網上拍賣銷售與逆向拍賣采購下的庫存管理

劉樹人，唐 沛， 黃穎娜

(1. 湘潭大學商學院，湖南 湘潭 411105；2. 湘潭大學數學與計算科學學院，湖南 湘潭 411105)

網上拍賣銷售與逆向拍賣采購下的庫存管理

劉樹人1，唐 沛2， 黃穎娜2

(1. 湘潭大學商學院，湖南 湘潭 411105；2. 湘潭大學數學與計算科學學院，湖南 湘潭 411105)

以電子商務為背景研究網上拍賣銷售與逆向拍賣采購下的庫存管理。在該問題中，零售商一方面利用網上拍賣銷售產品，另一方面利用逆向拍賣進行采購。對于單階段情形，證明網上拍賣下零售商的期望收益函數是采購量的嚴格遞增的凹函數，從而得到零售商的最優采購策略和供應商的最優投標策略。對于多階段情形，利用馬爾可夫決策過程理論建立該問題的最優控制模型，得到零售商的最優采購策略和供應商的貝葉斯-納什均衡投標策略均與基本庫存策略相類似。

庫存管理；網上拍賣；逆向拍賣；馬爾可夫決策過程

1 引言

隨著互聯網和信息技術的發展，電子商務得到了飛速發展和廣泛應用，而網上拍賣是電子商務中最成功的一種形式。網上拍賣是拍賣的一種特殊類型，即利用互聯網舉辦拍賣，在網上公開準備出售商品或服務的一些信息，通過競爭投標的方式將它出售給出價最高的投標者。其實質是以競爭價格為核心，建立買者和賣者之間的交流與互動機制，由買賣雙方共同確定商品或服務的成交價格與數量，從而達到均衡的一種市場經濟過程。網上拍賣為買賣雙方提供了具有較低交易成本的平臺，強大的列名功能和搜索技術為特定類別的拍賣品產生了巨大的流動市場。根據網上拍賣的特性，例如，顧客群廣、交易成本低等，許多大中型商家，比如戴爾、沃爾瑪山姆會員店等，都增添了網上拍賣這種新型銷售方式。另一方面，在采購方法上，逆向拍賣技術是一種革命性的創新。網上逆向拍賣是發生在采購商和一群事先通過資格審查的供應商之間的在線實時動態拍賣。采購商對商品或服務的設計、數量、質量、配送和相關條款進行定義，供應商運用特定軟件在預先設定的時間區間內通過互聯網在線投標，異地同時反復競價，以期最終獲得采購合同。網上逆向拍賣由于能有效降低采購價格，為企業采購帶來相當可觀的成本節約，從而逐步引起實業界和學術界的廣泛關注。正如Tunay和Wu Qiong[1]所指出的，現在許多大中型企業都利用網上逆向拍賣來采購所需的原材料或服務。2007年，Sun公司通過逆向拍賣確定的采購合同價值高達27億美元，占到其當年采購預算的百分之七十。沃爾瑪山姆會員店、戴爾、通用電氣等正在擴大利用網上逆向拍賣進行采購。基于沃爾瑪山姆會員店和戴爾的商業模式，即它們一方面利用網上拍賣銷售產品，另一方面利用逆向拍賣進行采購，本文研究聯合網上拍賣銷售與逆向拍賣采購下的庫存管理問題。

