基于自憶性原理的多變量MGM(1,m)耦合系統(tǒng)模型構(gòu)建及應(yīng)用

郭曉君，劉思峰，楊英杰

(1. 南通大學(xué)理學(xué)院，江蘇 南通 226019；2. 南京航空航天大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，江蘇 南京 211106；

基于自憶性原理的多變量MGM(1,m)耦合系統(tǒng)模型構(gòu)建及應(yīng)用

郭曉君1,2，劉思峰2,3，楊英杰3

(1. 南通大學(xué)理學(xué)院，江蘇 南通 226019；2. 南京航空航天大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，江蘇 南京 211106；

3. 英國(guó)De Montfort大學(xué)計(jì)算智能研究中心，萊斯特 LE1 9BH)

針對(duì)小樣本條件下具有相互制約關(guān)系的多變量系統(tǒng)，本文提出了一種新穎的多變量MGM(1,m)自憶性耦合系統(tǒng)模型，用來(lái)統(tǒng)一描述系統(tǒng)各變量間關(guān)系并且提高其建模精度。該模型通過(guò)有機(jī)耦合動(dòng)力系統(tǒng)自憶性原理與傳統(tǒng)MGM(1,m)模型，綜合了兩者各自的優(yōu)勢(shì)。系統(tǒng)的自憶性方程包含多個(gè)時(shí)次初始場(chǎng)而不僅是單個(gè)時(shí)次初始場(chǎng)，從而克服了傳統(tǒng)灰色預(yù)測(cè)模型對(duì)初值比較敏感的弱點(diǎn)。對(duì)基坑變形預(yù)測(cè)的實(shí)例研究結(jié)果表明，所構(gòu)建模型能夠充分利用系統(tǒng)的多個(gè)歷史時(shí)次資料，可以緊密捕捉系統(tǒng)演化趨勢(shì)，模擬預(yù)測(cè)精度顯著高于傳統(tǒng)多變量MGM(1,m)模型。研究結(jié)果表明，新模型豐富和完善了灰色預(yù)測(cè)理論，值得推廣應(yīng)用于其他類(lèi)似的多變量系統(tǒng)。

多變量系統(tǒng)；MGM(1,m)模型；自憶性原理；耦合系統(tǒng)；基坑變形

1 引言

自鄧聚龍教授創(chuàng)立灰色系統(tǒng)理論[1]以來(lái)，在社會(huì)經(jīng)濟(jì)、環(huán)境能源、工程科研等眾多研究領(lǐng)域得到了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。灰色預(yù)測(cè)模型是該理論的核心體系，同時(shí)也是預(yù)測(cè)理論方法中的一個(gè)重要組成部分，其通過(guò)原始序列的累加生成，挖掘數(shù)據(jù)序列的內(nèi)在規(guī)律，構(gòu)建具有部分差分、部分微分特征的方程，用以揭示系統(tǒng)的未來(lái)發(fā)展趨勢(shì)。其中，GM(1,1)模型[2-3]是灰色系統(tǒng)預(yù)測(cè)理論的基礎(chǔ)和核心，它通過(guò)單變量的一階微分方程模型揭示其內(nèi)在發(fā)展規(guī)律，用于單一時(shí)間序列的建模和預(yù)測(cè)。眾多學(xué)者在GM(1,1)模型的特性研究、背景值改進(jìn)、時(shí)間響應(yīng)式優(yōu)化、擴(kuò)展研究等方面開(kāi)展了系統(tǒng)深入的工作[4-8]，極大地推動(dòng)了GM(1,1)模型的發(fā)展。

