高速銑削穩定性的不確定性建模及實驗預測*

曹自洋 李 華 殷 振 汪幫富

(蘇州科技學院機械工程學院，江蘇 蘇州 215009)

高速銑削加工是在多齒刀具作用下的非連續切削過程，刀具和工件之間的可再生顫振明顯降低切削效率與工件的加工質量，降低刀具、機床的使用壽命，已經成為阻礙該技術發揮其優勢的主要瓶頸之一［1－2］。因此，研究高速銑削顫振穩定性對切削過程的規劃和控制及加工參數的優化有著非常重要的現實意義。

對于給定的刀具－工件系統，在假定系統動態參數不改變的條件下，銑削顫振穩定性可以通過穩定性葉瓣圖來表征。穩定性葉瓣圖直觀地給出了穩定切削的極限加工區間，從而可以幫助工藝編制人員通過優選工藝參數來避開不穩定的切削區域;或通過改變原有的切削參數組合，將切削點從不穩定區域轉移到穩定區域，從而避免切削顫振的發生［3－4］。目前對高速銑削穩定性的研究多集中于此，但是在建立穩定性模型的時候，現有方法最主要的弊端就是忽略了系統的動態特性，認為諸如固有頻率、阻尼比、切削系數等動態參數是在加工過程中恒定不變。在實際的切削過程中，由于高速加工的主軸轉速很高，系統動態參數隨著加工過程而發生改變，而變化了的動態參數必然會引起穩定性葉瓣圖的變化，從而影響到顫振穩定性的預測精度。Dornfeld［5］和 Altintas［6］的研究表明在高速銑削過程中，動態加工參數不是線性不變的，它們存在非線性特征，這就要求在穩定性建模的時候要考慮到參數的不確定性。高速銑削加工穩定性受銑刀刀尖動態特性和刀具－工件切削系數的影響非常明顯［7］，機床、主軸和刀夾的動態性能會明顯地影響銑刀刀尖的動態特性，尤其是主軸高速旋轉引起的慣性力和離心力對刀尖動態特性的影響更為顯著［8－9］。而工件材料的屬性及其材質均勻性對切削系數會產生明顯的影響，在刀具幾何結構、磨損狀況及刀具－工件之間摩擦作用的影響下，切削系數在銑削加工過程中也是變化的［10］。為了能夠更加精確地預測加工顫振及提高銑削加工的精度和效率，在建立顫振穩定性模型的時候必須要考慮到系統參數不確定性的影響。在考慮加工系統參數變動的最大、最小邊界的情況下，采用棱邊定理和排零準則可以方便地預測系統穩定性［11－13］。

本研究考慮參數不確定性的影響，針對兩自由度高速銑削加工的穩定性預測，應用棱邊定理和排零準則，建立了高速銑削穩定性數學模型。并采用數值分析和銑削實驗相結合的方式，對建立的高速銑削變參數穩定性模型的正確性進行驗證。

1 高速銑削穩定性不確定性建模

1.1 傳統定參數穩定性解析模型

將高速銑削過程簡化為正交的兩自由度彈性、阻尼系統，其動力學模型如圖1所示，其中φ為銑刀刀齒瞬時轉角，v為進給速度。

銑削系統運動方程可以表述為

式中:Mx、My、Cx、Cy、Kx、Ky分別為 X、Y 方向上銑削系統的質量、阻尼和剛度;Fc，x、Fc，y分別為切削力在 X、Y方向上的分量。關于動態切削厚度、切削力的建模已發表在課題組前期的研究論文［14］。

