結構振型幾何辨識及應用研究

董建華 宋 樂 駱拴青

(1.河南能源化工集團重型裝備有限公司，河南 鄭州 450045；2.河南省興豫建設管理有限公司，河南 鄭州 450001； 3.河南大象建設監理咨詢有限公司，河南 鄭州 450005)

結構振型幾何辨識及應用研究

董建華1宋 樂2駱拴青3

(1.河南能源化工集團重型裝備有限公司，河南 鄭州 450045；
2.河南省興豫建設管理有限公司，河南 鄭州 450001； 3.河南大象建設監理咨詢有限公司，河南 鄭州 450005)

推導了基于振型的位移、應變和應力展開公式，介紹了振型的分類方式，并根據振型的幾何判別標準，分析了高寬比對結構振型的影響規律，得出了一些有價值的結論，以供參考。

振型，高寬比，方向系數，特征參量

0 引言

結構的振型和頻率僅與其本身的質量和剛度有關，與其他因素無關，故常稱之為特征參量。振型描述了質量和剛度之間的相對比值關系，表征了結構質量和剛度在空間上的分布情況。又因為振型為位移展開的完備正交基，以位移為橋梁，可將內力和應力在振型坐標基上投影。因此，提高對結構變形有利的振型，降低對結構變形不利的振型。利用結構振型指導結構概念設計和構造設計，可分別從整體和局部的范疇來控制結構設計[1，2]，使結構滿足安全、適用和耐久性的要求。利用振型指導結構設計，關鍵在于振型的量化和振型位移的展開問題。計算位移展開所需振型數可由范數確定[3-5]。Hiroki Yamaguchi[6]、布占宇[7]和王福智[8]等人對振型進行過研究，提出利用振型方向系數對各振型進行量化，取得了較好的研究成果。但振型方向系數僅能給出振型中某一種振動特性，通過分析發現，振型中某單一振型，常常是兩種或兩種以上振型單元的耦合，只不過是某一振型單元所占比例較大而已。如能對振型單元進行量化，給出不同振型單元所占比例，通過振型單元比例的大小定義振型，再利用振型指導結構概念設計，可從宏觀上把握結構的整體力學性能，使結構設計趨于合理。

1 基于振型的位移、應變和應力展開公式推導

振型是結構位移的完備正交基，任何位移都能以振型為坐標基展開。將位移表示為振型和振型幅值乘積的形式，如式(1)所示：

D=a1φ1+a2φ2+…+anφn

(1)

其中，D為位移向量；φn為結構的振型；an為位移展開在各振型中的振幅。利用振型的正交性，an值為：

(2)

又知應變與位移之間的微分方程為：

{ε}=[L]{D}

(3)

其中，[ε]為應變矩陣；[L]為表示位移和應變之間關系的微分算子矩陣。應力與應變的關系式為：

{σ}=[K]{ε}

(4)

其中，{σ}為應力矩陣；[K]為剛度矩陣；{ε}為應變矩陣。

通過位移矩陣，應變矩陣和應力矩陣都可以依振型矩陣展開。某振型上應變和應力的展開式為：

{εn}=anφn[L]{D}

(5)

{σn}=[K]{ε}=anφn[K][L]{D}

(6)

從式(3)～式(6)可以看出，對于構件，只要位移已知，就可以求出相應的應變和應力在振型上的投影值，對應力在面內或體積內積分，可求出相應的內力值。位移在振型上投影的幅度值an反映了外界荷載對各振型的作用效應，因此對an分析就能顯示荷載效應在振型間分配大小。

2 振型的分類

通常，根據振型的振動方式以及對結構受力的影響，有不同的分類方式，下面將振型按兩種方式進行分類。

2.1 單一振型和復合振型

如果某一振型由一種變形方式構成，則為單一振型；如某一振型由兩種及以上變形方式構成，則為復合振型，例如彎剪振型、彎扭振型等。

2.2 有利振型和不利振型

根據振型與位移之間的關系，對結構變形有利的振型稱之為有利振型，例如平動振型和彎曲振型；相反，對結構變形不利的振型稱之為不利振型，例如剪切振型、扭轉振型，以及剪切或扭轉振型與彎曲振型的復合振型，例如彎剪振型或彎扭振型等。不利振型極易引起剪切破壞或扭轉破壞，破壞且呈脆性，使結構的安全可靠度降低，在結構設計時需加注意。