隨著灰色預(yù)測(cè)模型應(yīng)用范圍的不斷擴(kuò)大，尤其在社會(huì)經(jīng)濟(jì)、工程科學(xué)等實(shí)際問(wèn)題中，各變量之間往往是相互影響、相互制約的，而多變量MGM(1,m)模型[9]從系統(tǒng)的角度對(duì)各變量進(jìn)行統(tǒng)一描述，能夠較好地反映系統(tǒng)中各變量之間相互影響、相互制約的關(guān)系。自多變量MGM(1,m)模型提出以來(lái)，許多學(xué)者對(duì)該模型進(jìn)行了深入研究，李小霞等[10]、崔立志等[11]和熊萍萍等[12]對(duì)模型進(jìn)行了背景值等方面的改進(jìn)并應(yīng)用于實(shí)際的社會(huì)、經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中進(jìn)行預(yù)測(cè)，熊萍萍等[13]將模型擴(kuò)展到非等間距原始數(shù)據(jù)序列的模擬預(yù)測(cè)問(wèn)題，熊萍萍等[14]則對(duì)多變量MGM(1,m)模型進(jìn)行了特性研究。

在反演建模的基礎(chǔ)上，Cao Hongxing[15]首次提出了動(dòng)力系統(tǒng)自憶性原理，其作為解決非線(xiàn)性系統(tǒng)的一種統(tǒng)計(jì)-動(dòng)力方法，是決定論和不確定論兩種方法融合在數(shù)學(xué)上的實(shí)現(xiàn)。該原理通過(guò)實(shí)際觀(guān)測(cè)資料反演較為理想的非線(xiàn)性動(dòng)力模型，既可以克服微分方程初值解法只用一個(gè)初值進(jìn)行預(yù)測(cè)帶來(lái)的“對(duì)初值極其敏感”的弱點(diǎn)，又克服了以往用歷史資料進(jìn)行統(tǒng)計(jì)而與機(jī)理性方程無(wú)關(guān)的局限性。該方法是對(duì)傳統(tǒng)初值問(wèn)題數(shù)值解和統(tǒng)計(jì)方法的一個(gè)突破，已被逐漸應(yīng)用到氣象水文、工程科學(xué)等多個(gè)領(lǐng)域的時(shí)間序列預(yù)測(cè)中[16-17]。近年來(lái)，部分學(xué)者考慮在一些簡(jiǎn)單的灰色預(yù)測(cè)模型中引入自憶性原理，已進(jìn)行了一些有意義的初步嘗試，取得了較滿(mǎn)意的建模結(jié)果[18-20]。

本文在已有工作的基礎(chǔ)上展開(kāi)進(jìn)一步研究，針對(duì)社會(huì)經(jīng)濟(jì)、工程科學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn)的相互影響的多變量原始數(shù)據(jù)序列，以傳統(tǒng)多變量MGM(1,m)模型為基礎(chǔ)，結(jié)合動(dòng)力系統(tǒng)自憶性原理，構(gòu)建基于自憶性原理的多變量MGM(1,m)耦合系統(tǒng)模型，并通過(guò)應(yīng)用實(shí)例對(duì)基坑變形值進(jìn)行模擬和預(yù)測(cè)，分析MGM(1,m)自憶性耦合系統(tǒng)模型相比傳統(tǒng)MGM(1,m)模型的優(yōu)越性，以期豐富和完善灰色預(yù)測(cè)理論、拓展其應(yīng)用范圍。

2 傳統(tǒng)多變量MGM(1,m)模型

2.1 多變量MGM(1,m)模型的基本方程

…,n時(shí)刻的觀(guān)測(cè)值序列，即：

(1)

j=1,2,…,m

(2)

j=1,2,…,m，i=1,2,…,n

j=1,2,…,m，k=2,3,…,n

(3)

j=1,2,…,m，i=1,2,…,n

為多變量MGM(1,m)模型的基本形式，稱(chēng)：

(4)

為MGM(1,m)模型的白化方程組，記:

則式(3)可簡(jiǎn)記為：

X(0)(k)+AZ(1)(k)=B

(5)

式(4)可簡(jiǎn)記為

(6)

F(X,t)=-AX(1)(t)+B

(7)

2.2 多變量MGM(1,m)模型的基本特性

1)MGM(1,m)模型X(0)(k)+AZ(1)(k)=B的最小二乘估計(jì)參數(shù)序列滿(mǎn)足:

(8)

其中：

X(1)(t)=e-At(X(1)(1)-A-1B)+A-1B

(9)

3)MGM(1,m)模型X(0)(k)+AZ(1)(k)=B的時(shí)間響應(yīng)式可由式(9)離散化得到，即:

(10)

k=2,3,…,n

4)還原式為:

(11)

k=2,3,…,n

3 多變量MGM(1,m)自憶性耦合系統(tǒng)模型構(gòu)建機(jī)理研究

動(dòng)力系統(tǒng)自憶性原理，基于客觀(guān)世界中自然和社會(huì)現(xiàn)象演變的不可逆特性，強(qiáng)調(diào)系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)的前后承續(xù)關(guān)系，重點(diǎn)研究系統(tǒng)的自身演化規(guī)律。該原理通過(guò)定義Hilbert空間中的內(nèi)積，引入憶及歷史多時(shí)次資料的記憶函數(shù)，導(dǎo)出了具差分-積分形式的自憶性方程。由于系統(tǒng)自憶性方程以包含多時(shí)點(diǎn)初始場(chǎng)來(lái)代替單時(shí)點(diǎn)初始場(chǎng)，因此克服了原始系統(tǒng)動(dòng)力微分方程對(duì)初值比較敏感的弱點(diǎn)。這種自記憶模式的優(yōu)勢(shì)在于，既可以把動(dòng)力學(xué)計(jì)算與用歷史數(shù)據(jù)估計(jì)參數(shù)結(jié)合起來(lái)，又可以把統(tǒng)計(jì)學(xué)中從過(guò)去觀(guān)測(cè)資料中提取預(yù)報(bào)信息的長(zhǎng)處吸收進(jìn)來(lái)，因此對(duì)歷史多個(gè)時(shí)次的觀(guān)測(cè)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)具有良好的記憶功能。

3.1 自憶性預(yù)測(cè)方程的離散形式

(12)

式中x為變量，λ為參數(shù)，t為時(shí)間，F(xiàn)(x,λ,t)為動(dòng)力核。令記憶函數(shù)為β(t)，同時(shí)Hilbert空間的內(nèi)積運(yùn)算定義為:

(13)

設(shè)某時(shí)間集合T={t-p,t-p+1,…,t-1,t0,t}，其中t-p,t-p+1,…,t-1,t0表示若干歷史觀(guān)測(cè)時(shí)點(diǎn)，t0表示預(yù)測(cè)初始時(shí)點(diǎn)，t表示未來(lái)預(yù)測(cè)時(shí)點(diǎn)，p表示回溯階，也即t0前的時(shí)點(diǎn)個(gè)數(shù)，同時(shí)假設(shè)時(shí)間樣本間隔為Δt。通過(guò)內(nèi)積運(yùn)算(13)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力方程(12)進(jìn)行變換，假設(shè)變量x與記憶函數(shù)β(t)連續(xù)、可微且可積，則可得:

即:

(14)

對(duì)式(14)的等式左邊所有積分項(xiàng)分別運(yùn)用分部積分法和微積分中值定理，同時(shí)合并消除同類(lèi)項(xiàng)，從而推導(dǎo)得一個(gè)差分-積分形式的自憶性預(yù)測(cè)方程：

(15)

=S1+S2

(16)

稱(chēng)其為系統(tǒng)回溯p階的自憶性方程。方程右端第1項(xiàng)S1稱(chēng)為自憶項(xiàng)，表示p+1個(gè)時(shí)次的歷史量測(cè)往值對(duì)預(yù)測(cè)變量xt的貢獻(xiàn)值；第2項(xiàng)S2稱(chēng)為他效項(xiàng)，表示動(dòng)力核源函數(shù)F(x,λ,t)在回溯時(shí)段[t-p,t0]內(nèi)對(duì)xt的貢獻(xiàn)值。

(17)

取等距時(shí)次間隔，令Δti=ti+1-ti=1，且將βt和βi合寫(xiě)，則得到離散形式的自憶性預(yù)測(cè)方程：

(18)

式中αi=(βi+1-βi)/βt,θi=βi/βt，αi和θi稱(chēng)為記憶系數(shù)，動(dòng)力核源函數(shù)F(x,λ,t)由多變量MGM(1,m)模型的系統(tǒng)動(dòng)力方程式(8)確定。

