具有隨機時滯和異步相關(guān)噪聲的非線性系統(tǒng)的高斯濾波器設(shè)計

于 浛，宋申民，王 碩，李 鵬

（1. 哈爾濱工業(yè)大學 控制理論與制導技術(shù)研究中心，哈爾濱 150001； 2. 湘潭大學 信息工程學院，湘潭 411100）

具有隨機時滯和異步相關(guān)噪聲的非線性系統(tǒng)的高斯濾波器設(shè)計

于 浛1，宋申民1，王 碩1，李 鵬2

（1. 哈爾濱工業(yè)大學 控制理論與制導技術(shù)研究中心，哈爾濱 150001； 2. 湘潭大學 信息工程學院，湘潭 411100）

針對隨機時滯和異步相關(guān)噪聲情況下的狀態(tài)估計問題，提出了一種改進的高斯濾波算法(GF)，并給出了其適用于高維系統(tǒng)的實現(xiàn)形式—隨機時滯和異步相關(guān)容積卡爾曼濾波器(CKF-RDCN)。首先，通過滿足Bernoulli分布的互不相關(guān)隨機序列，來描述系統(tǒng)觀測數(shù)據(jù)中可能存在的隨機時滯現(xiàn)象，將量測噪聲作為狀態(tài)變量用以實現(xiàn)對觀測時滯后驗概率密度的估計。其次，利用一階斯特林插值公式來近似估計，由于過程噪聲和量測噪聲異步相關(guān)，而導致的含有隨機變量的多維積分問題。最后，依據(jù)三階球徑容積法則，給出了CKF-RDCN濾波算法的詳細設(shè)計。此外，經(jīng)典GF算法是所提出的改進GF算法的特例，其作為一個通用的非線性濾波算法框架，根據(jù)不同的后驗概率密度估計方法，可以有不同的實現(xiàn)形式。仿真結(jié)果表明，相比于擴展卡爾曼濾波算法(EKF)以及容積卡爾曼濾波算法(CKF)，CKF-RDCN在解決含有觀測時滯和相關(guān)噪聲系統(tǒng)的狀態(tài)估計問題時，具有更高的精度和更好的數(shù)值穩(wěn)定性。

非線性濾波；高斯濾波；隨機時滯；相關(guān)噪聲；容積卡爾曼濾波

非線性系統(tǒng)的狀態(tài)估計在空間衛(wèi)星交會對接[1]、無人機導航[2]、信號處理[3]以及金融分析[4]等領(lǐng)域具有重要的應用價值與廣闊的應用前景。它對導航系統(tǒng)參數(shù)精度的高低具有重要的影響，在導航領(lǐng)域里對該問題的研究一直是熱點問題。

作為非線性濾波算法中應用最為廣泛的擴展卡爾曼濾波器(EKF)[5]，由于其簡潔的形式和高效的計算性能，早在20世紀70年代就有學者將其應用于飛行器導航中，并指出系統(tǒng)的非線性特性極大地影響著導航參數(shù)的確定[6]。然而，由一階泰勒展開而建立的EKF算法具有精度不高的先天缺陷[7]。因此，隨著人們對高精度導航的需求越來越高，對非線性濾波算法的研究便也越來越深入。