3 振型的幾何判別標準

分析僅針對平面問題，討論高寬比對結構振型影響的一般規律。將結構進行有限元網格劃分，單元在各振型中的變形形狀只有三種，如圖1～圖3所示，分別對應結構的拉伸或壓縮變形、剪切變形和彎曲變形。圖1表示單元僅在某一個或兩個方向上拉伸或壓縮，沒有剪切變形的發生，通常對應于豎向振動。圖2為單元的剪切變形，變形特點為單元兩對邊相互錯動，大致保持平行。圖3為彎曲振型單元，四邊中有兩邊呈明顯的受拉邊和受壓邊，另兩邊也不再保持平行。振型的判定就變成對這三種變形單元的幾何辨識。由初等幾何學知：矩形振型單元的判定不僅要求兩對邊相互平行，而且要求角“1”保持為直角，滿足這兩個條件的為矩形振型單元；平行四邊形振型單元僅要求對邊保持平行即可；振型單元凡不屬于這兩類振型單元的都歸到彎曲振型單元范疇。根據以上判定準則，就可對不同階次振型進行幾何量化，統計各振型中不同變形單元所占的比例，對平面振型振動方式有了量化標準。必須注意，對于圖1和圖2，線“1”與線“2”，線“3”與線“4”不可能完全滿足平行定理，相應，線“1”與線“3”也不可能剛好滿足正交條件，因此合理計算精度的設置直接影響單元振動方式的判別。判定精度設置的不同，振動方式各異，但對于某一固定高寬比結構，不同階次間設置統一控制精度，識別不同振型中不同振動方式所占的比例，進而指導結構整體變形方式的設計，具有一定的指導意義。

4 高寬比對結構振型影響分析

結構的高寬比不能太大也不能太小，太大造成結構穩定性較差，易引起傾覆；太小不能較好利用材料柔性性能，整體變形以剪切變形為主，鋼筋混凝土或鋼結構柔性變形性能得不到發揮。我國高層技術規程[9]規定，對于A級高度混凝土房屋，最大高寬比為6，對于B級高度混凝土房屋，最大高寬比為7，故高寬比分析范圍為1～7。假定結構寬度為6 m，根據不同高寬比，計算相應的幾何變形系數。定義判斷線“1”和線“2”平行的系數為P1，定義判斷線“3”和線“4”平行的系數為P2，定義判斷角“1”為直角的系數為P3。P1和P2精度由振型一中最大值確定，P3以使豎向振動振型最大值確定，這樣不同高寬比三個振型單元判斷精度得到確定，如表1所示。根據各振型單元變形特征，編寫了判定振型單元幾何形狀的有限元程序[10]“ModeIdentification”，高寬比1～7范圍內前8階振型三種幾何變形單元所占比例如表2所示。

表1 不同高寬比振型判斷精度

通過以上計算可以看出高寬比對振型影響規律如下：

1)綜合考慮前8階振型，隨著高寬比的增大，結構振型逐漸由剪切型變形向彎曲型變形過渡，高寬比基本上以3為分界線，當高寬比小于3時，結構呈剪切型變形，不小于3時呈彎曲型變形。故對于砌體結構，材料性能呈現脆性，變形以剪切型為主，高寬比限制在3范圍內[11]，此結論在振型分析中得到驗證；而對于鋼筋混凝土結構或鋼結構，整體結構呈現柔性，有很強的耗能能力和變形能力，為了充分發揮材料性能，高寬比宜在3～7范圍內，例如高層技術規程規定，對于筒體結構，高寬比不宜小于3。

表2 不同高寬比前8階振型變形比例

2)高寬比影響結構振型的振動形式和振型出現的先后順序。當高寬比小于3時，第二振型為豎向振型，不小于3時第三振型為豎向振型。當高寬比等于1時，第四振型和第六振型為一階和二階雙向彎曲振型；當高寬比等于2時，第七振型為一階雙向彎曲振型；當高寬比不小于3時前八階振型再沒有雙向彎曲振型。當高寬比等于3和4時，豎向振動為第三階和第五階；當高寬比等于5，6和7時，豎向振動為第三階和第六階。