與本文庫存管理問題相關的工作涉及兩個方面。一是利用拍賣機制銷售下的庫存管理。van Ryzin 和Vulcano[2]是第一篇考慮庫存與拍賣聯合決策的論文。該文利用馬爾可夫決策過程研究了無限階段折扣準則和平均準則下的最優拍賣與訂購，得到基本庫存保留價格拍賣策略(Base-stock Reserve-price-auction Policy, BSRA)，并提出了修正的一級或二級價格拍賣機制。進一步地， 在van Ryzin和Vulcano[2]的基礎上，Huh 和Janakiraman[3]考慮了訂購時有固定訂購費用的情形, 利用Huh和Yanakiraman[4]提出的統一性條件證明了當銷售通過拍賣實現時商家的最優訂購策略是(s,S)策略。LiuShuren等[5]也研究了一類網上拍賣下有固定訂購費用的庫存控制問題，在一定的條件下得到商家的最優訂購策略是(s,S)策略。另一類相關文獻研究的是逆向拍賣采購下的庫存管理。ChenFangruo[6]研究了一個零售商在有多個潛在供應商條件下的采購問題，這些供應商關于她們的生產成本具有私有信息。為了實現最優采購，零售商的決策是首先確定一個采購合同，然后供應商投標，在數量拍賣(QuantityAuction)中供應商投標數量，而在供貨合同拍賣(SupplyContractAuction)中供應商投標一次性的費用，最后通過拍賣方式實現價格發現(成交價)，確定生產成本最低的供應商為獲勝者，并由該供應商確定最優的采購量并傳遞給零售商。進一步地，該文指出供貨合同拍賣能很好地解釋當前零售業中流行的進場費(SlottingAllowance)和供應商管理庫存(Vendor-managedInventory)兩種現象。LiCuihong和Scheller-Wolf[7]研究了風險分配下僅基于價格的推式或拉式合同(PushorPullContract)拍賣。Gallien和Wein[8]研究了供應商有容量約束下買者的采購拍賣問題。Chaturvedi和Martinez-de-Albeniz[9]研究了存在供應風險情形下的最優采購拍賣。姚升保[10]研究了基于冪效用函數的多屬性采購拍賣。

因此，本文在ChenFangruo[6]的基礎上進一步研究聯合網上拍賣銷售與逆向拍賣采購下的庫存管理問題。在該問題中，零售商一方面利用網上拍賣銷售產品，另一方面利用逆向拍賣進行采購。對于單階段情形，證明網上拍賣下零售商的期望收益函數是采購量的嚴格遞增的凹函數，從而得到其最優的采購策略。對于多階段情形，利用馬爾可夫決策過程理論建立該問題的最優控制模型，得到零售商的最優采購策略和供應商的貝葉斯-納什均衡投標策略均與基本庫存策略相類似。

2 單階段網上拍賣銷售與逆向拍賣采購下的庫存管理

首先介紹沃爾瑪山姆會員店的網上拍賣銷售與逆向拍賣采購的運作流程(Auctions.samsclub.com)。在網上逆向拍賣采購方面，沃爾瑪山姆會員店首先對供應商的資格進行預審，然后發布競標書(采購合同)，事先約定競價條件；經過資格預審合格的供應商，按照規定的時間被安排登錄到逆向拍賣平臺開始與對手競爭，可以在規定的競價過程中充分地進行競爭性報價；競價時間截止時，通常報價最低者獲得采購合同。在網上拍賣銷售方面，顧客首先在沃爾瑪山姆會員店網站注冊一個帳戶；網站設置顧客的賬戶的具體信息,包括山姆俱樂部會員號碼。然后顧客登錄到其帳戶，投標自己想購買的物品。顧客通過點擊“出價”按鈕提交自己的出價，可以在規定的競價過程中充分地進行競爭性出價。拍賣結束時，網站根據拍賣機制確定物品的分配和支付規則。

假設零售商的采購量為Q，其相應的期望收益函數為r(Q)(不包括采購費用)。由ChenFangruo[6]可知，如果能夠證明r(Q)是嚴格遞增的凹函數，那么ChenFangruo[6]中的最優拍賣機制對這里的單階段聯合網上拍賣銷售與逆向拍賣采購下的庫存管理問題也成立。因此，下面將證明當需求通過網上拍賣實現時零售商的期望收益函數r(Q)為嚴格遞增的凹函數。

2.1 單階段網上拍賣銷售下的收益函數及其性質

近年來，隨著互聯網和信息技術的發展，許多大中型商家也都增添了網上拍賣這種新型銷售方式；由于產品不具有唯一性，商家采用的拍賣方式大都屬于同質多物品拍賣。眾所周知，對于同質多物品拍賣有兩種主要的機制：歧視性拍賣(Discriminatory Auction，DA)與同一價格拍賣(Uniform Price Auction，UPA)。在每個競買者最多只能購買一個單位(即單位需求)的情形下，DA 拍賣和UPA 拍賣可被視為一級價格密封拍賣與二級價格密封拍賣在多物品拍賣中的推廣。 由同質多物品拍賣的收益等價定理，在DA 拍賣和UPA 拍賣兩種機制下商家將得到相同的期望收益。因此，本文主要考慮多單位同一價格拍賣，注意到在同一價格拍賣下顧客以自己對商品的真實估值作為報價。下面考慮商家進行一階段的同質多物品網上拍賣。

