雙缸型直線壓縮機(jī)非線性動力學(xué)特性分析*

秦朝舉, 高玉國, 原彥鵬, 宋立業(yè)

(1.華北水利水電大學(xué)機(jī)械學(xué)院 鄭州，450045) (2.北京理工大學(xué)機(jī)械與車輛學(xué)院 北京，100081)

雙缸型直線壓縮機(jī)非線性動力學(xué)特性分析*

秦朝舉1,2, 高玉國1, 原彥鵬2, 宋立業(yè)2

(1.華北水利水電大學(xué)機(jī)械學(xué)院 鄭州，450045) (2.北京理工大學(xué)機(jī)械與車輛學(xué)院 北京，100081)

為獲得雙氣缸式直線壓縮機(jī)工作過程中的活塞運(yùn)動特性，耦合壓縮機(jī)氣體作用力方程和直線電機(jī)推力方程，建立了工作過程活塞非線性動力學(xué)模型。運(yùn)用能量平衡原理對非線性振動方程進(jìn)行了求解，獲得了動力學(xué)模型的近似解析解，分析了活塞運(yùn)動的穩(wěn)定性特點(diǎn)和工作過程幅頻關(guān)系。研究結(jié)果發(fā)現(xiàn)：雙缸型直線壓縮機(jī)工作過程具有明顯的自激振動特點(diǎn)，初始時(shí)刻壓縮機(jī)運(yùn)動狀況不影響最終的運(yùn)行結(jié)果，經(jīng)過一定時(shí)間后，活塞運(yùn)動會趨于穩(wěn)定的極限環(huán)，最終達(dá)到恒頻恒幅運(yùn)動；活塞運(yùn)動頻率不具有“固定頻率”屬性，它不僅受到壓縮機(jī)物理結(jié)構(gòu)參數(shù)的限制，同時(shí)也受到電機(jī)推力和進(jìn)氣壓力的影響；隨著進(jìn)氣壓力的增加，活塞運(yùn)動頻率增大，且在高負(fù)荷狀態(tài)下，壓縮機(jī)活塞運(yùn)動頻率主要受進(jìn)氣壓力決定。

動力學(xué)； 非線性模型； 頻率特性； 直線壓縮機(jī)； 活塞

引 言

直線壓縮機(jī)作為一種電磁力驅(qū)動的新型直線混合動力裝置，它利用直線電機(jī)的往復(fù)運(yùn)動壓縮氣缸內(nèi)的氣體[1-3]。與傳統(tǒng)往復(fù)活塞式壓縮機(jī)相比，其最大的特點(diǎn)是省去傳統(tǒng)壓縮機(jī)中的曲柄連桿機(jī)構(gòu)，具有結(jié)構(gòu)簡單、能量轉(zhuǎn)換效率高、調(diào)控方便等多種優(yōu)勢[2-4]。

在直線壓縮機(jī)動力學(xué)過程研究領(lǐng)域，張金權(quán)等[5]利用數(shù)值求解方法計(jì)算了阻尼、彈簧剛度對活塞運(yùn)動過程的影響規(guī)律，結(jié)果表明壓縮機(jī)最高效率時(shí)，活塞運(yùn)動頻率并非系統(tǒng)固有頻率。Deuk等[6]分析了彈簧回復(fù)式直線壓縮機(jī)動力學(xué)特征，發(fā)現(xiàn)活塞運(yùn)動頻率主要受回復(fù)彈簧的剛度決定。另外，牛津大學(xué)、浙江大學(xué)等也開展了直線壓縮機(jī)活塞運(yùn)動特性的研究[7-9]。當(dāng)前，關(guān)于直線壓縮機(jī)活塞動力學(xué)的研究主要集中在動力學(xué)過程的數(shù)值仿真和單自由度運(yùn)動系統(tǒng)共振特性方面，這些研究通常將其中的氣體非線性作用力通過等效處理為線性彈力，并由此得出系統(tǒng)的“固有頻率”，進(jìn)而分析系統(tǒng)的頻率特性等[5-9]。事實(shí)上，直線壓縮機(jī)工作過程作為一個(gè)非線性系統(tǒng)不存在固有頻率，其工作頻率與激勵(lì)力大小等諸多因素有關(guān)；因此，將其簡化為線性振動難以準(zhǔn)確反映系統(tǒng)的動力學(xué)特征。為此，筆者擬通過對該非線性動力學(xué)過程進(jìn)行解析計(jì)算，獲得直線壓縮機(jī)工作過程的活塞運(yùn)動變化狀況和工作頻率變化，從而更準(zhǔn)確地揭示直線壓縮機(jī)的工作特性，為實(shí)際樣機(jī)設(shè)計(jì)與分析提供理論依據(jù)。