由Ito等[8]提出的高斯濾波算法(GF)是其中具有里程碑意義的非線性狀態(tài)估計算法。GF以高斯噪聲為假設(shè)前提，采用貝葉斯估計方法構(gòu)建了關(guān)于非線性離線系統(tǒng)的最優(yōu)濾波框架，將復雜的概率密度計算問題簡化為高斯加權(quán)積分的計算。其重要意義在于，為非線性系統(tǒng)狀態(tài)估計問題的解決設(shè)計了一個具有普遍意義的框架，通過采用不同的高斯加權(quán)積分算法可以設(shè)計相應的濾波算法。例如，基于高斯厄爾米特正交法則的高斯厄爾米特濾波算法(GHQF)[8]，基于無跡變換的無跡卡爾曼濾波算法(UKF)[7]，基于斯特林多項式插值的差分濾波算法(DDF)[9]，基于球徑容積法則的容積卡爾曼濾波算法(CKF)[10]，以及近年來提出的基于稀疏網(wǎng)格的稀疏網(wǎng)格正交濾波器(SGQF)[11]。其中，針對單純激光導航系統(tǒng)反應慢且精度低的問題，Jung等[12]提出了一種融合激光、陀螺以及編碼器的組合導航系統(tǒng)，并采用UKF算法進行位姿估計；胡高歌等[13]針對SINS/BDS組合導航系統(tǒng)中噪聲統(tǒng)計特性未知的情況，提出了一種改進的UKF算法，達到自適應估計的目的；Jwo等[14]將DDF濾波算法應用于GPS導航估計問題中，所設(shè)計的算法既滿足高動態(tài)下對高精度導航的要求，又適用于低動態(tài)下的估計特性；由于INS/GPS組合導航系統(tǒng)本質(zhì)是非線性系統(tǒng)，孫楓等[15]為提高導航精度，將具有高精度估計特性的CKF算法應用于INS/GPS組合導航中。此外，對于近年來提出的SGQF算法，其在飛行器的視覺導航問題中也有應用[16]。

然而，上述濾波算法均是建立在同一假設(shè)條件下，即要求系統(tǒng)過程噪聲和量測噪聲是相互獨立的。但隨著工作環(huán)境對導航設(shè)備的影響，加之元器件老化、數(shù)據(jù)處理能力受限等原因[17-19]，在實際系統(tǒng)的應用中，可能存在噪聲相關(guān)與傳感器量測時滯的現(xiàn)象。對噪聲相關(guān)條件下的狀態(tài)估計問題，其解決方法一般可分為兩類：一類是在原有卡爾曼類型濾波器的基礎(chǔ)上，采用相關(guān)噪聲解耦的方法使問題轉(zhuǎn)化為標準的濾波問題[20-23]；一類是給出解決此類問題的通用框架，提出新的噪聲相關(guān)條件下的GF算法[24]。文獻[20]采用構(gòu)造偽狀態(tài)方程的方式，來達到相關(guān)噪聲解耦的目的，并給出了在EKF框架下的實現(xiàn)方法。Chang[21]采用了相同的相關(guān)噪聲解耦方式，給出了其在UKF框架下的解決方案，并利用高斯條件分布，分離線性化子結(jié)構(gòu)的方式，來降低UKF算法的計算負擔。王小旭等[22]根據(jù)最小均方誤差估計準則，推導了噪聲相關(guān)條件下的UKF濾波形式。最近，徐小良等[23]在量測噪聲和過程噪聲相關(guān)的條件下，又考慮了過程噪聲互相關(guān)的情況，以構(gòu)造偽狀態(tài)方程與矩陣相似變化相結(jié)合的方式，達到噪聲解耦的目的。相比于噪聲解耦較為豐富的研究成果，針對適用于噪聲相關(guān)條件下的通用濾波框架的研究較少。Wang等[24]以兩步更新后驗概率密度替代原有濾波框架中一步更新的方式，來實現(xiàn)噪聲解耦。對于量測時滯問題，Hermoso等[25]以量測噪聲為狀態(tài)增量，采用一階泰勒近似和無跡變換的方式估計狀態(tài)的條件均值和協(xié)方差陣，并給出EKF和UKF時滯濾波器。隨后，Hermoso等[26]又針對兩步隨機時滯問題，提出了相應UKF下的解決方法。Wang等在文獻[24]基礎(chǔ)上，考慮隨機時滯問題，提出了適用于隨機時滯和同步相關(guān)噪聲系統(tǒng)的GF濾波算法[27]。

目前，對于導航系統(tǒng)中可能存在的含有隨機時滯和噪聲異步相關(guān)情況下的最優(yōu)估計算法的研究還不夠完善。受文獻[27]啟發(fā)，研究了具有隨機時滯和異步相關(guān)噪聲情況下的最優(yōu)估計問題，提出了一種可以通用的新型高斯濾波框架，并給出了其在三階球徑容積法則下的實現(xiàn)形式——隨機時滯和異步相關(guān)容積卡爾曼濾波器(CKF-RDCN)。此外，還提出了一種基于一階斯特林插值的，關(guān)于隨機變量多維積分的近似估計算法，用以實現(xiàn)新型高斯濾波器的設(shè)計，從而為高精度導航參數(shù)的確定提供相應的理論基礎(chǔ)。