基于建立的切削力模型，得到銑刀刀尖的頻響函數矩陣［φ(iω)］為

式中:φxx(iω)和 φyy(iω)分別為 X、Y 方向的直接頻響函數;φxy(iω)、φyx(iω)為交叉頻響函數。

利用切削力系數和結構傳遞函數，考慮相互垂直的進給方向、法向的自由度，可得主軸轉速Ω為

式中:N是銑刀齒數;n是葉瓣數;ΛR和ΛI分別為系統特征值的實部和虛部。

對于兩維的銑削加工系統，預先給定刀具、工件組合，通過實驗獲得銑削加工系統動態特性函數，最終可以得到穩定切削時的臨界軸向切削深度，同時可以獲得對應的主軸轉速。目前這個模型是在假定系統動態參數恒定不變的基礎上建立起來的。在實際的銑削過程中，系統參數隨加工過程而變化，所以必須要考慮參數不確定性的影響，對該穩定性模型進行改進。

1.2 考慮參數不確定性的穩定性模型

在建立傳統顫振穩定性模型的基礎上，針對動態參數變動區間的最大值、最小值，通過棱邊定理和排零準則對建立的傳統穩定性模型進行改進，提高銑削顫振穩定性的預測精度。

根據棱邊定理，對一個多項式P進行評價，參數極值的各個組合將形成一個多項式簇;在給定的頻率范圍對極值多項式進行評價，就會在復平面形成頂點，也就是多項式的頂點。如果每一對頂點之間的棱邊是穩定的，那么這個系統就被認為是穩定的［15－16］。對于高速銑削加工來說，銑削穩定性模型的特征方程就是系統多項式，隨著動態參數如固有頻率、切削系數在最大、最小邊界之間變動時，系統特征方程就可以表示為極值的多項式方程簇。為了精確建模，我們認為固有頻率包含X、Y兩個方向的值，切削系數則包含徑向和切向的值。

銑削系統多項式P可以表示為

式中:振動頻率f=jωc的時候是穩定性界限的臨界點;ωc是顫振頻率;m是多項式方程的個數。如果僅考慮固有頻率和切削系數兩個不確定參數的話，那么系統方程的個數最多是4個(2m)。

接下來，在給定的系統頻率范圍對每一個特征多項式進行評價，它們在復平面形成的各個頂點之間的連線就形成了棱邊，4條邊就可以組成1個四邊形。由此可見，棱邊就是模型中系統穩定性的邊界。即使各個變化參數的值任意組合，對應在復平面生成的點必將處于邊界之內。因此，如果棱邊是穩定的，那么對應于變參數之間任意組合的系統，也是穩定的。采用排零準則能夠方便地通過幾何方法檢測棱邊的穩定性。依據排零準則，如圖2所示，如果原點在四邊形的外面，那么此特征方程是穩定的;如果原點含在四邊形里面，那么系統就是不穩定的。這種方法也可以推廣應用到復雜時滯系統的穩定性分析［17］。

采用棱邊定理和排零準則，考慮參數不確定性的顫振穩定性建模變成了一個圖形問題。基于定參數穩定性模型進行拓展，變參數穩定性模型的算法流程如圖3所示。

從圖3可以看出，穩定性數學模型的輸入包括刀尖動態特性、切削系數和刀具的直徑等參數，然后在每一個主軸速度點，對應掃描切削深度和顫振頻率。當形成棱邊后，通過仿真程序的棱邊定理算法對已形成棱邊的穩定性進行檢查。如果當前采用的參數確定對應的是穩定的加工狀態，就繼續掃描下一個切削深度值;如果不是穩定的加工狀態，那么對應該點的主軸轉速值，當前切削深度就被標記為穩定加工和非穩定加工的邊界。針對所選主軸速度范圍，重復上述計算和掃描過程就可以得到整個銑削加工顫振穩定性邊界。

我們在研究中考慮切削系數和固有頻率2個動態參數，當設定二者參數值的變化范圍后，計算得到的顫振穩定性邊界與傳統定參數解析法得到的邊界是不同的。二者的不同將通過具體的數值分析及其銑削實驗加以對比驗證。

2 銑削實驗

采用模態分析的方法獲得銑刀刀尖的固有頻率，選定切削刀具－工件組合，通過對實驗測得的切削力進行非線性曲線擬合得到刀具－工件的切削系數。主軸的動態特性變動范圍通過調節其轉速來實現，采用不同的鋁合金材料進行銑削實驗來獲得切削系數的變動量。