1 基本結(jié)構(gòu)與工作原理

圖1 雙缸型直線壓縮機(jī)結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Structure of free-piston linear alternator

目前，研究直線壓縮機(jī)普遍采用單活塞單缸式，考慮到雙缸型直線壓縮機(jī)在功率密度方面的優(yōu)勢，筆者以雙活塞雙缸式為研究對象，其基本結(jié)構(gòu)如圖1所示。主體部件為直線電機(jī)和2個(gè)壓縮機(jī)氣缸，其中左右兩側(cè)氣缸活塞通過連接桿件與直線電機(jī)動子(永磁體)連接在一起。工作時(shí)，在電機(jī)線圈中通入電流后，動子受到電磁力的作用進(jìn)行直線運(yùn)動，從而帶動活塞壓縮氣缸內(nèi)的氣體。由于動子在兩個(gè)方向的運(yùn)動均能夠排氣，因此直線雙缸壓縮機(jī)的排氣更加均勻連續(xù)。另外，由于兩側(cè)均有氣體力的持續(xù)作用，從而可以省去單缸型直線壓縮機(jī)中的回復(fù)彈簧，減小其設(shè)計(jì)難度。

雙缸型直線壓縮機(jī)工作原理為通過直線電機(jī)產(chǎn)生的電磁力往復(fù)推動活塞運(yùn)動，實(shí)現(xiàn)吸氣-壓縮-排氣-膨脹過程。整個(gè)過程中，壓縮機(jī)活塞受到的作用力為運(yùn)動件的慣性力、電機(jī)電磁推力、兩側(cè)缸內(nèi)氣體作用力和摩擦阻尼力。

以壓縮機(jī)活塞運(yùn)動位移為參照，分析上述4個(gè)作用力的相位關(guān)系。因?yàn)閼T性力包含位移的2階導(dǎo)數(shù)，所以慣性力相位滯后180°；由于摩擦阻尼力包含位移的1階導(dǎo)數(shù)，所以摩擦力相位超前90°；氣體作用力超前位移一定角度；電機(jī)推力與位移相差一定角度[9]。在滿足一定的輸出前提下，為了減小壓縮機(jī)功耗，提高系統(tǒng)的能量轉(zhuǎn)換效率，要求最大限度地減小作用于活塞上的電機(jī)力。由相位關(guān)系可知，此時(shí)即要求電機(jī)力與活塞速度同相位，因此本研究中壓縮機(jī)工作時(shí)電機(jī)力通過控制保持與活塞速度方向相同。

2 動力學(xué)模型

根據(jù)上節(jié)對雙缸型直線壓縮機(jī)工作原理的分析，工作時(shí)壓縮機(jī)活塞主要是一個(gè)受多個(gè)力作用的動力學(xué)過程。為了獲得活塞的動力學(xué)特性，對這些作用力分別進(jìn)行了建模分析。

2.1 電機(jī)推力模型

為了使直線電機(jī)所消耗的能量盡量少，可以通過電機(jī)控制程序保證電機(jī)推力的方向始終保持與壓縮機(jī)活塞運(yùn)動方向一致[9-12]。因此，電機(jī)推力可以表示為

(1)

其中：Fe為電機(jī)推力；Fm為電機(jī)輸出力；x為位移；t為時(shí)間。

2.2 氣體作用力模型

關(guān)于直線壓縮機(jī)氣缸內(nèi)氣體壓力變化，諸多研究指出其壓力變化主要由氣缸容積變化和熱量交換兩方面因素引起[13]?？紤]到直線壓縮機(jī)工作過程中，氣缸內(nèi)氣體溫度較低，因此在建模分析時(shí)，可以忽略壓縮機(jī)缸內(nèi)氣體熱量交換的影響，此時(shí)缸內(nèi)氣體壓力的變化可表示為

(2)