1 GF濾波算法

考慮如下含有加性噪聲的非線性離散系統(tǒng)

式中：xk∈?n表示系統(tǒng)在k時刻的狀態(tài)；zk∈?m表示系統(tǒng)在k時刻的量測值；uk∈?nu表示系統(tǒng)在k時刻的輸入；vk-1和nk為不相關(guān)零均值高斯白噪聲，其協(xié)方差矩陣分別為Qk-1和Rk。

以Zk=[…]T表示系統(tǒng)在時刻1到k所獲得的觀測序列，N表示高斯分布，則GF濾波算法框架如下[8]：

時間預測

量測更新

其中，

2 改進GF濾波算法

由上述分析可知，標準GF濾波算法是建立在過程噪聲和量測噪聲互不相關(guān)這一假設(shè)的基礎(chǔ)上，且未考慮觀測數(shù)據(jù)具有隨機時滯的情況。在本節(jié)中，提出一種改進的GF濾波算法，用以解決系統(tǒng)中存在噪聲相關(guān)和隨機時滯的問題。在式(1)和式(2)所構(gòu)成的離散系統(tǒng)模型基礎(chǔ)上，考慮如下假設(shè)條件。

假設(shè)1 過程噪聲vk-1和量測噪聲nk為異步相關(guān)噪聲，滿足

式中：δkl表示克羅內(nèi)克函數(shù)；Sk≠0表示過程噪聲和量測噪聲間的互協(xié)方差陣。

假設(shè)2 系統(tǒng)中數(shù)據(jù)傳輸存在隨機時滯情況，即觀測方程重新構(gòu)建為：

式中：εk（k＞1）為滿足Bernoulli分布的互不相關(guān)的隨機序列，且滿足統(tǒng)計概率：

由于假設(shè)條件2的引入，標準GF濾波算法中對后驗概率密度函數(shù)p（xk|Zk）的估計將由p（xk|Yk）取代，其中Yk=[…]T。此外，由式(12)可知，在k-1時刻對觀測值yk的一步預測值k|k-1中含有k-1|k-1項，而觀測值zk-1中含有量測噪聲nk-1。因此，在所設(shè)計的改進GF濾波算法中，除含有對后驗概率密度函數(shù)p（xk|Yk）的迭代更新外，還需實現(xiàn)對p（nk|Yk）的迭代更新。定義狀態(tài)增量為：

其中，

與標準GF濾波算法框架類似，提出的改進的GF濾波算法同樣由時間預測和量測更新兩個部分構(gòu)成。

2.1 時間預測

定理1 在假設(shè)1和假設(shè)2條件下，給定濾波器在k-1時刻狀態(tài)量的估計值以及方差值，則關(guān)于k時刻的一步預測值k|k-1和Pk|k-1分別為：

證明：因為過程噪聲vk-1與觀測序列Yk-1不相關(guān)，所以

由于nk是零均值高斯白噪聲，且nk與觀測序列Yk-1不相關(guān)，所以式(19)和式(20)顯然成立。

此外，由下述的分析可知，狀態(tài)量xk的估計值與狀態(tài)增量在k-1時刻互協(xié)方差陣的一步預測值無關(guān)。因而，在所提出的改進GF濾波算法中，并未涉及對方差陣Pxn,k|k-1的計算。

2.2 量測更新

引理1[9]考慮非線性函數(shù)y=f（x），那么根據(jù)一階斯特林插值公式，在點處函數(shù)y近似取值為：

式中：Δxd表示向量Δx=x-的第d個元素；Sd表示協(xié)方差矩陣平方根分解后的第d列向量；m取為插值區(qū)間的一半。

定理2 在假設(shè)1和假設(shè)2條件下，給定濾波器在k時刻的觀測值yk以及狀態(tài)量在k-1時刻的估計值和方差值，則關(guān)于k時刻狀態(tài)量xk的估計值和方差值分別為