2.1 刀尖動態特性

銑刀刀尖的動態特性即銑削加工系統的頻響函數是分析顫振穩定性的先決條件，采用模態實驗分析的方法進行結構動態測試來獲取。模態實驗在自建的三軸銑床上進行，其電主軸的最高轉速為100000 r/min，實驗方案如圖4所示。

模態實驗銑刀采用直徑為4mm的硬質合金2刃平頭立銑刀，螺旋角30°，刀柄的刃長為10mm，加工時刀具懸伸長度為30mm。由于銑刀幾何結構的對稱性，刀尖動態特性假定為在X、Y向是相同的。通過靜模態測試獲得刀尖的模態參數，但是在高轉速的工況下測量刀尖的動態特性在實驗上很難實現，由于刀尖的動態特性受主軸轉速的影響非常大，我們認定刀尖的動態特性變動量等同于主軸模態參數的變動量，而主軸模態參數的變動量可以方便地通過模態測試獲得。

經過測量實驗，獲得的模態參數及其變動量如表1所示。很明顯，模態3就是兩個方向銑刀刀尖的主模態參數值。

表1 銑刀刀尖固有頻率及變動量

2.2 切削系數

切削系數測量實驗在哈斯(Haas Micro)數控機床上進行。采用聲發射傳感器(FC1045S)來監測振動信號，確保在實驗過程中沒有切削顫振的產生。工件材料分別是鋁合金2A11和2B16，刀具是2刃硬質合金平頭立銑刀。切削力的測量采用三向力傳感器(Kistler 9265B)，利用KD1001A加速度傳感器測量工件和測力儀的加速度信號。在主軸速度為30000 r/min的全徑向切深銑削直槽的加工條件下，采用不同進給速度進行加工，并分別測量切削力，然后進行曲線擬合得到切削系數。

式中:Ft、Fr分別是切向力和徑向力;h是切削厚度;Ktc、Krc分別是切向和徑向的切削力力系數;Kte、Kre分別是切向和徑向的刃口力系數。

通過曲線擬合得到的切削系數的平均值及其變動量如表2所示。由于刃口力系數的本質是靜態的，所以它們對顫振不穩定性不構成影響。

表2 切削力系數均值及變動量

至此，固有頻率、切削系數以及它們的不確定性變動范圍都已經確定好了，通過建立的參數不確定性模型進行顫振穩定性極限預測，并與實驗測得的實際加工結果進行對比分析。

3 結果和討論

基于刀尖動態特性和切削系數的實驗結果，按照圖3所示的分析流程，采用30000 ～80000 r/min的主軸轉速，仿真程序重復掃描從100 Hz到3000 Hz的頻率范圍，這個范圍包含了刀具和主軸大部分的頻率信號。基于聲發射傳感器在頻域獲得的數據，對應任意主軸速度、軸向切削深度的組合進行檢測，判斷是否出現加工顫振。由于采用的聲發射傳感器具有很高的帶寬，很容易檢測高頻的顫振信號。

采用傳統定參數模型預測的穩定性葉瓣圖與變參數模型預測結果的對比如圖5所示，加工實驗檢測到的穩定點和顫振點也繪制在圖5中，并與穩定性加工極限進行對比。

從圖5可以看出，變參數穩定性模型的極限曲線位于傳統模型極限曲線的下方，對應傳統定參數模型穩定性極限的一些在理論上穩定的點，在實際的測試結果中卻是不穩定的。而經過改進的變參數穩定性模型數值分析的結果與實驗結果吻合良好，由此也驗證了建立的變參數穩定性分析模型的正確性。

實際上，對于傳統的顫振穩定性預測模型，隨著系統參數值的改變，穩定性葉瓣會相應地移動當前所在的位置;同時傳統的分析模型只針對參數具體的數據點來分析計算，而變參數穩定性模型在計算過程中考慮參數變動范圍內的所有情況。也就是說，采用變參數穩定性模型在計算的時候，雖然結果比較保守，但是能夠保障不確定性參數所有組合的銑削加工穩定性，從而提高了銑削加工精度。