其中：p為氣體壓力；γ為壓縮機(jī)工作時(shí)缸內(nèi)氣體的多變指數(shù)；V為氣缸壓縮體積。

為了進(jìn)一步分析缸內(nèi)氣體作用力，假設(shè)活塞處于整個(gè)壓縮機(jī)氣缸中點(diǎn)位置時(shí)位移x=0，因此壓縮機(jī)左右兩缸缸內(nèi)氣體壓力可以表示為

(3)

(4)

此時(shí)，壓縮機(jī)缸內(nèi)氣體作用力[10]為

(5)

其中：L為單個(gè)氣缸的長度；pL，pR為左右兩側(cè)氣缸的壓力；p0為進(jìn)氣壓力；A為活塞截面積。

由式(5)可見，直線壓縮機(jī)工作過程中缸內(nèi)氣體作用力具有明顯的非線性特征。筆者為了揭示直線壓縮機(jī)工作過程中的非線性特性，不采用“等效線性剛度”的方法，在此將式(5)進(jìn)行級數(shù)展開，表示為

(6)

其中：n為級數(shù)展開階次。

2.3 活塞摩擦力模型

對于直線壓縮機(jī)，由于沒有傳統(tǒng)壓縮機(jī)的曲柄連桿機(jī)構(gòu)，壓縮機(jī)工作時(shí)活塞幾乎沒有側(cè)向力的作用，因此建立活塞摩擦力模型時(shí)，可以忽略活塞的2階運(yùn)動。此時(shí)，壓縮機(jī)活塞與氣缸之間的摩擦力主要為與速度相關(guān)的潤滑油黏性摩擦力，可以近似表示[14]為

Ff=Cfdx/dt

(7)

其中：Cf為摩擦阻尼。

2.4 動力學(xué)方程

根據(jù)牛頓第二定律，直線壓縮機(jī)工作過程中，活塞運(yùn)動組件的非線性動力學(xué)方程為

(8)

(9)

其中：m為活塞組件的質(zhì)量。

由于活塞位移一定小于氣缸的長度，即x/L<1，并且式(9)中分母項(xiàng)隨著n的增加會急劇加大，因此高次非線性項(xiàng)的影響非常小，可將高次項(xiàng)忽略，此時(shí)活塞組件的運(yùn)動方程為

(10)

其中：k為平衡位置的線性剛度；ω0為自由振動頻率。

3 非線性模型分析

3.1 解析解分析

由式(10)可以發(fā)現(xiàn)，雙缸式直線壓縮機(jī)工作過程中，其活塞運(yùn)動系統(tǒng)屬于2階非線性自治系統(tǒng)。為了進(jìn)一步分析系統(tǒng)的動態(tài)特性，對該非線性自治方程進(jìn)行近似解析求解。

將上述非線性系統(tǒng)表示為狀態(tài)方程

(11)

考慮到壓縮機(jī)活塞和直線電機(jī)運(yùn)動件質(zhì)量比較大，即參數(shù)μ較??；因此，整個(gè)壓縮機(jī)活塞運(yùn)動系統(tǒng)狀態(tài)方程的解析解為擬諧運(yùn)動。該2階非線性方程的響應(yīng)可以表示為

(12)

(13)

將非線性動力學(xué)方程(10)等效改寫為

(14)

其中：阻尼ce和剛度ke為振幅a的函數(shù)。

結(jié)合非線性振動理論中的能量平衡原理，式(10)和式(14)的回復(fù)力和阻尼力在一個(gè)振動周期內(nèi)的無功功率和有功功率的平均值相等[14]

(15)

(16)

其中：T為活塞運(yùn)動周期。

聯(lián)立式(15)、式(10)和式(16)，解得

(17)

(18)

其中：φ=ω0t-θ。

(19)

(20)

結(jié)合式(19)、式(14)和式(20)，可得到直線壓縮機(jī)活塞運(yùn)動過程的解析解為

(21)

其中：φ0為初始相位；a0為初始位移。

由式(21)可見，活塞的運(yùn)動過程存在唯一奇點(diǎn)a0=0，此時(shí)如果系統(tǒng)不存在外部擾動，活塞外力保持平衡，活塞將處于靜止?fàn)顟B(tài)。一旦系統(tǒng)受到額外的外力作用，即使僅存在微小位移擾動，活塞將離開奇點(diǎn)開始運(yùn)動。