在拍賣開始時商家提供多單位的同質產品，同時他還會為拍賣品制定一個保留價v以防止顧客報低價、抵御投標者之間的合謀行為并保護自己的最低收益。因此當所有顧客的報價均低于這個保留價時, 商家不予出售物品。由前所述，對于該多物品拍賣有歧視性拍賣和同一價格拍賣兩種主要的機制。在歧視性拍賣下，若商家提供拍賣的產品是s，而每一位顧客最多只能買一件商品，那么報價最高且超過保留價的前s位獲得商品, 并以自己的報價支付；而在同一價格拍賣下報價最高且超過保留價的前s位獲得商品，但支付價格為保留價v和第s+1位報價兩者中的最大者。這里如果沒有第s+1位報價者，則令第s+1位的報價為零。

假定顧客到達數N的概率函數為g(n)。首先計算“一階段拍賣到達的顧客數中恰好有m個投標者的報價大于等于商家的保留價v”這一事件發生的概率qm，易知:

(1)

(2)

假定在一次拍賣中有m>s個投標者參與拍賣，在同一價格拍賣下這m個投標者以自己對商品的真實估值進行報價，分別記為v1,v2,…,vm， 故報價相互獨立且服從概率密度wv(.)，其逆序統計量分別記為v(1)≥v(2)≥…≥v(m)。根據同一價格拍賣規則，具有私有值為v(1)≥v(2)≥…≥v(s)的顧客拍得s件產品，她們的支付均為第一個失去標的拍賣者的報價，即逆序統計量v(s+1)。因此，期望支付價格為:

(3)

其中r(0)=0。

證明見附錄A。

2.2 單階段網上拍賣銷售與逆向拍賣采購下的庫存管理

由定理1可知，如果零售商的采購量為Q并且全部提供到網上拍賣，那么其相應的期望收益函數為r(Q)(不包括采購費用) 是Q的嚴格遞增的凹函數。故由文[6]可知此時零售商的期望利潤函數為:

3 多階段網上拍賣銷售與逆向拍賣采購下的庫存管理

在數量拍賣機制下，每階段中的運作模式為：期初，零售商觀察到庫存水平并決定是否采購，若采購，則確定一個采購合同，然后各供應商投標愿意供應/生產的數量，通過拍賣方式實現價格發現(成交價)，即確定投標數量最多(從而也是邊際生產成本最低)的供應商為獲勝者，由該供應商確定采購量并傳遞給零售商(該量亦可看作由零售商和獲勝的供應商共同確定)。具體地，對于第t階段，事件發生的順序如下：

1)零售商觀察到第t階段初的庫存水平為i。

2)零售商組織一次數量拍賣(逆向拍賣)。在該機制下，零售商首先確定一個采購合同Pt(Q)并向供應商宣布，該合同表示如果零售商的采購量為Q，那么他支付給供應商的貨款為Pt(Q)；然后lt個供應商投標她們各自的供應/生產量，這是一個不完全信息靜態博弈，由于每個供應商關于她們的邊際生產成本事前對稱，故存在一個對稱的貝葉斯-納什均衡投標策略，由此決定采購量Qt。假定采購的滯后期為t0，即在本階段初采購的產品將在階段末到貨，因而可用于本階段拍賣。

3)隨機需求通過網上拍賣的方式實現，拍賣獲勝者在拍賣結束時獲得產品。當零售商提供給拍賣的產品為Q+i時，由2.1節可知該階段的收益函數為r(Q+i)。

4)本階段末剩余的庫存將用于下一階段拍賣。同時，在本階段中由于初始庫存水平為i零售商需支付存貯費hi。

令Vt(i)表示在聯合網上拍賣銷售與逆向拍賣采購下的庫存控制問題中，第t階段初的庫存水平為i時零售商選擇最優策略從第t階段直到決策階段末所能獲得的最大期望折扣總利潤。于是，由馬爾可夫決策過程理論可知，Vt(i)滿足如下最優方程