若取等間隔采樣Δt，即ti=t0+iΔt，其中i=-p,-p+1,…,-1,0,1，則自憶性方程的離散形式可類(lèi)似得到，此處不再贅述。

3.2 自憶性預(yù)測(cè)方程的求解

設(shè)有L個(gè)時(shí)次的歷史數(shù)據(jù)資料，且滿(mǎn)足L>p，可用最小二乘法求解記憶系數(shù)αi和θi。

定理2[15]記:

則離散形式的自憶性預(yù)測(cè)方程(18)可表示成矩陣形式:

Xt=YA+ΓΘ

(19)

Xt=ZW

從而得記憶系數(shù)矩陣W的最小二乘估計(jì):

W=(ZTZ)-1ZTXt

(20)

(21)

將k時(shí)點(diǎn)的相對(duì)誤差記為RPE(k)，其公式為:

(22)

則所有時(shí)點(diǎn)的平均相對(duì)誤差記為ARPE，其公式為:

(23)

可由k時(shí)點(diǎn)相對(duì)誤差RPE(k)及系統(tǒng)平均相對(duì)誤差A(yù)RPE來(lái)進(jìn)行模擬預(yù)測(cè)的誤差分析和精度檢驗(yàn)。

4 應(yīng)用實(shí)例

工程建設(shè)中常見(jiàn)的基坑變形現(xiàn)象是引起深基坑工程事故的主要因素，根據(jù)實(shí)測(cè)信息預(yù)測(cè)下一階段施工中可能出現(xiàn)的新動(dòng)態(tài)，可以為優(yōu)化設(shè)計(jì)和合理施工提供可靠信息。而基坑變形是一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)變化過(guò)程，不能只對(duì)單點(diǎn)進(jìn)行局部分析研究，應(yīng)該充分利用多個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)之間的相關(guān)信息進(jìn)行系統(tǒng)分析。同時(shí)由于工程建設(shè)中有效監(jiān)測(cè)信息容易缺失等不確定因素，容易導(dǎo)致變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)具有典型的小樣本、貧信息的灰色系統(tǒng)特征。

表1 3組基坑變形的原始數(shù)據(jù)序列值(mm)

新構(gòu)建的多變量MGM(1,m) 自憶性耦合系統(tǒng)模型，綜合了自憶性原理和MGM(1,m)模型各自的優(yōu)勢(shì)。一方面，新模型從系統(tǒng)的角度對(duì)各變量進(jìn)行統(tǒng)一描述，能夠較好地反映系統(tǒng)中各變量之間相互影響、相互制約的關(guān)系；另一方面，新模型以多時(shí)點(diǎn)初始場(chǎng)來(lái)代替單時(shí)點(diǎn)初始場(chǎng)，可以克服傳統(tǒng)MGM(1,m)模型對(duì)初值較敏感的弱點(diǎn)，充分挖掘歷史資料提供的信息。因此，本文建立多變量MGM(1,3)自憶性耦合系統(tǒng)模型對(duì)基坑變形進(jìn)行建模預(yù)測(cè)，并與傳統(tǒng)多變量MGM(1,3)模型進(jìn)行對(duì)比，比較兩類(lèi)模型的模擬預(yù)測(cè)精度，從而驗(yàn)證新模型的可行性與有效性，以及針對(duì)相互影響、相互制約的多變量系統(tǒng)建模預(yù)測(cè)問(wèn)題的優(yōu)越性。

在建立多變量MGM(1,3)自憶性耦合系統(tǒng)模型時(shí)，取表1中3組基坑變形原始數(shù)據(jù)序列的前7個(gè)周期的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)作為建模樣本，后2個(gè)周期的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)作為預(yù)測(cè)樣本，并進(jìn)行模擬預(yù)測(cè)精度檢驗(yàn)。根據(jù)相應(yīng)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)建立的傳統(tǒng)多變量MGM(1,3)模型的白化微分方程組為

(24)

通過(guò)作離散化處理，并用最小二乘法求記憶系數(shù)，得到回溯階p=1的自憶性方程組：

(25)

其中記憶系數(shù)矩陣為:

用上述建立的多變量MGM(1,3)自憶性耦合系統(tǒng)模型，對(duì)表1中的3組基坑變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行模擬和預(yù)測(cè)計(jì)算及誤差檢驗(yàn)，具體模擬和預(yù)測(cè)結(jié)果及誤差分析見(jiàn)表2，其中由于回溯階的原因，多變量MGM(1,3)自憶性耦合系統(tǒng)模型中的前2個(gè)時(shí)點(diǎn)沒(méi)有模擬值。同時(shí)根據(jù)熊萍萍等[12]，傳統(tǒng)多變量MGM(1,3)模型對(duì)3組基坑變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)前7個(gè)時(shí)點(diǎn)模擬的平均相對(duì)誤差結(jié)果，以及后2個(gè)時(shí)點(diǎn)的預(yù)測(cè)值及相對(duì)誤差結(jié)果[12]見(jiàn)表3。

表2 多變量MGM(1,3)自憶性耦合系統(tǒng)模型對(duì)的模擬和預(yù)測(cè)值及相對(duì)誤差

表3 傳統(tǒng)多變量MGM(1,3)模型對(duì)的預(yù)測(cè)值及相對(duì)誤差

由表2～3關(guān)于3組基坑變形值的模擬和預(yù)測(cè)計(jì)算結(jié)果及誤差對(duì)比可知，傳統(tǒng)多變量MGM(1,3)模型進(jìn)行模擬計(jì)算的平均相對(duì)誤差(ARPE)分別為8.68%、8.65%和8.62%；單步滾動(dòng)預(yù)測(cè)相對(duì)誤差分別為1.77%、2.07%和2.00%，兩步滾動(dòng)預(yù)測(cè)相對(duì)誤差分別為2.83%、0.76%和0.94%。而多變量MGM(1,3) 自憶性耦合系統(tǒng)模型中進(jìn)行模擬計(jì)算的平均相對(duì)誤差(ARPE)相應(yīng)地大幅降低至1.57%、1.74%和2.03%；同時(shí)單步滾動(dòng)預(yù)測(cè)相對(duì)誤差相應(yīng)地顯著降低為1.34%、0.81%和0.75%，兩步滾動(dòng)預(yù)測(cè)相對(duì)誤差也相應(yīng)地降低為0.76%、1.12%和0.82%。

綜合比較分析可知，本文提出的多變量MGM(1,m)自憶性耦合系統(tǒng)模型的模擬與預(yù)測(cè)精度得到了顯著提升，相比傳統(tǒng)多變量MGM(1,m)模型更好地捕捉了原始數(shù)據(jù)序列的整體發(fā)展和個(gè)體變化趨勢(shì)。同時(shí)，新模型可以充分考慮各變量間的相關(guān)性，能夠反映基坑變形系統(tǒng)的整體發(fā)展規(guī)律，自憶性技術(shù)則有助于進(jìn)一步降低傳統(tǒng)MGM(1,m)模型的建模誤差。其原因是新模型通過(guò)引進(jìn)過(guò)去時(shí)次資料的記憶函數(shù)，導(dǎo)出包含多個(gè)時(shí)次初始場(chǎng)而不僅是一個(gè)初始場(chǎng)的自憶性方程，再作進(jìn)一步模擬預(yù)測(cè)，克服了傳統(tǒng)MGM(1,m)模型只用一個(gè)初值進(jìn)行預(yù)測(cè)帶來(lái)的對(duì)初值比較敏感的局限性。因此，我們應(yīng)充分利用系統(tǒng)多個(gè)時(shí)刻的歷史量測(cè)往值，同時(shí)根據(jù)原始數(shù)據(jù)序列的自身特性構(gòu)建相應(yīng)的預(yù)測(cè)模型。