3.2 穩(wěn)定性分析

由式(21)可知，當(dāng)Cfπ<4Fe時(shí)，ne<0，活塞振幅a將隨時(shí)間t增大而加大，表明電機(jī)推力能夠克服系統(tǒng)的摩擦阻力，并有剩余能力，需要通過增加行程來消耗多余的能量；相反，當(dāng)Cfπ>4Fe時(shí)，ne>0，這時(shí)振幅將隨時(shí)間增加而減小，表明電機(jī)推力不注意克服摩擦消耗，活塞的運(yùn)動幅度會逐漸減小，并最終在一個(gè)合適的位置達(dá)到平衡；當(dāng)Cfπ=4Fe時(shí)，ne=0，活塞運(yùn)動振幅將不再變化?？梢婋p缸型直線壓縮機(jī)工作過程屬于單自由度自激勵(lì)振動系統(tǒng)，且屬于正阻尼振動系統(tǒng)，不管初始時(shí)刻系統(tǒng)存在如何的不穩(wěn)定，但經(jīng)過一段時(shí)間后，活塞運(yùn)動相軌跡呈現(xiàn)逐漸穩(wěn)定的運(yùn)動狀態(tài)，最終系統(tǒng)達(dá)到恒頻恒幅振動。因此，直線壓縮機(jī)工作過程活塞運(yùn)動是大區(qū)域穩(wěn)定系統(tǒng)。

4 動力學(xué)特性分析

根據(jù)上面分析可知，雙缸型直線壓縮機(jī)在穩(wěn)定的運(yùn)動狀態(tài)工作時(shí)，活塞的運(yùn)動方程為

(22)

(23)

在直線壓縮機(jī)工作穩(wěn)定后，活塞運(yùn)動振幅保持恒定，意味著兩側(cè)壓縮機(jī)氣缸壓縮比是固定的。考慮到直線壓縮機(jī)正常工作時(shí)，需要對外輸出一定壓力的高壓氣體。由于壓縮比和缸內(nèi)氣體的壓力有著對應(yīng)關(guān)系，因此直線壓縮機(jī)要能夠輸出足夠壓力的高壓氣體，需要滿足一定的壓縮比，即直線壓縮機(jī)工作時(shí)的振幅恒定位置需要大于高壓負(fù)載的最小極限壓縮比εc；同時(shí)為了防止活塞頂部與氣缸蓋底部發(fā)生碰撞，振幅恒定位置還需要小于壓縮機(jī)物理結(jié)構(gòu)上的最大極限壓縮比εm，即

(24)

進(jìn)而可以確定直線壓縮機(jī)正常工作時(shí)驅(qū)動電機(jī)推力范圍為

(25)

另外，由非線性方程的近似解析解可以獲得直線壓縮機(jī)工作過程的頻率變化關(guān)系

(26)

由式(26)可見，直線壓縮機(jī)活塞運(yùn)動過程并不存在嚴(yán)格意義上的系統(tǒng)固有頻率，其工作頻率與諸多因素有關(guān)，且不僅受到直線壓縮機(jī)物理結(jié)構(gòu)參數(shù)的限制，同時(shí)也受到工作過程中運(yùn)行參數(shù)的約束。

為了說明非線性動力學(xué)模型與等效線型模型之間的差異，同時(shí)驗(yàn)證非線性模型的準(zhǔn)確性，以某一樣機(jī)為例分析其活塞動力學(xué)特性。其主要結(jié)構(gòu)參數(shù)見表1，其中等效線性模型處理方法參見文獻(xiàn)[5，9]。

表1 樣機(jī)主要結(jié)構(gòu)參數(shù)

對比采用等效線性剛度獲得的直線壓縮機(jī)固有頻率和筆者分析所得的非線性工作頻率，如表2所示。由表2可以發(fā)現(xiàn)，非線性模型的近似解頻率與數(shù)值計(jì)算的結(jié)果更為接近，而采用的等效線性分析的模型，頻率保持恒定，可見采用非線性模型更能準(zhǔn)確反應(yīng)直線壓縮機(jī)實(shí)際的工作特性。