4 結語

在實際高速銑削過程中，系統不確定性參數會影響加工的顫振穩定性。傳統的顫振穩定性模型假定系統動態參數值在加工過程中固定不變，并不能準確地對顫振進行預測。對傳統穩定性模型進行拓展，考慮參數不確定性的變參數模型在分析過程中考慮了動態參數變化的整個區間，能夠精確地對銑削加工穩定性進行預測。在實際運用中棱邊定理和排零準則能夠考慮的變參數并不僅僅是固有頻率和切削系數，它對任意個數變化參數都可以考慮，區別在于實際加工的需求以及計算的復雜程度。

通過模態測試得到系統固有頻率，通過切削力系數辨識實驗得到切削系數，對給定加工系統，采用傳統定參數模型和新型變參數模型分別進行了數值分析，并通過具體銑削加工實驗進行對比分析，驗證了考慮參數不確定性穩定性模型的有效性。

［1］Quintana G，Ciurana J.Chatter in machining processes:a review［J］.International Journal of Machine Tools and Manufacture，2011，51:363－376.

［2］Campomanes M，Altintas Y.An improved time domain simulation for dynamic milling at small radial immersions［J］.Journal of Manufacturing Science and Engineering，2003，125(3):416－422.

［3］Davies M，Pratt J.Stability prediction for low radial immersion milling［J］.Journal of Manufacturing Science and Engineering，2002，124(2):217－225.

［4］Merdol S，Altintas Y.Multi frequency solution of chatter stability for low immersion milling［J］.Journal of Manufacturing Science and Engineering，2004，126(3):459－466.

［5］Dornfeld D，Min S，Takeuchi Y.Recent advances in mechanical micromachining［J］.Annals of the CIRP，2006，55:745－768.

［6］Altintas Y，Weck M.Chatter stability of metal cutting and grinding［J］.Annals of the CIRP，2004，53(2):619 －642.

［7］Afazov S M，Zdebski D.Effects of micro－milling conditions on the cutting forces and process stability ［J］.Journal of Materials Processing Technology，2013，213:671－684.

［8］Movahhedy M R，Mosaddegh P.Prediction of chatter in high speed milling including gyroscopic effects［J］.International Journal of Machine Tools and Manufacture，2006，46(9):996－1001.

［9］Chae J.Development and analysis of the precision micro end milling system［D］.University of Calgary，2006.

［10］Vogler M P，Kapoor S G，DeVor R E.On the modeling and analysis of machining performance in micro end milling:part ii cutting force prediction［J］.Journal of Manufacturing Science and Engineering，2004，126(4):695－705.

［11］Opitz H.Investigation and calculation of the chatter behavior of lathes and milling machines［J］.Annals of the CIRP，1970，18:335 －43.

［12］Fu M Y，Olbrot A W，Polis M P.Robust stability for time－delay system:the edge theorem and graphical tests［J］.IEEE Automatic Control，1989，34(2):13 －20.

［13］Matusu R，Prokop R.Graphical analysis of robust stability for systems with parametric uncertainty:an overview ［J］.Transactions of the Institute of Measurement and Control，2011，33(2):274 －90.

［14］曹自洋，李華，殷振，等.考慮犁切力的微銑削顫振穩定域建模與分析［J］.制造技術與機床，2013(1):132－136.

［15］Duncan G S，Kurdi M.Uncertainty propagation for selected analytical milling stability limit analyses［J］.Transactions of NAMRI/SME，2006，34:17－24.

［16］Park S S，Malekian M.Mechanistic modeling and accurate measurement of micro end milling forces［J］.Annals of the CIRP，2009，58:49－52.

［17］Bhattacharyya S P，Chapellat H.Robust control－ the parametric approach［M］.Prentice Hall:Upper Saddle River，1995.