多質點彈簧系統的運動規律

何川，龍姝明，石妍.陜西理工學院物理系；.長安大學信息工程學院

多質點彈簧系統的運動規律

何川1，龍姝明1，石妍21.陜西理工學院物理系；2.長安大學信息工程學院

本文通過對質點系統在一維坐標下運用牛頓第二定律得到每個振子的運動學微分方程，對三質點彈簧系統賦值，并把其微分方程轉化為簡單的矩陣微分方程，用mathematica中的DSolve函數工具對彈簧振子的矩陣運動學微分方程求解得到質點位移隨時間的解析解以及趨勢圖。

多質點彈簧系統；矩陣微分方程；解析解；運動學方程；DSolve函數工具

1 引言

振動是自然界中一種非常常見的物理現象，其中彈簧系統是最經典的振動系統，其運動規律十分復雜，為了研究多質點彈簧系統在一維坐標的運動規律，可以通過對系統建立拉格朗日方程得到其運動學微分方程，用mathematica軟件對其方程求解數值解，并通過頻譜分析[1]得到近似運動學方程，但由于系統的周期很難找，導致頻譜分析有一定誤差。本文通過牛頓第二定律對每個振子進行簡單的受力分析，得到其彈簧振子的運動學微分方程，對三質點彈簧系統賦值，并把其微分方程轉化為簡單的矩陣微分方程，用mathematica中的DSolve函數對彈簧振子的運動學微分方程求解得到質點位移隨時間變化的解析解以及趨勢圖。

2 一維情況下n質點彈簧系統模型

研究對象：用多個彈簧連接多個質點小球，并且把一端進行固定，如圖1所示。

考慮多彈簧振子的一維振動系統，假設小球不受摩擦力和空氣阻力（即系統在理想情況下運動）每個輕質彈簧的勁度系數為ki，所連接的小球質量為mi，每個彈簧原長為li，i=1,2,3,…，n。考慮彈簧只在橫向發生振動，其中忽略彈簧質量和小球直徑不計。假設重力勢能零點為系統所在的平面，即彈簧振子在振動時每時每刻都處在零重力勢能面。用xi表示第i個小球離開平衡位置的位移量，根據牛頓第二定律我們可以得到：

3 一維情況下三質點彈簧系統的運動規律

要討論三質點彈簧振子系統（圖2）的運動規律，我們只需使上文中的n=3即可。

則有系統的運動微分方程為：

令：

則有:

我們對三個小球質量及彈簧勁度系數等進行賦值如下：

通過mathematica軟件得到三個小球離平衡點的位移隨時間的變化曲線[2]（圖3）

圖3三個小球離各自平衡點的位移隨時間的變化曲線保留有效數字后得到運動學方程為：

4 結論

多質點彈簧系統中各個質點的運動是由多個頻率成份的簡諧振動組成的，由于不同頻率是由不同彈簧勁度系數與不同小球質量比值的開根號所決定的，多個頻率的最大公約數非常小，所以各個小球的周期很大即接近于無窮大。但如果保留有效數字，可得到其近似周期。由于各質點由相同頻率、不同振幅組成，所以各質點具有相同的近似周期。

[1]龍姝明，孫彥清.探索物理系統演化規律的頻譜二次逼近方法[J].內蒙古師范大學學報（自然科學漢文版），2014，43（4）:434-439.

[2]龍姝明，朱杰武.數學物理方法&Mathematica[M].西安:陜西人民教育出版社,2002:166-169.