(0.75 kW，980 r/min)。為了使振動系統(tǒng)在z方向達到共振以獲得足夠大振幅，選取系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)nz=0.99，nx=ny=4.0，ξx=ξy=ξz=0.07。分別選取共振激勵角δ=20°和δ=10°，并在6 s時撤去電機2的電磁轉(zhuǎn)矩及9 s時對偏心轉(zhuǎn)子2施加10°的相位擾動，數(shù)值仿真結(jié)果如圖2、圖3所示。

由圖2可知：當(dāng)共振激勵角δ=20°時，振動系統(tǒng)經(jīng)過4 s左右，兩電機轉(zhuǎn)速達到相同，約為989.4 r/min，此時兩偏心轉(zhuǎn)子相位差穩(wěn)定在182.3°左右，此時振動系統(tǒng)為π相位同步；當(dāng)6 s撤去電機2的電磁轉(zhuǎn)矩時，兩電機的同步轉(zhuǎn)速下降并穩(wěn)定在988.0 r/min,而兩偏心轉(zhuǎn)子相位差增加并穩(wěn)定在183.1°左右；當(dāng)9 s對偏心轉(zhuǎn)子2施加10°的相位擾動時，兩偏心轉(zhuǎn)子相位差變?yōu)?93.1°，兩電機轉(zhuǎn)速也發(fā)生波動，但經(jīng)過約1 s后恢復(fù)到受干擾前的穩(wěn)定狀態(tài)。由圖2可知，當(dāng)共振激勵角δ=20°時，振動系統(tǒng)可實現(xiàn)π相位同步運行、振動同步傳動以及對相位擾動的抗干擾能力即同步運行的穩(wěn)定性能力。

圖2 δ=20°時振動機自同步運動數(shù)值仿真結(jié)果Fig.2 Results of numerical simulation for the synchronization motion of the vibrating mechanism with δ=20°

圖3 δ=10°時振動機自同步運動數(shù)值仿真結(jié)果Fig.3 Results of numerical simulation for the synchronization motion of the vibrating mechanism with δ=10°

由圖3(a),(b)可知：當(dāng)共振激勵角δ=10°時，振動系統(tǒng)經(jīng)過3.2 s左右，兩電機轉(zhuǎn)速達到相同，約為994.0 r/min，此時兩偏心轉(zhuǎn)子相位差穩(wěn)定在181.1°左右；當(dāng)6 s撤去電機2的電磁轉(zhuǎn)矩時，兩電機的同步轉(zhuǎn)速下降并穩(wěn)定在993.0 r/min,而兩偏心轉(zhuǎn)子相位差增加并穩(wěn)定在181.6°左右；當(dāng)9 s對偏心轉(zhuǎn)子2施加10°的相位擾動時，兩偏心轉(zhuǎn)子相位差變?yōu)?91.6°，兩電機轉(zhuǎn)速也發(fā)生波動，但經(jīng)過約1 s后恢復(fù)到受干擾前的穩(wěn)定狀態(tài)。由圖3可知,當(dāng)共振激勵角δ=10°時，振動系統(tǒng)可實現(xiàn)π相位同步運行、振動同步傳動以及對相位擾動的抗干擾能力即同步運行的穩(wěn)定性能力。

由圖3(c),(d),(e)可知，振動系統(tǒng)達到自同步運動時，在x和y方向的振幅接近于0，z方向振幅為0.83 mm，實現(xiàn)z方向振動。當(dāng)撤去電機2的電磁轉(zhuǎn)矩和施加相位擾動后，雖然系統(tǒng)在各方向的振動發(fā)生波動，但都能在很短的時間內(nèi)恢復(fù)到穩(wěn)定狀態(tài)。這說明系統(tǒng)達到自同步時，可以實現(xiàn)穩(wěn)定的z方向振動，并具有較大振幅。

2.2 振動機自同步能力及其穩(wěn)定性

選取系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)：nx=ny=4，ξx=ξy=ξz=0.07，通過數(shù)值方法可得同步能力系數(shù)ζ與兩偏心轉(zhuǎn)子質(zhì)量比η以及z方向頻率比nz、共振激勵角δ和內(nèi)質(zhì)體與振動系統(tǒng)質(zhì)量比σ的關(guān)系，如圖4所示。

圖4 自同步能力系數(shù)與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)的關(guān)系Fig.4 Relation between the self-synchronization ability coefficient and the structural parameters of the vibrating mechanism