其中，

其次，

由于

將式(43)、式(44)、式(46)以及式(47)代入到式(45)中，得式(34)。根據(jù)Pzz,k|k-1定義，可得：

由于在假設(shè)1條件下，狀態(tài)量xk中含有的過程噪聲vk-1與量測噪聲nk相關(guān)，因而E{(h(xk,uk))|Yk-1}及E{(nkhT(xk,uk))|Yk-1}均不為零。文獻[28]中指出，對于E{(h(xk,uk))|Yk-1}和E{(nkhT(xk,uk))|Yk-1}的計算是處理異步相關(guān)問題最為棘手的問題，但其并沒有給出一種有效的解決方法。根據(jù)引理1，非線性函數(shù)h（xk,uk）可近似為：

式中：Δxd表示向量Δx=xk-k|k-1的第d個元素；Sd,k表示協(xié)方差矩陣Pk|k-1平方根分解后的第d列向量。將式(49)代入E{(h(xk,uk))|Yk-1}，可得：

將式(1)、式(51)和式(52)代入到式(50)中，得：式中：Mk定義同式(36)。

又由于（h（xk,uk））T=nkhT（xk,uk），因此：

將式(53)和式(54)代入式(48)中，得式(35)。

根據(jù)Pzz,k-1|k-1定義，可得：

式(37)得證。

將式(12)和式(31)代入到Pxy,k|k-1中，可得：

式(38)得證。

將式(2)代入到Pxz,k|k-1中，可得：

式(39)得證。

將式(1)和式(2)代入到Pxz,k-1|k-1中，可得：

式(40)得證。

根據(jù)文獻[29]，易得式(27)、式(28)以及式(29)。然而由于假設(shè)1的存在，使得對式(29)中Pny,k|k-1的估計與文獻[29]給出的結(jié)果有所不同。下面給出Pny,k|k-1的估計結(jié)果。將式(12)和式(31)代入到Pny,k|k-1中可得：

將式(54)代入到式(59)中，得式(41)。

最后，將式(24)和式(27)代入Pxn,k|k中：

由于

因此式(60)等價于

式(30)得證。

當pk=0, Sk=0，即系統(tǒng)中不存在觀測時滯與噪聲相關(guān)情況時，式(31)退化為k|k-1=k|k-1，式(34)退化為Pyy,k|k-1=Pzz,k|k-1，式(38)退化為Pxy,k|k-1=Pxz,k|k-1，式(41)退化為Pny,k|k-1=Rk，且上述各式與標準GF濾波算法中對應各式相等。由此可知，標準GF濾波算法是所提出的改進GF濾波算法的一個特例，該改進GF濾波算法既滿足一般情況下的狀態(tài)估計問題的需要，又適用于觀測時滯與噪聲相關(guān)情況下的需要，是對標準GF濾波算法適用范圍的拓展。

3 CKF-RDCN濾波算法

分析定理1和定理2可知，對多維高斯加權(quán)積分的計算是所設(shè)計的改進GF濾波算法實現(xiàn)過程中需要解決的主要問題。由前文敘述可知，針對這一問題可以采用數(shù)值積分的方法來近似計算，例如，斯特林多項式插值、無跡變換以及球徑容積法則等。同其他方法相比，球徑容積法則具有較好的數(shù)值穩(wěn)定性，且精度較高，因而給出基于三階球徑容積法則的改進GF濾波算法的實現(xiàn)形式——CKF-RDCN濾波算法。