3)在高寬比容許范圍內，前8階振型基本上都是從剪切振型向彎曲振型過渡，高寬比越大變形性能越好，也越能發揮結構的耗能能力，因此利用振型可從宏觀上把握結構的整體力學性能，利用振型指導結構概念設計。

4)當高寬比不小于5時，結構振型趨于穩定，表明結構振型有趨于“收斂”的特性，故利用振型指導結構設計從原理上來說是合理的。

5)利用振型的幾何判別可以發現，結構的振型一般都不是完全某一振型組成，而是彎曲、拉壓或剪切振型的組合，某一振型占優，這樣可利用振型的幾何辨識，更清楚認識結構的振型，指導結構設計。

5 結語

通過以上振型的幾何辨識，可以得到以下結論：

1)對不同高寬比振型計算結果可以看出，除了豎向振動外，一般振型都不是某一種振型單獨振動，而是和其他振型耦合振動，常以某一振型振動為主，其他振型振動為輔。

2)振型出現的階次隨高寬比變化而變化。隨著高寬比的減小，不利振型提前。例如當高寬比不小于3時，豎向振動通常在第三階出現，而小于3時，豎向振動提前到第二階。

3)隨著高寬比的增大，振型逐漸由剪切形振動向彎曲形振動方式過渡。結構振型變形也愈加變得合理。

4)振型振動方式判斷精度在同一高寬比不同階次振型下可為同一精度，不同高寬比振型精度不同，這為結構振型振動判斷的基本依據。

5)通過以上幾何方法，可對平面振型進行量化表示，對振型有了量化指標，為結構設計提供了更為科學的基本理論，指導結構設計。

6)本次分析僅針對平面問題，對于空間問題，還會出現扭轉振型。對于空間問題，另文再進行討論。

[1] 季三容，王東煒，趙 騫.基于模態分析的鋼管腳手架平面支撐剛度研究[J].鄭州大學學報(工學版)，2010，31(4)：31-35.

[2] 王東煒，張奇偉，王用中.基于模態分析的鄄城黃河公路大橋優化設計[J].鄭州大學學報(工學版)，2010，31(6)：1-5.

[3] 莊 茁.連續體和結構的非線性有限元[M].北京:清華大學出版社,2008：538-540.

[4] 史榮昌，魏 豐.矩陣分析[M].北京:北京理工大學出版社,2010：177-199.

[5] 李清揚，王能超，易大義.數值分析[M].北京:清華大學出版社,1986：196-205.

[6] Hiroki Yamaguchi, Manabu Ito. Mode-dependence of structural damping in cable-stayed bridges[J].Wind Engineering and Industrial Aerodynamics,1997(72):289-300.

[7] 布占宇.斜拉橋地震響應分析中的索橋耦合振動和阻尼特性研究[D].杭州：浙江大學博士學位論文，2005.

[8] 王福智，王依群，鄧孝祥.振型數的選取及扭轉振型的確定[J].天津理工大學學報，2005,21(3):81-85.

[9] GBJ 3—2010，高層建筑混凝土結構技術規程[S].

[10] O.C.Zienkiewicz, R.L.Taylor. Finite element method for solid and structural mechanics[M].Elsevier(Singapore) Pte Ltd，2008.

[11] GB 50011—2010,建筑抗震設計規范[S].

Structure mode geometrical identification and application

Dong Jianhua1Song Le2Luo Shuanqing3

(1.HenanEnergyandChemicalIndustryGroupHeavyEquipmentCo.,Ltd,Zhengzhou450045,China;2.HenanXingyuConstructionManagementCo.,Ltd,Zhengzhou450001,China;3.HenanDaxiangSupervisionConsultingCo.,Ltd,Zhengzhou450005,China)

The paper induces the displacement of the model of vibration, strain and stress expansion formula, introduces the classification approaches of the vibration mode, analyzes the influential law for the height-width ratio on the structural vibration mode according to the geometric judgment standard of the mode, and achieves some valuable conclusion, so as to provide some reference.

mode of vibration, depth-width ratio, direction coefficient, characteristic parameter

2015-03-10

董建華(1978- )，男，工程師； 宋 樂(1988- )，女，助理工程師； 駱拴青(1976- )，男，高級工程師

1009-6825(2015)14-0035-03

TU311.1

A