高中數學中恒成立問題的分析

薛蕊

恒成立的數學問題是有一定難度、綜合性強的題型，是學習中經常遇到的問題，拿到這類問題，我們往往不知道從哪入手，是我們學習中的難點。下面從函數定義域、值域、不等式、立體幾何四大類問題中的恒成立題型作具體剖析，希望能幫助我們提高分析數學問題、解決數學理論和實際應用題的能力。

一、定義域中恒成立

案例1 若函數f（x）= 的定義域為R，則a的取值范圍是什么？

解：∵f（x）= 的定義域為x∈R

∴2x -2ax-a-1≥0恒成立，即x2-2ax-a≥0恒成立.

∴ Δ≤0即（2a）2-4×（-a）≤0，解得-1≤a≤0.

案例2 若函數f（x）=lg（ax2+ax+1）的定義域為實數集R，求a的取值范圍？

解：∵f（x）=lg（ax2+ax+1）的定義域為實數集R

∴ax2+ax+1>0在R上恒成立

∴a=01>0或a>0Δ=a2-4a<0

∴0≤a≤4

二、值域中的恒成立

案例3 若函數f（x）=lg（ax2+ax+1）的值域為實數集R，求a的取值范圍？

解：∵f（x）=lg（ax2+ax+1）的值域為實數集R

∴區間（0，+∞）是函數u=ax2+ax+1的值域的子區間

∴當a=0時，u=1（不合題意）或a>0Δ=a2-4a≥0

∴a≥4

三、不等式中的恒成立問題

案例4 若不等式2x-1+x+2≥a2+ a+2對任意實數x恒成立，求實數a的取值范圍？

解：令f（x）=2x-1+x+2

則，f（x）=-3x-1，x≤-2-x+3，-2

由此可得f（x）min= ，即f（x）min= ≥a2+ a+2，

解不等式得-1≤a≤ 。

案例5 集合A={t|t2-4≤0}，對于滿足集合A的所有實數t，則使不等式x2+tx-t>2x-1恒成立的x的取值范圍是什么？

解：∵A={t|t2-4≤0}，

∴A=[-2，2]，

∵（x-1）t+x2-2x+1>0對t∈A恒成立，

∴f（t）=（x-1）t+x2-2x+1對t∈[-2，2]恒有f（t）>0，

∴f（-2）>0f（2）>0即x2-4x+3>0x2-1>0，

解得x>3或x<1x>1或x<-1

∴x的取值范圍為：x>3或x<-1

四、立體幾何中的恒成立

高中數學中立體幾何內容涉及線與線、線與面、面與面的位置關系，主要是垂直和平行關系的應用。其中不乏有趣味的幾何問題，如圖1所示，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H、N分別是棱C1C、C1D1、D1D、DC、BC的中點，點M在四邊形EFGH及其內部運動，則M只需滿足條件時，就有MN∥平面B1BDD1。

解：連結FH、HN，則FH∥DD1，HN∥BD，

∴FH∥平面B1BDD1，HN∥平面B1BDD1，

∴平面FHN∥平面B1BDD1，

∴當M在線段FH上時，MN？奐平面FHN，

∴MN∥平面B1BDD1.即點M在線段FH上時，就有MN∥平面B1BDD1。

案例6 已知：△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，點E、F分別在線段AC、AD上運動，且 = =λ（0<λ<1）。

求證：在0<λ<1上，對λ取任何值都有：平面BEF⊥平面ABC。

證明：∵AB⊥平面BCD，而CD？奐面BCD，

∴AB⊥CD，∵∠BCD=90°，即BC⊥CD，而AB∩BC=B，

∴CD⊥平面ABC……①

∵ = =λ（0<λ<1）

∴EF∥CD……②

由①②得：EF⊥平面ABC，而EF？奐面BEF

∴0<λ<1對λ取任何值都有：平面BEF⊥平面ABC。

說明：對于線與面的平行，主要是直線與平面無公共點，其中一個判定方法是：如果一條直線在某個平面內，并且這個平面與另外的平面平行，當然有這條直線與另外這個平面無公共點即平行，第一例就是應用此判定方法。第二例用到直線與平面垂直，那么過這條直線的所有平面都與這個平面垂直。實際上，這兒過直線CD或EF的任一平面都與平面ABC垂直。

編輯 李 姣