(4)

其中(Q)+=max{Q,0},β∈(0,1)表示折扣因子。邊界條件VT+1(i)=0表示決策階段末剩余的產品沒有殘值，這只是為了簡便起見，事實上，只要VT+1(i)是凹函數本節所有的結論仍成立。注意到，由于供應商在進行博弈之前采購量是隨機的，所以在(4)中要先求“max”,再關于Ct,(1)取數學期望，這也增加了模型的求解難度。

關于零售商和供應商的最優策略，有如下的重要結論。

定理2 對于聯合網上拍賣銷售與逆向拍賣采購下的庫存控制問題,對t=T,T-1,…,1,

1)Vt(.)為凹函數。

(5)

證明見附錄B。

注意到，在經典的庫存控制模型中，零售商的采購單價和銷售單價是外生給定的，他只需確定采購量以最大化其期望利潤。因而，在庫存控制模型中每階段只有一個決策者，即零售商。而在多階段網上拍賣銷售與逆向拍賣采購下的庫存管理中每階段零售商、供應商和顧客都是決策者。由于零售商、供應商和顧客之間的信息不對稱，零售商的采購單價和銷售單價都是隨機變量。

(6)

4 結語

本文將庫存模型與拍賣理論相結合，研究了單階段和多階段聯合網上拍賣銷售與逆向拍賣采購下的庫存管理問題，從理論上刻劃了拍賣機制對零售商的最優采購策略的影響，為實際管理者在利用網上拍賣進行銷售和逆向拍賣進行采購時提供了參考依據，具有較強的現實意義和應用價值。

聯合網上拍賣銷售與逆向拍賣采購下的庫存管理是一個嶄新的課題。雖然本文在有限階段下得到了很好的結果，進一步需要研究的問題還有很多。例如，關于無限階段的分析內容更復雜但結果應是類似的，我們將在另文討論。另外，零售商利用逆向拍賣進行采購的同時也可對供應商進行管理，因此考慮供應商管理下的逆向拍賣將是值得進一步研究的領域，等等。

附錄A

定理1的證明: 為證明r(s)是s的嚴格增函數，只需證明Δr(s)>0。事實上，由(3)式，得:

(*)

為證明r(s)是s的嚴格凹函數，只需證明Δ2r(s)<0。事實上，

附錄B

定理2的證明: 數學歸納法。當t=T時，由于VT+1(i)=0，故(4)式為:

假設定理對t+1時成立。令:

于是，

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InventoryManagementwithSellingbyInternetAuctionsandPurchasingbyReverseAuctions

LIU Shu-ren1，TANG Pei2， HUANG Ying-na2

(1. Business School，Xiangtan University, Xiangtan 411105,China；2.School of Mathematics and Computational Science，Xiangtan University, Xiangtan 411105,China)

In this paper, an inventory management with selling by Internet auctions and purchasing by reverse auctions is studied in the context of e-commerce. The considered inventory management has the following two characteristics. One is that the retailer sells products by Internet auctions, another one is that the retailer makes procurement management by reverse auctions. For the single-period case, it is shown that the retailer’s expected revenue is a strictly increasing and concave function of the purchased quantity under Internet auctions, leading to the retailer’s optimal procurement strategy and the suppliers’ optimal bidding strategy. For the multi-period case, the optimal control model is first constructed for the retailer by using Markov decision processes. Then, the retailer’s optimal procurement strategy is obtained and the suppliers’ Bayesian-Nash equilibrium bidding strategies are similar to the base-stock policy. These results not only show the effect of auction mechanism on optimal procurement strategy for the retailer, but also provide an important reference for managers to manage inventory under selling by Internet auctions and purchasing by reverse auctions.

inventory management； Internet auction； reverse auction; Markov decision processes

2013-08-15；

2014-09-23

國家自然科學基金資助項目(71401150)

劉樹人(1972—)，男(漢族)，湘潭大學商學院博士，副教授，研究方向：運營與供應鏈管理、拍賣理論.

1003-207(2015)11-0062-08

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2015.11.008

O227;F224

A