表2 運(yùn)行頻率對比

進(jìn)一步對直線壓縮機(jī)頻率特性進(jìn)行分析，可以發(fā)現(xiàn)：a.工作頻率由壓縮機(jī)氣體介質(zhì)的非線性剛度影響項(xiàng)和直線電機(jī)輸入的激勵(lì)影響項(xiàng)組成；b.當(dāng)L趨于零時(shí)，直線壓縮機(jī)工作頻率趨向于無窮大，這表明直線壓縮機(jī)氣缸的長度對運(yùn)行頻率會產(chǎn)生較大影響(不管何種結(jié)構(gòu)的壓縮機(jī)氣缸，總有一定的尺寸大小，因此工作頻率不存在無窮大的可能性)；c.對于特定的直線壓縮機(jī)，運(yùn)行過程中其結(jié)構(gòu)參數(shù)通常是不能發(fā)生變化的(如壓縮機(jī)缸徑、活塞質(zhì)量和氣缸總長度等)，因此如果需要改變直線壓縮機(jī)的工作頻率，則只能通過控制電機(jī)的激勵(lì)力和壓縮機(jī)的進(jìn)氣壓力來調(diào)整。

通過直線壓縮機(jī)動力學(xué)特性分析可見，直線壓縮機(jī)工作過程活塞運(yùn)動頻率與運(yùn)動位移存在耦合聯(lián)系，即頻率是振幅的函數(shù)關(guān)系，如式(26)所示。為了更方便、直觀地研究，將壓縮機(jī)工作頻率、活塞振幅和進(jìn)氣壓力之間的關(guān)系圖用圖2表示。

圖2 壓縮機(jī)活塞動力學(xué)幅頻特性Fig.2 Frequency characteristics of linear compressor

由圖2可知，壓縮機(jī)活塞運(yùn)動行程小于15 mm時(shí)，活塞運(yùn)動頻率隨振幅的增加而減??；當(dāng)活塞運(yùn)動振幅大于15 mm后，運(yùn)動頻率呈現(xiàn)增加趨勢，但頻率變化幅度不明顯。因此，可以認(rèn)為直線壓縮機(jī)在高負(fù)荷(輸出較高壓力的氣體)工作時(shí)，壓縮機(jī)工作頻率較穩(wěn)定，不同負(fù)荷下的壓縮機(jī)活塞運(yùn)動頻率差異不大。另外，由壓縮機(jī)的進(jìn)氣壓力對活塞運(yùn)動頻率影響顯著，隨著進(jìn)氣壓力的增加活塞運(yùn)動頻率明顯增大，其頻率變化幅度較活塞行程變化所導(dǎo)致的頻率變化更加突出。綜合工作頻率、活塞振幅和進(jìn)氣壓力之間關(guān)系曲線還可以發(fā)現(xiàn)，高壓縮比下，壓縮機(jī)活塞運(yùn)動頻率主要受進(jìn)氣壓力決定。

5 結(jié) 論

1) 雙缸型直線壓縮機(jī)活塞運(yùn)動過程是一個(gè)單自由度自激振動過程，無論初始時(shí)刻壓縮機(jī)運(yùn)行狀況如何不穩(wěn)定，但經(jīng)過一段時(shí)間后，活塞運(yùn)動會趨于穩(wěn)定的極限環(huán)，最終達(dá)到恒頻恒幅運(yùn)動。

2) 活塞運(yùn)動頻率不具有“固定頻率”屬性，它不僅受到壓縮機(jī)物理結(jié)構(gòu)參數(shù)的限制，同時(shí)也受到工作過程中電機(jī)推力的影響。

3) 直線壓縮機(jī)的進(jìn)氣壓力對活塞運(yùn)動頻率影響顯著，隨著進(jìn)氣壓力的增加，活塞運(yùn)動頻率增大，且在高負(fù)荷狀態(tài)下，壓縮機(jī)活塞運(yùn)動頻率主要受進(jìn)氣壓力決定。

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10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2015.03.020

*國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51076046，51306060)

2014-04-28；

2014-06-30

TH45

秦朝舉，男，1980年12月生，講師。主要研究方向?yàn)閯恿C(jī)械結(jié)構(gòu)強(qiáng)度及工作過程穩(wěn)定性。曾發(fā)表《鑄鐵試件在熱沖擊下熱疲勞壽命的研究》(《汽車工程》2012年第34卷第11期)等論文。

E-mail:qinzhaoju2@126.com