一種橫觀各向同性沉積巖的失效準則★

任述光 劉保華 喬金麗

(1.湖南農業大學工學院，湖南 長沙 410128； 2.河北工業大學土木工程學院，天津 300130)

·巖土工程·地基基礎·

一種橫觀各向同性沉積巖的失效準則★

任述光1劉保華1喬金麗2

(1.湖南農業大學工學院，湖南 長沙 410128； 2.河北工業大學土木工程學院，天津 300130)

通過定義初始屈服函數及由試驗測定沉積巖的參數，提出了一般應力條件下巖石材料的失效準則，給出了該準則的數學表達式，對兩種典型橫觀各向同性巖石強度特性的模擬結果表明，該準則能較好地反映沉積巖類材料在一般應力條件下的強度變化規律。

沉積巖，橫觀各向同性，失效準則，微結構張量

0 引言

也可以借助臨界平面或弱方向存在性的概念表達材料的屈服和失效，沿此平面或方向失效函數取極大值。這種定義屈服函數方法的不便是需要定義大量的材料函數或參數，并且這些參數與材料微結構間的關系是相當含糊的。現有的一些反映各向異性的強度準則大多適用范圍有限，并且缺乏明確的物理含義。Abelev等提出了繞主應力空間原點旋轉的應力變換方法，但僅適用于應力主軸與材料主軸重合的情況。張衛明提出了一般應力條件下各向異性粒狀材料的強度準則，該準則假定不同平面上的摩擦角隨該平面與沉積面之間的夾角變化，稱為ASMP準則，給出了該強度準則在橫觀各向同性條件下的表達式。平面應變條件下，陳越在Mohr-Coulomb強度準則基礎上，從單元極限平衡的角度建立各向異性強度準則，但該準則不適用于一般的應力條件，因為無法反映中主應力的影響。

定義屈服和失效準則更嚴密的方法是利用應力和微結構張量混合不變量的表達理論，它首先出現在Boehler的論文中，隨后Nova加以擴展。屈服函數的一般形式為F(σ)=F(σij)=0，可以用應力張量分量的二次多項式表示，它是各向異性的標量值函數，即F(σ)≠F(QgσgQT),Q為正交張量。當用主應力表示初始各向同性的巖土類材料，其屈服函數的形式不依賴于所選擇的坐標系，與三個主應力相對于材料坐標軸的方向無關，只與三個主應力大小有關。這時屈服函數可用應力張量和偏張量的三個不變量表示為F(I,J2,J3)=0。研究各向異性張量函數和各向異性材料本構方程的集大成者是Boehler，在他的論文中，利用空間各向同性原理將表征材料各向異性的張量或結構張量的概念成功擴展，一些各向異性張量函數的表示由各向同性張量函數的結果導出。這一理論能較好解釋橫觀各向同性，正交異性和斜交異性材料的復雜不可逆力學現象，如屈服、失效、蠕變和損傷。

1 各向異性參數的定義

表征材料性質的一切方程或函數都應具有和材料性質相同的對稱性，稱為連續介質力學的Newman原理。根據這一原理的結論，橫觀各向同性材料的屈服函數可以表示為五個標量不變量的函數:

F(σ,a)=F(trσ,trσ2,trσ3,traσ,traσ2)=0

(1)

其中,trσ,trσ2,trσ3分別為應力張量的一階、二階、三階矩。式(1)是σ,a的各向同性張量函數，即對于任意正交張量Q:

F=F(σ,a)=F(QgσgQT,QgagQT)=0

(2)

以上方程中a是實對稱二階張量，它是材料內部結構的度量，表征材料微觀結構，例如，孔隙和微裂紋的空間分布，材料顆粒間排列接觸情況等。由各向同性張量函數的表示定理，它可寫為:

F=F(σ,a)=F(trσ,trσ2,trσ3,η,β)=0

(3)

η表示張量在某一定義的加載方向l的投影的各向異性標量，定義為:

在本體系結構下，每個電站的狀態監測系統自成體系，可獨立運行，便于系統調試和現場工程師應用。無論在電站還是辦公大樓區域，通過應用服務器與管理信息系統（Management Information System，MIS）或計算機局域網相連，可以充分利用MIS網上的每一臺計算機進行狀態監測分析和診斷。

(4)

微結構張量a的三個主方向與正交異性材料主軸共軸。荷載相對于材料主軸的方向效應便可由各向異性參數η定義。η就是應力張量和微結構張量乘積的聯合不變量與應力二階矩的比值。式(4)的另一種表達方法是利用微結構張量a的無量綱化了的偏張量A，使得:

(5)

trA=A1+A2+A3=0

(6)

通過引入高階張量A的并積，例如Aijkl=b1AijAkl;Aijklmn=b2AijAklAmn等，式(5)中η可以寫為如下更一般的表示形式:

(7)

式(7)又可寫為:

(8)

2 初始屈服函數

通過將經典的各向同性屈服準則在塑性理論框架加以推廣，提出了一個各向異性屈服準則，假設可以用應力和偏應力張量的不變量表示失效準則，這一準則適合于巖石類脆—塑性材料。它可以由式(9)給出的等效應力的二次式表示為:

(9)

(10)

因此出現在失效準則一般式(3)中的各向異性參數η與這里的fc是等同的。因為fc值依賴于應力張量和微結構張量的相對方向。一般情況下，材料的單向拉伸和雙向壓縮強度都與fc成正比，因此fc是唯一獨立的強度參數。式(9)是主應力空間中一個不規則的錐體，其與p-q子午面的交線為一光滑曲線，在π平面的投影是一個非圓的外凸曲線，曲線的形狀取決于函數g(θ)。

進一步分析可知式(9)可以寫為以下簡化的等效式:

(11)

3 屈服函數中參數的確定

在應用屈服準則式(9)時，需要確定其所涉及的材料參數及材料函數，特別是與式(10)對應的分布函數相聯系的參數，它描述單軸壓縮強度的變化。圖1是試驗給出的頁巖單軸壓縮強度隨層理面方位與壓縮軸交角α變化的相關試驗數據。顯然，α=0，即加載方向與層理正交時強度最高。

因此：

(12)

根據不同加載方向得到的強度值對實驗數據進行擬合，可以確定系數:

(13)

利用不同初始圍壓下的三軸實驗的結果，可以確定出現在屈服準則式(11)中的材料常數。

表1應力條件數據是α=0時測得的最終強度。

表1 應力強度三軸試驗結果

表1中σx=σz確定了圍壓的大小(加載過程中圍壓保持不變)，σy是軸向壓力的最大值。這里加載路徑相應于式(9)中,θ=π/6,g(θ)=1。

因此:

(14)

(15)

將式(14)的二次多項式函數曲線擬合，得到擬合系數結果為：

c1=2.372 9;c2=0.937 1;c3=0.658 2。

將擬合系數和頁巖的單軸壓縮強度數據代入屈服準則式(13)化簡后可得：

(16)

為檢驗這一模型的正確性，進行了一系列的三軸試驗模擬，實驗材料為頁巖，在不同初始圍壓下進行三軸試驗，沿試樣不同方向進行加載，數值結果如圖2所示，分別為圍壓在5MPa，30MPa，40MPa時垂直于試樣加載時偏應力張量對軸向應變圖。

4 結語

1)通過引入了反映材料微結構張量在指定加載方向的投影的標量參數η，本文給出了一種描述具有橫觀各向同性性質的巖石類材料的屈服失效數學模型。

2)在這一模型中，巖石材料的內在橫觀各向同性被描述為標量參數η圍繞其平均值的變動。

3)試驗表明，理論與試驗結果符合較好，式(9)可作為橫觀各向同性巖石的屈服準則。

4)這一準則使用基本應力不變量與應力張量二階混合不變量和結構方向張量，可以減少復雜的數學運算。

A failure criterion for transverse isotropy sedimentary rocks★

Ren Shuguang1Liu Baohua1Qiao Jinli2

(1.CollegeofEngineering,HunanAgricuturalUniversity,Changsha410128,China;2.SchoolofCivilEngineering,HebeiIndustrialUniversity,Tianjin300130,China)

Through the initial determination of yield function and right test defining sedimentary rocks parameters, this paper put forward the failure criterion of rock material under general stress condition, given the mathematical expressions of the criterion, the simulation results showed that of two kinds of typical transversely isotropic rock strength characteristics, this criterion could well reflect the strength variation laws of sedimentary rock material in general stress condition.

sedimentary rock, transversely isotropic, failure criterion, micro structure tensor

2014-11-21 ★：湖南農業大學人才基金項目(項目編號：08YJ02)

任述光(1970- )，男，博士，副教授； 劉保華(1973- )，女，副教授； 喬金麗(1978- )，女，副教授

1009-6825(2015)04-0054-03

TU431

A