5 結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)社會(huì)經(jīng)濟(jì)、工程科學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn)的相互影響、相互制約的多變量原始數(shù)據(jù)序列，研究了在有限數(shù)據(jù)情形下的多變量系統(tǒng)預(yù)測(cè)問(wèn)題。多變量MGM(1,m)模型可以克服在小樣本量情形下單變量模型中局部分析的不足，并綜合考慮多變量之間的相關(guān)信息，實(shí)現(xiàn)對(duì)多變量系統(tǒng)的整體預(yù)測(cè)。為了進(jìn)一步提高預(yù)測(cè)精度，將動(dòng)力系統(tǒng)自憶性原理引入多變量MGM(1,m)模型，構(gòu)建了多變量MGM(1,m)自憶性耦合系統(tǒng)模型。對(duì)基坑變形的實(shí)例研究表明，所提出的耦合系統(tǒng)模型能夠充分利用系統(tǒng)的多個(gè)歷史時(shí)次資料，可以緊密捕捉系統(tǒng)演化趨勢(shì)，顯示出融合自憶性原理提高模擬預(yù)測(cè)精度的能力和優(yōu)越性。

因此，多變量MGM(1,m)自憶性耦合系統(tǒng)模型，適用于小樣本條件下相互影響、相互制約的多變量系統(tǒng)建模預(yù)測(cè)問(wèn)題，值得推廣應(yīng)用于社會(huì)經(jīng)濟(jì)、工程科學(xué)等領(lǐng)域其他類(lèi)似的多變量系統(tǒng)，具有廣闊的研究背景和應(yīng)用空間。如何將其他的優(yōu)化技術(shù)與自憶性原理相結(jié)合，來(lái)進(jìn)一步提高多變量系統(tǒng)中的預(yù)測(cè)精度和穩(wěn)定性，是下一步討論的方向。同時(shí)，是否可以借助某種智能優(yōu)化算法，來(lái)找到一種理想的最優(yōu)回溯階算法，需要作進(jìn)一步探索。此外，隨著時(shí)間推移，不斷有新的數(shù)據(jù)逐漸補(bǔ)充進(jìn)多變量系統(tǒng)，可利用灰色新信息模型或者新陳代謝模型進(jìn)行修正，以減少預(yù)測(cè)誤差、提高預(yù)測(cè)精度。

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Construction and Application of Multi-variable MGM(1,m) Coupled System Model Based on Self-memory Principle

GUO Xiao-jun1,2，LIU Si-feng2,3，YANG Ying-jie3

(1. School of Science, Nantong University, Nantong 226019, China;2. College of Economics and Management, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 211106, China;3.Centre for Computational Intelligence, De Montfort University, Leicester LE1 9BH, UK)

A novel multi-variable MGM(1,m) self-memory coupled system model is presented for use in multi-variable systems with interactional relationship under the condition of small sample size. The proposed model can uniformly describe the relationships among system variables and improve the modeling accuracy. The model combines the advantages of the self-memory principle of dynamic system and traditional MGM(1,m) model through coupling of the above two prediction methods. The weakness of the traditional grey prediction model, i.e., being sensitive to initial value, can be overcome by using multi-time-point initial field instead of only single-time-point initial field in the system’s self-memorization equation. As shown in the case study of foundation pit deformation prediction, the novel model can take full advantage of the system’s multi-time historical data and accurately predict the system′s evolutionary trend. And it prominently possesses higher accuracy of simulation and prediction than the traditional multi-variable MGM(1,m) model. The results show that the proposed model enriches and perfects grey prediction theory, and can be applied to other similar multi-variable engineering systems.

multi-variable system; MGM(1,m) model; self-memory principle; coupled system; foundation pit deformation

2013-08-09；

2014-07-23

歐盟第7研究框架瑪麗 居里國(guó)際人才引進(jìn)計(jì)劃Fellow項(xiàng)目(FP7-PIIF-GA-2013-629051)；國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(71271226，71363046,71401051,71503103)；國(guó)家社會(huì)科學(xué)基金重點(diǎn)資助項(xiàng)目(12AZD102)；江蘇省社會(huì)科學(xué)基金資助項(xiàng)目(14GLC008)；南通市科技計(jì)劃資助項(xiàng)目(HS2013026)

郭曉君(1978-)，男(漢族)，江蘇南通人，南通大學(xué)理學(xué)院副教授，博士研究生，研究方向：灰色系統(tǒng)理論、系統(tǒng)工程.

1003-207(2015)11-0112-07

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2015.11.014

N941.5

A