3.1 三階球徑容積法則

考慮如下形式的多維高斯加權(quán)積分：

式中：x∈?n，且服從均值為，方差為P的高斯分布。則根據(jù)三階球徑容積法則，式(63)可近似為：

3.2 CKF-RDCN濾波算法

時間預測

其中，ξi,L表示L×2L維容積點集的第i列向量。

量測更新

式(32)、式(33)、式(35)、式(37)、式(39)以及式(40)可近似為：

式中：

其中，Xi,k|k-1為由時間預測的計算結(jié)果k|k-1和Pk|k-1變換后的容積點，即

ξi,n表示n×2n維容積點集的第i列向量。

將式(68)(73)代入定理2中對應各項，即可實現(xiàn)對k時刻的系統(tǒng)狀態(tài)xk的估計。

4 仿真分析

本論文采用非線性濾波領(lǐng)域中常用的測試模型—單變量非靜態(tài)增長模型(UNGM)[30-31]，來驗證所提出的CKF-RDCN濾波算法的有效性。該測試模型含有三角函數(shù)以及平方函數(shù)等強非線性項，其具體形式如下：

式中：vk-1和nk是均值為零，方差分別為Qk-1=4和 Rk=12的相關(guān)高斯白噪聲，其噪聲相關(guān)系數(shù)Sk=0.1, 0.2,…,0.7；εk（k＞1）是Bernoulli分布下的互不相關(guān)的隨機序列，其發(fā)生概率pk=0.1,0.2,…,0.9。設(shè)仿真初始值x0=-0.7，方差初始值P=1，仿真時長T=200。此外，以狀態(tài)估計的均方根誤差(RMSE)，來比較EKF、CKF以及CKF-RDCN等濾波算法的估計性能。RMSE定義如下：

圖1圖3對不同噪聲相關(guān)和觀測時滯情況下濾波算法的估計性能進行了比較。圖1對比了時滯概率相同而噪聲相關(guān)系數(shù)不同情況下的估計結(jié)果。從圖1可知，由于測試模型本身的強非線性，導致了EKF的估計結(jié)果相對于CKF和CKF-RDCN是較差的，且在初始過程等階段出現(xiàn)了幅值較大的尖峰。估計結(jié)果的較大波動性，必然會給實際系統(tǒng)的使用造成損害。CKF由于在處理非線性情況的優(yōu)勢，其估計結(jié)果要好于EKF，然而由于噪聲相關(guān)和觀測時滯情況的引入，其在k=70和k=180等時刻同樣出現(xiàn)了幅值較大的尖峰。對比可知，圖1(a)和圖1(b)中CKF-RDCN的數(shù)值穩(wěn)定性和估計誤差均優(yōu)于CKF濾波算法，且CKFRDCN噪聲相關(guān)系數(shù)較大時的數(shù)值穩(wěn)定性要好于其較小時刻。圖2展示了噪聲相關(guān)系數(shù)相同，而時滯概率不同情況下的估計結(jié)果。與圖1中的情況類似，由于測試模型本身的非線性，導致EKF的估計結(jié)果在初始階段以及k=50和k=100等時刻出現(xiàn)了幅值較大的尖峰。對比估計結(jié)果可知：當pk=0.2時，CKF-RDCN的估計結(jié)果雖然要好于CKF濾波算法，但二者性能之間的差距較小；而當pk取值增大到0.8時，CKF在k=70和k=160等時刻出現(xiàn)尖峰，數(shù)值穩(wěn)定性下降，濾波估計結(jié)果差于CKF-RDCN濾波算法。圖3對比了不同噪聲相關(guān)系數(shù)和不同觀測時滯情況下的濾波器估計結(jié)果，分析可知，不同噪聲相關(guān)系數(shù)和不同觀測時滯情況下，所提出的CKF-RDCN濾波算法其數(shù)值穩(wěn)定性和誤差估計結(jié)果均優(yōu)于EKF濾波算法和CKF濾波算法。此外，從圖1和圖2的估計結(jié)果可知，噪聲相關(guān)系數(shù)或觀測時滯概率中某一項的增大會導致EKF和CKF濾波算法性能的下降，然而圖3(a)和圖3(b)中EKF濾波算法和CKF濾波算法取得估計性能最差的情況并不是在噪聲相關(guān)系數(shù)與觀測時滯概率同為最大的時刻，這說明二者對濾波器性能的影響不是簡單的線性關(guān)系。

圖1 Sk=0.2和Sk=0.7情況下的EKF、CKF以及CKF-RDCN性能比較Fig.1 Comparison on EKF, CKF and CKF-RDCN with Sk=0.2 and Sk=0.7