由圖4(a)，(b)可知：在振動系統(tǒng)參數(shù)nz=0.99,σ=0.9條件下，當(dāng)兩偏心轉(zhuǎn)子的質(zhì)量相等(即η=1.0)時，振動系統(tǒng)的同步能力系數(shù)ζ達到最大；而隨著振動系統(tǒng)共振激勵角δ的增大，同步能力系數(shù)ζ迅速減小；當(dāng)兩偏心轉(zhuǎn)子的質(zhì)量相等且振動系統(tǒng)共振激勵角為0(即η=1.0，δ=0)時，同步能力系數(shù)ζ趨于無窮大。進一步分析圖2和圖3可知，雖然當(dāng)共振激勵角分別為δ=20°和δ=10°時，振動系統(tǒng)均可實現(xiàn)π相位同步穩(wěn)定運轉(zhuǎn)，但是，在滿足振動系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)振動同步傳動的范圍內(nèi)，共振激勵角δ越小，振動系統(tǒng)越容易實現(xiàn)穩(wěn)定同步運轉(zhuǎn)，從系統(tǒng)啟動至達到同步所需的時間越短，兩電機的同步轉(zhuǎn)速越快，兩偏心轉(zhuǎn)子的相位差越接近π。

由圖4(c)，(d)可知：在振動系統(tǒng)參數(shù)η=1.0，δ=π/8條件下，隨著工作頻率趨近于振動系統(tǒng)在z方向的固有頻率，即nz趨近于1.0，同步能力系數(shù)ζ迅速減小；隨著振動系統(tǒng)在x，y方向的振動質(zhì)量趨近于z方向的振動質(zhì)量，即σ趨近于1.0，同步能力系數(shù)ζ緩慢減小。

由圖4可知，同步能力系數(shù)ζ的值與振動系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)，其中，振動系統(tǒng)共振激勵角δ和振動系統(tǒng)在z方向頻率比nz對同步能力系數(shù)ζ影響顯著。適當(dāng)?shù)卦龃髢善霓D(zhuǎn)子的質(zhì)量比η，減小系統(tǒng)共振激勵角δ，減小振動系統(tǒng)在z方向頻率比nz以及減小振動系統(tǒng)在x，y方向的振動質(zhì)量與在z方向的振動質(zhì)量的比值σ，均能提高同步能力系數(shù)ζ的值。

振動系統(tǒng)實現(xiàn)自同步時，由系統(tǒng)同步運行穩(wěn)定性條件知：當(dāng)H0>0,H1>0,H3>0,H>0時，系統(tǒng)穩(wěn)定運行。H0，H1，H3，H為無量綱結(jié)構(gòu)參數(shù)η，σ，rma，δ，nz的函數(shù)，設(shè)兩偏心轉(zhuǎn)子的質(zhì)量比η=1.0，振動系統(tǒng)在x，y方向的振動質(zhì)量與在z方向的振動質(zhì)量的比值σ=0.9，z方向頻率比nz=0.99，可得系統(tǒng)自同步運動穩(wěn)定性參數(shù)H0，H1，H3，H的數(shù)值計算，結(jié)果如圖5所示。

圖5(a)為rma=0.05時，H0，H1，H3，H隨δ的變化情況。由圖可知，隨著δ的增大，H0，H1，H3，H始終大于0。因此，系統(tǒng)實現(xiàn)的自同步運動是穩(wěn)定的。

圖5 自同步運動穩(wěn)定性參數(shù)H0，H1，H3，H的數(shù)值仿真結(jié)果Fig.5 Results of the numerical simulation for self-synchronization motion stability parameters H0, H1,H3and H

圖5(b)為δ=0.1π時，H0，H1，H3，H隨rma的變化情況。由圖可知，隨著rma的增大，H0，H1，H3，H始終大于0，即系統(tǒng)實現(xiàn)的自同步運動是穩(wěn)定的。

以上結(jié)果表明，振動系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)總能夠保證滿足式(6)的條件要求，即自同步運動總是穩(wěn)定的[6-7]。

3 結(jié) 論

2) 通過數(shù)值仿真證明了該振動機能夠?qū)崿F(xiàn)π相位同步、振動同步傳動、同步運行的穩(wěn)定性。

3) 振動機的同步能力系數(shù)ζ為系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)(兩偏心轉(zhuǎn)子質(zhì)量比η、豎直方向頻率比nz、共振激勵角δ和內(nèi)質(zhì)體與振動系統(tǒng)質(zhì)量比σ)的函數(shù)，且ζ與η為正相關(guān)，與nz，δ和σ均為負相關(guān)。

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*國家自然科學(xué)基金資助項目(51175071)；中央高校基本科研業(yè)務(wù)費專項資金資助項目(N120203001,N130803001)；國家重大科學(xué)儀器設(shè)備開發(fā)專項資助項目(2013YQ470765)

2013-04-18；

2013-06-25

TH113

李鶴,男，1975年10月生，教授。主要研究方向為非線性振動、機床動力學(xué)。曾發(fā)表《Self-synchronization of two parallel-axis unbalanced rotors in a vibration system of spatial motion》(《International Journal of Nonlinear Sciences and Numerical Simulation》2010,Vol.11,No.11)等論文。 E-mail: hli@mail.neu.edu.cn