圖2 pk=0.2和pk=0.8情況下的EKF、CKF以及CKF-RDCN性能比較Fig.2 Comparison on EKF, CKF and CKF-RDCN with pk=0.2 and pk=0.8

圖3 Sk= 0.1, 0.2, ...,0.7和pk= 0.1, 0.2, ...,0.9情況下的EKF、CKF以及CKF-RDCN性能比較Fig.3 Comparison on EKF, CKF and CKF-RDCN with Sk= 0.1, 0.2, ...,0.7 and pk= 0.1, 0.2, ...,0.9

5 結(jié) 論

首先，考慮了具有隨機時滯和異步相關(guān)噪聲系統(tǒng)的狀態(tài)估計問題，針對經(jīng)典GF算法無法解決隨機時滯，以及要求過程噪聲和量測噪聲互不相關(guān)的假設(shè)限制，提出了一種改進的GF算法。分析可知，所提出的改進GF算法是對經(jīng)典GF算法的拓展，經(jīng)典GF算法是改進GF算法在系統(tǒng)無隨機時滯、無異步相關(guān)噪聲情況下的特例。其次，考慮到在改進GF算法的設(shè)計過程中，采用將量測噪聲作為系統(tǒng)狀態(tài)增量的方式可能導致濾波算法數(shù)值穩(wěn)定性下降的問題，給出了其在三階球徑容積法則下的實現(xiàn)形式，以適應高維狀態(tài)估計的需要。最后，通過仿真分析對比EKF算法、CKF算法以及CKF-RDCN算法在隨機時滯和相關(guān)噪聲情況下的狀態(tài)估計性能可知，CKF-RDCN算法具有最優(yōu)的性能表現(xiàn)。此外，同隨機時滯和噪聲相關(guān)等因素相比而言，濾波算法對系統(tǒng)非線性問題的解決是影響估計精度和數(shù)值穩(wěn)定性最主要的因素，然而，對于精度要求較高的系統(tǒng)，在設(shè)計其狀態(tài)估計算法時仍需考慮對隨機時滯和噪聲相關(guān)等因素的解決，以期提供狀態(tài)估計結(jié)果的精度和數(shù)值穩(wěn)定性。

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Improved Gaussian filter algorithm for nonlinear system with random delay and asynchronously correlated noises

YU Han1, SONG Shen-min1, WANG Shuo1, LI Peng2
(1. Center for Control Theory and Guidance Technology, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China; 2. College of Information Engineering, Xiangtan University, Xiangtan 411100, China)

To solve the problem of states estimation with randomly delayed measurements and correlated noises, an improved Gaussian filter(GF) is proposed, and its implementation in high-dimensional system is given, which is by cubature Kalman filters with randomly delay and correlated noises(CKF-RDCN). Firstly, an independent random sequence of Bernoulli distribution is used to describe the phenomena of possible random delay in observation measurements, and the measurement noises are taken as state vectors to estimate the probability density function of the delayed observation. Secondly, the first-order of Stirling’s interpolation is employed to calculate the multi-dimensional integrals with random variables caused by correlated noises. Finally, the proposed CKF-RDCN is deduced from the third-order spherical-radial rule. While the classical GF can be taken as a special form of the proposed novel GF, a general algorithm frame of nonlinear filter can have different implementations based on various approximate methods of probability density functions. Simulation results demonstrate that the CKF-RDCN is more accurate and stable than the extended Kalman filter and CKF in state estimation when with randomly delayed measurements and correlated noises.

nonlinear filter; Gaussian filter; random delay; correlated noises; cubature Kalman filter

V448.133

A

1005-6734(2015)02-0238-10

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2015.02.018

2014-11-29；

2015-03-14

國家自然科學基金（61174037）

于浛（1985—），男，博士研究生，主要研究方向為航天器姿態(tài)確定、非線性濾波以及視覺/慣性組合導航。E-mail：yuhanihit@163.com

聯(lián) 系 人：宋申民（1968—），男，教授，主要研究方向為飛行器導航、制導與控制以及非線性濾波算法。